2021-2022学年人教版七年级数学上册《4.2直线、射线、线段》期末复习自主提升训练(word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版七年级数学上册《4.2直线、射线、线段》期末复习自主提升训练(word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 411.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-10 11:23:56 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版七年级数学上册《4.2直线、射线、线段》
期末复习自主提升训练（附答案）
1．如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A．用两个钉子可以把木条钉在墙上
B．植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上
C．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上
D．为了缩短航程把弯曲的河道改直
3．若平面内有三个点A、B、C，过其中任意两点画直线，那么画出的直线条数可能是（ ）
A．0，1，2 B．1，2，3 C．1，3 D．0，1，2，3
4．把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB取一点P，使AP＝PB，从P处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为24cm，则绳子的原长为（ ）
A．32cm B．64cm
C．32cm或64cm D．64cm或128cm
5．若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画 条直线．
6．下列生产和生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 .（填序号）
7．下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是 （填序号）．
8．如图所示，图中共有 条直线， 条射线， 条线段．
9．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的根据是 ．
10．如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短．你认为 同学的说法是正确的．
11．如图，一根绳子对折以后用线段AB表示，在线段AB的三等分点处将绳子剪短，若所得三段绳长的最大长度为8cm，则这根绳子原长为 cm．
12．如图所示，在P、Q处把绳子AB剪断，且AP：PQ：QB＝2：3：4，若剪断的各段绳子中最长的一段为16cm，则绳子的原长为 ．
13．已知线段AB＝8，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝3PB，点Q为线段PB的中点，则AQ的长为 ．
14．线段AB＝6，在直线AB上截取线段BC＝3AB，D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，那么线段DE的长为 ．
15．已知点A、B、C在同一直线上，AB＝12cm，BC＝AC．若点P为AB的中点，点Q为BC的中点，则PQ＝ cm．
16．若点C为线段AB上一点，AB＝6，AC＝4，点D为直线AB上一点，M、N分别是AB、CD的中点，若MN＝5，则线段AD的长为 ．
17．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．AC＝3cm，CP＝1cm，线段PN＝ cm．
18．已知线段AB上有两点C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M是线段AC的中点，点N是线段AB上的点，且满足DN＝DB，AB＝24．求MN的长．
19．如图，点C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点．
（1）若AB＝13，CB＝5，求MN的长度；
（2）若AC＝6，求MN的长度．
20．如图已知点C为AB上一点，AC＝12cm，CB＝AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
21．点O是线段AB的中点，OB＝14cm，点P将线段AB分为两部分，AP：PB＝5：2．
①求线段OP的长．
②点M在线段AB上，若点M距离点P的长度为4cm，求线段AM的长．
22．如图，已知线段AB＝4，延长AB到点C，使得AB＝2BC，反向延长AB到点D，使AC＝2AD．
（1）求线段CD的长；
（2）若Q为AB的中点，P为线段CD上一点，且BP＝BC，求线段PQ的长．
23．如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．
（2）【深入研究】
如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．
①点M在运动的过程中表示的数为 （用含t的代数式表示）．
②求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．
③同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．
24．直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．
若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．
（1）MP＝ cm；
（2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．
25．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝8cm，BD＝1cm，
（1）求AC的长；
（2）若点E在直线AD上，且EA＝2cm，求BE的长．
26．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．
（1）若AP＝8cm，
①运动1s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；
（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．
27．【探索新知】
如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC、和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】
如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20，若点M从点B，以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，设运动的时间为t秒．
（2）点M在运动过程中表示的数为 （用含t的代数式表示）；
（3）求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；
（4）同时点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．
28．已知C为线段AB的中点，E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．
（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣17|+（b﹣5.5）2＝0，求线段AB、CE的长；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长；
（3）如图2，若AB＝20，AD＝2BE，求线段CE的长．
29．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9cm，BC＝2cm．
（1）图中共有 条线段；
（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长．
30．如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为﹣6，3，点P是射线AB上一个动点（不与点A，B重合）．M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为 ；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为 ．
（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．
31．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ＝AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
参考答案
1．解：∵经过两点有且只有一条直线，
∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线．
故选：B．
2．解：A、根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意；
B、根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意；
C、根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意；
D、根据两点之间，线段最短，故本选项符合题意．
故选：D．
3．解：如图，可以画3条直线或1条直线，
故选：C．
4．解：如图，∵AP＝PB，
∴2AP＝PB＜PB，
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB，
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB＝24cm，
∴绳子全长＝2PB+2AP＝24×2+×24＝64（cm），
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB，
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB＝24cm，
∴PB＝12 cm，
∴AP＝PB＝12×＝4（cm），
∴绳子全长＝2PB+2AP＝12×2+4×2＝32（cm），
综上所述，绳子的原长为32cm或64cm．
故选：C．
二．填空题（共13小题）
5．解：如图，
故平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画1条或4条或6条直线，
故答案为：1或4或6．
6．解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故此项不符合；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故此项符合；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故此项不符合；
④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．是利用了“两点之间，线段最短”，故此项符合．
故答案为：②④．
7．解：图①利用垂线段最短；
图②利用两点之间线段最短；
图③利用两点确定一条直线；
故答案为：②．
8．解：图中共有2条直线，即直线AB、BC；13条射线，即射线AC、CA、BC、CB、DC、AB、DB，还有6条不可以表示的；6条线段，即线段AB、AD、BD、AC、DC、BC．
故答案为：2，13，6．
9．解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
10．解：在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，应该是两点确定一条直线，而不是两点之间线段最短．
故答案为：甲．
11．解：①在点P处将绳子剪断，
根据题意可知：
PB＝P′B＝4，AP＝A′P′＝2，
∴AP+A′P′+BP+BP′＝12，
所以绳子的原长为12cm，
②在点Q处将绳子剪断，
根据题意可知：
BQ＝BQ′＝4，AQ＝A′Q′＝8，
∴AQ+QB+BQ′+Q′A′＝24，
所以绳子的原长为24cm，
故答案为12或24．
12．解：根据题意，可得：QB＝16cm，
∵AP：PQ：QB＝2：3：4，
∴QB＝AB＝AB，
∴AB＝16÷＝36（cm），
即绳子的原长为36cm．
故答案为：36cm．
13．解：当点P在线段AB上时，如图所示：
∵AB＝8，AP＝3PB，
∴AP＝6，BP＝2，
∵点Q为线段PB的中点，故PQ＝BP＝1，
故AQ＝AP+PQ＝7，
当点P在线段AB的延长线上时，如图所示：
∵AB＝8，AP＝3PB，
∴BP＝4，
∵点Q为线段PB的中点，故BQ＝BP＝2，
故AQ＝AB+BQ＝8+2＝10
当点P在线段AB的反向延长线上时，不成立
故AQ＝7或10．
故答案为：7或10．
14．解：C在线段AB的延长线上，如图1：
∵AB＝6，BC＝3AB，
∴BC＝18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD＝AB＝3，BE＝BC＝9，
DE＝BE+BD＝9+3＝12；
C在线段AB的反向延长线上，如图2：
∵AB＝6，BC＝3AB，
∴BC＝18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD＝AB＝3，BE＝BC＝9，
DE＝BE﹣BD＝9﹣3＝6．
故线段DE的长为6或12．
故答案为：6或12．
15．解：（1）点C在线段AB上，如图1：
∵AB＝AC+BC，BC＝AC，
∴AB＝3BC+BC＝4BC
又∵AB＝12cm，
∴BC＝3cm，
∵点P是线段AB的中点，点Q是线段BC的中点，
∴PB＝AB＝6cm，QB＝CB＝1.5cm，
∴PQ＝BP﹣BQ＝6﹣1.5＝4.5cm；
（2）点C在线段AB的延长线上，如：
∵AB＝AC﹣BC，BC＝AC，
∴AB＝3BC﹣BC＝2BC
又∵AB＝12cm，
∴BC＝6cm，
∵点P是线段AB的中点，点Q是线段BC的中点，
∴PB＝AB＝6cm，QB＝CB＝3cm，
∴PQ＝BP+BQ＝6+3＝9cm；
故答案为：4.5或9．
16．解：①如图，点D在AB的延长线上，
∵AB＝6，AC＝4，
∴BC＝AB﹣AC＝2．
∵M是AB的中点，
∴AM＝BM＝AB＝3，
∴MC＝1，
又MN＝MC+BC+BN＝1+2+BN＝5，
∴BN＝2，
又点N是CD的中点，
∴DN＝CN＝BD+BN＝4，
∴AD＝AC+CN+ND＝4+4+4＝12．
②如图，点D在线段BA的延长线上
∵AB＝6，AC＝4，
∴BC＝AB﹣AC＝2．
∵M是AB的中点，
∴AM＝BM＝AB＝3，
又MN＝AN+AM＝5，
∴AN＝2，
又点N是CD的中点，
∴DN＝CN＝AN+AC＝2+4＝6，
∴AD＝ND+AN＝6+2＝8．
综上所述，AD的长为12或8．
故答案是：12或8．
17．解：∵AP＝AC+CP，CP＝1cm，
∴AP＝3+1＝4cm，
∵P为AB的中点，
∴AB＝2AP＝8cm，
∵CB＝AB﹣AC，AC＝3cm，
∴CB＝5cm，
∵N为CB的中点，
∴CN＝BC＝cm，
∴PN＝CN﹣CP＝cm．
故答案为：．
18．解：设AC＝x，则CD＝2x，DB＝3x，
∵AB＝24，
∴x+2x+3x＝24，
解得x＝4，
∴AC＝4，CD＝8，DB＝12，CB＝20．
∵点M是线段AC的中点，
∴MC＝AC＝2．
∵DB＝12，DN＝DB，
∴DN＝×12＝3，
分以下两种情况：
①当点N在线段CD上时，MN＝MC+CD﹣DN＝2+8﹣3＝7；
②当点N在线段DB上时，MN＝MC+CD+DN＝2+8+3＝13．
综上所述，线段MN的长度为7或13．
19．解：（1）∵M是AB的中点，AB＝13，
∴BM＝AB＝13＝6.5，
∵N是CB的中点，CB＝5，
∴BN＝CB＝5＝2.5；
∴MN＝BM﹣BN＝4；
（2）∵M是AB的中点，N是CB的中点，
∴BM＝AB，BN＝CB，
∵AC＝6，
∴MN＝BM﹣BN＝AB﹣BC＝（AB﹣BC）＝AC＝6＝3．
20．解：根据题意，AC＝12cm，CB＝AC，
所以CB＝8cm，
所以AB＝AC+CB＝20cm，
又D、E分别为AC、AB的中点，
所以DE＝AE﹣AD＝（AB﹣AC）＝4cm．
即DE＝4cm．
故答案为4cm．
21．解：①∵点O是线段AB的中点，OB＝14cm，
∴AB＝2OB＝28cm，
∵AP：PB＝5：2．
∴BP＝cm，
∴OP＝OB﹣BP＝14﹣8＝6（cm）；
②如图1，当M点在P点的左边时，
AM＝AB﹣（PM+BP）＝28﹣（4+8）＝16（cm），
如图2，当M点在P点的右边时，
AM＝AB﹣BM＝AB﹣（BP﹣PM）＝28﹣（8﹣4）＝24（cm）．
综上，AM＝16cm或24cm．
22．解：（1）∵AB＝4，AB＝2BC，
∴BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝6，
∵AC＝2AD，
∴AD＝3，
∴CD＝AC+AD＝6+3＝9；
（2）∵Q为AB中点，
∴BQ＝AB＝2，
∵BP＝BC，
∴BP＝1，
当点P在B、C之间时，PQ＝BP+BQ＝2+1＝3；
当点P在A、B之间时，PQ＝BQ﹣BP＝2﹣1＝1．
即PQ的长为1或3．
23．解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，该线段等于2倍的中点两侧的小线段的长，
所以一条线段的中点是这条线段的二倍点．
故答案为：是．
（2）①点M向左运动，运动的路程为3t，表示的数为20﹣3t，
故答案为：20﹣3t；
②当AM＝2BM时，30﹣3t＝2×3t，解得：t＝；
当AB＝2AM时，30＝2×（30﹣3t），解得：t＝5；
当BM＝2AM时，3t＝2×（30﹣3t），解得：t＝；
答：t为或5或时，点M是线段AB的二倍点；
③当AN＝2MN时，2t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t＝；
当AM＝2NM时，30﹣3t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t＝；
当MN＝2AM时，2t﹣（30﹣3t）＝2（30﹣3t），解得：t＝；
答：t为或或时，点M是线段AN的二倍点．
24．解：（1）如图所示：
∵点P是点M关于点N的“半距点”，
∴PN＝MN，
①∵MN＝6cm．P1N＝MN＝3cm，
∴MP1＝MN﹣P1N＝3cm；
②∵MN＝6cm．P2N＝MN＝3cm，
∴MP2＝MN+P2N＝9cm；
∴MP＝3cm或9cm；
故答案为：3cm或9；
（2）如图所示：
①点G1是线段MP1的中点，
∴MG1＝MP1＝cm，
∴G1N＝MN﹣MG1＝6﹣＝（cm）；
②点G2是线段MP2的中点，
∴MG2＝MP2＝cm，
∴G2N＝MN﹣MG2＝6﹣＝（cm）．
∴线段GN的长度为cm或cm．
25．解：（1）∵点B为CD的中点，BD＝1cm，
∴CD＝2BD＝2cm，
∵AD＝8cm，
∴AC＝AD﹣CD＝8﹣2＝6cm
（2）若E在线段DA的延长线，如图1
∵EA＝2cm，AD＝8c
∴ED＝EA+AD＝2+8＝10cm，
∵BD＝1cm，
∴BE＝ED﹣BD＝10﹣1＝9cm，
若E线段AD上，如图2
EA＝2cm，AD＝8cm
∴ED＝AD﹣EA＝8﹣2＝6cm，
∵BD＝1cm，
∴BE＝ED﹣BD＝6﹣1＝5cm，
综上所述，BE的长为5cm或9cm．
26．解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2cm，DB＝3×1＝3cm
∵AP＝8cm，AB＝12cm
∴PB＝AB﹣AP＝4cm
∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3cm
②∵AP＝8，AB＝12，
∴BP＝4，AC＝8﹣2t，
∴DP＝4﹣3t，
∴CD＝DP+CP＝2t+4﹣3t＝4﹣t，
∴AC＝2CD；
（2）当t＝2时，
CP＝2×2＝4cm，DB＝3×2＝6cm，
当点D在C的右边时，如图所示：
由于CD＝1cm，
∴CB＝CD+DB＝7cm，
∴AC＝AB﹣CB＝5cm，
∴AP＝AC+CP＝9cm，
当点D在C的左边时，如图所示：
∴AD＝AB﹣DB＝6cm，
∴AP＝AD+CD+CP＝11cm
综上所述，AP＝9cm或11cm
27．解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，
该线段等于2倍的中点一侧的线段长．
所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”
故答案为：是
（2）点M在运动过程中表示的数为20﹣3t（0≤t≤10），
故答案为：20﹣3t（0≤t≤10）；
（3）当AM＝2BM时，30﹣3t＝2×3t，解得：t＝；
当AB＝2AM时，30＝2×（30﹣3t），解得：t＝5；
当BM＝2AM时，3t＝2×（30﹣3t），解得：t＝；
答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”；
（4）当AN＝2MN时，2t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t＝；
当AM＝2NM时，30﹣3t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t＝；
当MN＝2AM时，2t﹣（30﹣3t）＝2（30﹣3t），解得：t＝；
答：t为或或时，点M是线段AN的“二倍点”．
28．解：（1）∵|a﹣17|+（b﹣5.5）2＝0，
∴|a﹣17|＝0，（b﹣5.5）2＝0，
解得：a＝17，b＝5.5，
∵AB＝a，CE＝b，
∴AB＝17，CE＝5.5
（2）如图1所示：
∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝＝＝，
又∵AE＝AC+CE，
∴AE＝+＝14，
∵点D为线段AE的中点，
∴DE＝AE＝＝7；
（3）如图2所示：
∵C为线段AB上的点，AB＝20，
∴AC＝BC＝＝＝10，
又∵点D为线段AE的中点，AD＝2BE，
∴AE＝4BE，DE＝，
又∵AB＝AE+BE，
∴4BE+BE＝20，
∴BE＝4，AE＝16，
又∵CE＝BC﹣BE，
∴CE＝10﹣4＝6．
29．解：（1）n（n﹣1）＝×4×3＝6，
故答案为6；
（2）∵点B为CD的中点，
∴BC＝CD，
∵AD＝9cm，BC＝2cm，
∴AC＝AD﹣BC﹣CD＝9﹣2﹣2＝5cm；
（3）分两种情况讨论：
①点E在线段AD上，BE＝AD﹣AE﹣BD＝9﹣3﹣2＝4cm；
②点E在线段DA延长线上，BE＝AE+AB＝3+9﹣2＝10cm．
30．解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP＝6，BP＝3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝4，NP＝BP＝2，
∴MN＝MP+NP＝6；
若点P表示的有理数是6（如图2），则AP＝12，BP＝3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝8，NP＝BP＝2，
∴MN＝MP﹣NP＝6．
故答案为：6；6．
（2）MN的长不会发生改变，理由如下：
设点P表示的有理数是a（a＞﹣6且a≠3）．
当﹣6＜a＜3时（如图1），AP＝a+6，BP＝3﹣a．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝（a+6），NP＝BP＝（3﹣a），
∴MN＝MP+NP＝6；
当a＞3时（如图2），AP＝a+6，BP＝a﹣3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝（a+6），NP＝BP＝（a﹣3），
∴MN＝MP﹣NP＝6．
综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6．
31．解：（1）①10，3；
②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又PQ＝AB＝×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴当：t＝1或3时，PQ＝AB；
（4）∵点M表示的数为 ＝﹣2，
点N表示的数为 ＝+3，
∴MN＝|（﹣2）﹣（+3）|＝|﹣2﹣﹣3|＝5．
期末复习自主提升训练（附答案）
1．如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A．用两个钉子可以把木条钉在墙上
B．植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上
C．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上
D．为了缩短航程把弯曲的河道改直
3．若平面内有三个点A、B、C，过其中任意两点画直线，那么画出的直线条数可能是（ ）
A．0，1，2 B．1，2，3 C．1，3 D．0，1，2，3
4．把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB取一点P，使AP＝PB，从P处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为24cm，则绳子的原长为（ ）
A．32cm B．64cm
C．32cm或64cm D．64cm或128cm
5．若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画 条直线．
6．下列生产和生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 .（填序号）
7．下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是 （填序号）．
8．如图所示，图中共有 条直线， 条射线， 条线段．
9．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的根据是 ．
10．如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短．你认为 同学的说法是正确的．
11．如图，一根绳子对折以后用线段AB表示，在线段AB的三等分点处将绳子剪短，若所得三段绳长的最大长度为8cm，则这根绳子原长为 cm．
12．如图所示，在P、Q处把绳子AB剪断，且AP：PQ：QB＝2：3：4，若剪断的各段绳子中最长的一段为16cm，则绳子的原长为 ．
13．已知线段AB＝8，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝3PB，点Q为线段PB的中点，则AQ的长为 ．
14．线段AB＝6，在直线AB上截取线段BC＝3AB，D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，那么线段DE的长为 ．
15．已知点A、B、C在同一直线上，AB＝12cm，BC＝AC．若点P为AB的中点，点Q为BC的中点，则PQ＝ cm．
16．若点C为线段AB上一点，AB＝6，AC＝4，点D为直线AB上一点，M、N分别是AB、CD的中点，若MN＝5，则线段AD的长为 ．
17．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．AC＝3cm，CP＝1cm，线段PN＝ cm．
18．已知线段AB上有两点C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M是线段AC的中点，点N是线段AB上的点，且满足DN＝DB，AB＝24．求MN的长．
19．如图，点C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点．
（1）若AB＝13，CB＝5，求MN的长度；
（2）若AC＝6，求MN的长度．
20．如图已知点C为AB上一点，AC＝12cm，CB＝AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
21．点O是线段AB的中点，OB＝14cm，点P将线段AB分为两部分，AP：PB＝5：2．
①求线段OP的长．
②点M在线段AB上，若点M距离点P的长度为4cm，求线段AM的长．
22．如图，已知线段AB＝4，延长AB到点C，使得AB＝2BC，反向延长AB到点D，使AC＝2AD．
（1）求线段CD的长；
（2）若Q为AB的中点，P为线段CD上一点，且BP＝BC，求线段PQ的长．
23．如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．
（2）【深入研究】
如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．
①点M在运动的过程中表示的数为 （用含t的代数式表示）．
②求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．
③同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．
24．直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．
若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．
（1）MP＝ cm；
（2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．
25．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝8cm，BD＝1cm，
（1）求AC的长；
（2）若点E在直线AD上，且EA＝2cm，求BE的长．
26．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．
（1）若AP＝8cm，
①运动1s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；
（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．
27．【探索新知】
如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC、和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】
如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20，若点M从点B，以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，设运动的时间为t秒．
（2）点M在运动过程中表示的数为 （用含t的代数式表示）；
（3）求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；
（4）同时点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．
28．已知C为线段AB的中点，E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．
（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣17|+（b﹣5.5）2＝0，求线段AB、CE的长；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长；
（3）如图2，若AB＝20，AD＝2BE，求线段CE的长．
29．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9cm，BC＝2cm．
（1）图中共有 条线段；
（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长．
30．如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为﹣6，3，点P是射线AB上一个动点（不与点A，B重合）．M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为 ；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为 ．
（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．
31．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ＝AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
参考答案
1．解：∵经过两点有且只有一条直线，
∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线．
故选：B．
2．解：A、根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意；
B、根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意；
C、根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意；
D、根据两点之间，线段最短，故本选项符合题意．
故选：D．
3．解：如图，可以画3条直线或1条直线，
故选：C．
4．解：如图，∵AP＝PB，
∴2AP＝PB＜PB，
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB，
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB＝24cm，
∴绳子全长＝2PB+2AP＝24×2+×24＝64（cm），
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB，
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB＝24cm，
∴PB＝12 cm，
∴AP＝PB＝12×＝4（cm），
∴绳子全长＝2PB+2AP＝12×2+4×2＝32（cm），
综上所述，绳子的原长为32cm或64cm．
故选：C．
二．填空题（共13小题）
5．解：如图，
故平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画1条或4条或6条直线，
故答案为：1或4或6．
6．解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故此项不符合；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故此项符合；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故此项不符合；
④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．是利用了“两点之间，线段最短”，故此项符合．
故答案为：②④．
7．解：图①利用垂线段最短；
图②利用两点之间线段最短；
图③利用两点确定一条直线；
故答案为：②．
8．解：图中共有2条直线，即直线AB、BC；13条射线，即射线AC、CA、BC、CB、DC、AB、DB，还有6条不可以表示的；6条线段，即线段AB、AD、BD、AC、DC、BC．
故答案为：2，13，6．
9．解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
10．解：在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，应该是两点确定一条直线，而不是两点之间线段最短．
故答案为：甲．
11．解：①在点P处将绳子剪断，
根据题意可知：
PB＝P′B＝4，AP＝A′P′＝2，
∴AP+A′P′+BP+BP′＝12，
所以绳子的原长为12cm，
②在点Q处将绳子剪断，
根据题意可知：
BQ＝BQ′＝4，AQ＝A′Q′＝8，
∴AQ+QB+BQ′+Q′A′＝24，
所以绳子的原长为24cm，
故答案为12或24．
12．解：根据题意，可得：QB＝16cm，
∵AP：PQ：QB＝2：3：4，
∴QB＝AB＝AB，
∴AB＝16÷＝36（cm），
即绳子的原长为36cm．
故答案为：36cm．
13．解：当点P在线段AB上时，如图所示：
∵AB＝8，AP＝3PB，
∴AP＝6，BP＝2，
∵点Q为线段PB的中点，故PQ＝BP＝1，
故AQ＝AP+PQ＝7，
当点P在线段AB的延长线上时，如图所示：
∵AB＝8，AP＝3PB，
∴BP＝4，
∵点Q为线段PB的中点，故BQ＝BP＝2，
故AQ＝AB+BQ＝8+2＝10
当点P在线段AB的反向延长线上时，不成立
故AQ＝7或10．
故答案为：7或10．
14．解：C在线段AB的延长线上，如图1：
∵AB＝6，BC＝3AB，
∴BC＝18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD＝AB＝3，BE＝BC＝9，
DE＝BE+BD＝9+3＝12；
C在线段AB的反向延长线上，如图2：
∵AB＝6，BC＝3AB，
∴BC＝18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD＝AB＝3，BE＝BC＝9，
DE＝BE﹣BD＝9﹣3＝6．
故线段DE的长为6或12．
故答案为：6或12．
15．解：（1）点C在线段AB上，如图1：
∵AB＝AC+BC，BC＝AC，
∴AB＝3BC+BC＝4BC
又∵AB＝12cm，
∴BC＝3cm，
∵点P是线段AB的中点，点Q是线段BC的中点，
∴PB＝AB＝6cm，QB＝CB＝1.5cm，
∴PQ＝BP﹣BQ＝6﹣1.5＝4.5cm；
（2）点C在线段AB的延长线上，如：
∵AB＝AC﹣BC，BC＝AC，
∴AB＝3BC﹣BC＝2BC
又∵AB＝12cm，
∴BC＝6cm，
∵点P是线段AB的中点，点Q是线段BC的中点，
∴PB＝AB＝6cm，QB＝CB＝3cm，
∴PQ＝BP+BQ＝6+3＝9cm；
故答案为：4.5或9．
16．解：①如图，点D在AB的延长线上，
∵AB＝6，AC＝4，
∴BC＝AB﹣AC＝2．
∵M是AB的中点，
∴AM＝BM＝AB＝3，
∴MC＝1，
又MN＝MC+BC+BN＝1+2+BN＝5，
∴BN＝2，
又点N是CD的中点，
∴DN＝CN＝BD+BN＝4，
∴AD＝AC+CN+ND＝4+4+4＝12．
②如图，点D在线段BA的延长线上
∵AB＝6，AC＝4，
∴BC＝AB﹣AC＝2．
∵M是AB的中点，
∴AM＝BM＝AB＝3，
又MN＝AN+AM＝5，
∴AN＝2，
又点N是CD的中点，
∴DN＝CN＝AN+AC＝2+4＝6，
∴AD＝ND+AN＝6+2＝8．
综上所述，AD的长为12或8．
故答案是：12或8．
17．解：∵AP＝AC+CP，CP＝1cm，
∴AP＝3+1＝4cm，
∵P为AB的中点，
∴AB＝2AP＝8cm，
∵CB＝AB﹣AC，AC＝3cm，
∴CB＝5cm，
∵N为CB的中点，
∴CN＝BC＝cm，
∴PN＝CN﹣CP＝cm．
故答案为：．
18．解：设AC＝x，则CD＝2x，DB＝3x，
∵AB＝24，
∴x+2x+3x＝24，
解得x＝4，
∴AC＝4，CD＝8，DB＝12，CB＝20．
∵点M是线段AC的中点，
∴MC＝AC＝2．
∵DB＝12，DN＝DB，
∴DN＝×12＝3，
分以下两种情况：
①当点N在线段CD上时，MN＝MC+CD﹣DN＝2+8﹣3＝7；
②当点N在线段DB上时，MN＝MC+CD+DN＝2+8+3＝13．
综上所述，线段MN的长度为7或13．
19．解：（1）∵M是AB的中点，AB＝13，
∴BM＝AB＝13＝6.5，
∵N是CB的中点，CB＝5，
∴BN＝CB＝5＝2.5；
∴MN＝BM﹣BN＝4；
（2）∵M是AB的中点，N是CB的中点，
∴BM＝AB，BN＝CB，
∵AC＝6，
∴MN＝BM﹣BN＝AB﹣BC＝（AB﹣BC）＝AC＝6＝3．
20．解：根据题意，AC＝12cm，CB＝AC，
所以CB＝8cm，
所以AB＝AC+CB＝20cm，
又D、E分别为AC、AB的中点，
所以DE＝AE﹣AD＝（AB﹣AC）＝4cm．
即DE＝4cm．
故答案为4cm．
21．解：①∵点O是线段AB的中点，OB＝14cm，
∴AB＝2OB＝28cm，
∵AP：PB＝5：2．
∴BP＝cm，
∴OP＝OB﹣BP＝14﹣8＝6（cm）；
②如图1，当M点在P点的左边时，
AM＝AB﹣（PM+BP）＝28﹣（4+8）＝16（cm），
如图2，当M点在P点的右边时，
AM＝AB﹣BM＝AB﹣（BP﹣PM）＝28﹣（8﹣4）＝24（cm）．
综上，AM＝16cm或24cm．
22．解：（1）∵AB＝4，AB＝2BC，
∴BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝6，
∵AC＝2AD，
∴AD＝3，
∴CD＝AC+AD＝6+3＝9；
（2）∵Q为AB中点，
∴BQ＝AB＝2，
∵BP＝BC，
∴BP＝1，
当点P在B、C之间时，PQ＝BP+BQ＝2+1＝3；
当点P在A、B之间时，PQ＝BQ﹣BP＝2﹣1＝1．
即PQ的长为1或3．
23．解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，该线段等于2倍的中点两侧的小线段的长，
所以一条线段的中点是这条线段的二倍点．
故答案为：是．
（2）①点M向左运动，运动的路程为3t，表示的数为20﹣3t，
故答案为：20﹣3t；
②当AM＝2BM时，30﹣3t＝2×3t，解得：t＝；
当AB＝2AM时，30＝2×（30﹣3t），解得：t＝5；
当BM＝2AM时，3t＝2×（30﹣3t），解得：t＝；
答：t为或5或时，点M是线段AB的二倍点；
③当AN＝2MN时，2t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t＝；
当AM＝2NM时，30﹣3t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t＝；
当MN＝2AM时，2t﹣（30﹣3t）＝2（30﹣3t），解得：t＝；
答：t为或或时，点M是线段AN的二倍点．
24．解：（1）如图所示：
∵点P是点M关于点N的“半距点”，
∴PN＝MN，
①∵MN＝6cm．P1N＝MN＝3cm，
∴MP1＝MN﹣P1N＝3cm；
②∵MN＝6cm．P2N＝MN＝3cm，
∴MP2＝MN+P2N＝9cm；
∴MP＝3cm或9cm；
故答案为：3cm或9；
（2）如图所示：
①点G1是线段MP1的中点，
∴MG1＝MP1＝cm，
∴G1N＝MN﹣MG1＝6﹣＝（cm）；
②点G2是线段MP2的中点，
∴MG2＝MP2＝cm，
∴G2N＝MN﹣MG2＝6﹣＝（cm）．
∴线段GN的长度为cm或cm．
25．解：（1）∵点B为CD的中点，BD＝1cm，
∴CD＝2BD＝2cm，
∵AD＝8cm，
∴AC＝AD﹣CD＝8﹣2＝6cm
（2）若E在线段DA的延长线，如图1
∵EA＝2cm，AD＝8c
∴ED＝EA+AD＝2+8＝10cm，
∵BD＝1cm，
∴BE＝ED﹣BD＝10﹣1＝9cm，
若E线段AD上，如图2
EA＝2cm，AD＝8cm
∴ED＝AD﹣EA＝8﹣2＝6cm，
∵BD＝1cm，
∴BE＝ED﹣BD＝6﹣1＝5cm，
综上所述，BE的长为5cm或9cm．
26．解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2cm，DB＝3×1＝3cm
∵AP＝8cm，AB＝12cm
∴PB＝AB﹣AP＝4cm
∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3cm
②∵AP＝8，AB＝12，
∴BP＝4，AC＝8﹣2t，
∴DP＝4﹣3t，
∴CD＝DP+CP＝2t+4﹣3t＝4﹣t，
∴AC＝2CD；
（2）当t＝2时，
CP＝2×2＝4cm，DB＝3×2＝6cm，
当点D在C的右边时，如图所示：
由于CD＝1cm，
∴CB＝CD+DB＝7cm，
∴AC＝AB﹣CB＝5cm，
∴AP＝AC+CP＝9cm，
当点D在C的左边时，如图所示：
∴AD＝AB﹣DB＝6cm，
∴AP＝AD+CD+CP＝11cm
综上所述，AP＝9cm或11cm
27．解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，
该线段等于2倍的中点一侧的线段长．
所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”
故答案为：是
（2）点M在运动过程中表示的数为20﹣3t（0≤t≤10），
故答案为：20﹣3t（0≤t≤10）；
（3）当AM＝2BM时，30﹣3t＝2×3t，解得：t＝；
当AB＝2AM时，30＝2×（30﹣3t），解得：t＝5；
当BM＝2AM时，3t＝2×（30﹣3t），解得：t＝；
答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”；
（4）当AN＝2MN时，2t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t＝；
当AM＝2NM时，30﹣3t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t＝；
当MN＝2AM时，2t﹣（30﹣3t）＝2（30﹣3t），解得：t＝；
答：t为或或时，点M是线段AN的“二倍点”．
28．解：（1）∵|a﹣17|+（b﹣5.5）2＝0，
∴|a﹣17|＝0，（b﹣5.5）2＝0，
解得：a＝17，b＝5.5，
∵AB＝a，CE＝b，
∴AB＝17，CE＝5.5
（2）如图1所示：
∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝＝＝，
又∵AE＝AC+CE，
∴AE＝+＝14，
∵点D为线段AE的中点，
∴DE＝AE＝＝7；
（3）如图2所示：
∵C为线段AB上的点，AB＝20，
∴AC＝BC＝＝＝10，
又∵点D为线段AE的中点，AD＝2BE，
∴AE＝4BE，DE＝，
又∵AB＝AE+BE，
∴4BE+BE＝20，
∴BE＝4，AE＝16，
又∵CE＝BC﹣BE，
∴CE＝10﹣4＝6．
29．解：（1）n（n﹣1）＝×4×3＝6，
故答案为6；
（2）∵点B为CD的中点，
∴BC＝CD，
∵AD＝9cm，BC＝2cm，
∴AC＝AD﹣BC﹣CD＝9﹣2﹣2＝5cm；
（3）分两种情况讨论：
①点E在线段AD上，BE＝AD﹣AE﹣BD＝9﹣3﹣2＝4cm；
②点E在线段DA延长线上，BE＝AE+AB＝3+9﹣2＝10cm．
30．解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP＝6，BP＝3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝4，NP＝BP＝2，
∴MN＝MP+NP＝6；
若点P表示的有理数是6（如图2），则AP＝12，BP＝3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝8，NP＝BP＝2，
∴MN＝MP﹣NP＝6．
故答案为：6；6．
（2）MN的长不会发生改变，理由如下：
设点P表示的有理数是a（a＞﹣6且a≠3）．
当﹣6＜a＜3时（如图1），AP＝a+6，BP＝3﹣a．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝（a+6），NP＝BP＝（3﹣a），
∴MN＝MP+NP＝6；
当a＞3时（如图2），AP＝a+6，BP＝a﹣3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP＝AP＝（a+6），NP＝BP＝（a﹣3），
∴MN＝MP﹣NP＝6．
综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6．
31．解：（1）①10，3；
②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又PQ＝AB＝×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴当：t＝1或3时，PQ＝AB；
（4）∵点M表示的数为 ＝﹣2，
点N表示的数为 ＝+3，
∴MN＝|（﹣2）﹣（+3）|＝|﹣2﹣﹣3|＝5．