2021-2022学年湘教版九年级数学下册第1章二次函数期末复习训练（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年湘教版九年级数学下册第1章二次函数期末复习训练（word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 335.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-10 11:27:22 | ||
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文档简介
2021-2022学年湘教版九年级数学下册《第1章二次函数》期末综合复习训练（附答案）
1．函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（ ）
A．B．C．D．
2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
3．已知函数y＝x2+x﹣1，当m≤x≤m+2时，﹣≤y≤1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣1
4．抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m＞ C．m≤ D．m＜
5．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象与x轴的交点为（0，0）和（2，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交点为（0，2），则以下判断：①abc＜0；②9a+3b+c＞2；③3a+c＞0；④b2﹣8a＞0，正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．0≤m≤ C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣
7．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（ ）
A．1+ B．3 C．2 D．2+
8．点M（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝﹣x2+mx+2的图象上，则a+b的最大值为（ ）
A． B．﹣ C．2 D．
9．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（ ）
A．25m B．50m C．625m D．750m
10．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝x2﹣2x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，2） B．（4，2） C．（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）
11．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为 ．
12．若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝ ．
13．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为 ．
14．若点A（m﹣3，y1），B（m，y2），C（m+4，y3）都在二次函数y＝（x﹣m）2+1（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
15．将抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣3向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，则所得抛物线的解析式 ．
16．已知二次函数y＝（x+1）（x﹣a）的对称轴为直线x＝2，则a的值是 ．
17．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
18．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a＝30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为 ．
19．将抛物线y＝（x+1）2﹣4向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴只有一个交点，则a的值为 ．
20．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ ．
21．某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现销售数量y（件）与销售单价x（元）的关系如下表：
x 32 33 34 35
y 420 410 400 390
（1）请你根据表格直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元？
（3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
22．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3，0）和点C，与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线有一点D（x，y），且S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标；
（2）在二次函数的图象位于x轴上方的部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过点M、N作x轴的垂线，分别交x轴于点H、G．
①当四边形MNGH为正方形时，求MN的长；
②当四边形MNGH为矩形时，求矩形MNGH周长的最大值．
24．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；
（2）请你直接写出△ABC的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．解：在函数y＝ax2+ax+a（a≠0）中，
当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；
当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；
故选：C．
2．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵对称轴为x＝，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴＝﹣1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a，
∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；
∵抛物线经过点（2，0）
∴x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，所以③错误；
∵点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，
∴y1＜y2，所以④正确．
故选：D．
3．解：∵函数y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，
∴该函数图象开口向上，当x＝﹣是，该函数取得最小值﹣，当y＝1时，x1＝﹣2，x2＝1，
∵当m≤x≤m+2时，﹣≤y≤1，
∴
解得﹣2≤m≤﹣1，
故选：B．
4．解：∵抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，
∴△＝（﹣1）2﹣4m≥0，
∴m≤．
故选：C．
5．解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数y＝ax2+bx的图象与x轴的交点为（0，0）和（2，0），
∴4a+2b＝0即b＝﹣2a＜0
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交点为（0，2），
∴c＝2
①abc＜0正确；
②根据对称性，x＝2时，y＝2，
根据图象，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y＞2，即9a+3b+c＞2正确；
③∵a＞0，c＝2，
∴3a+c＞0正确；
④由图象知，顶点的纵坐标小于0，
∴＝＜0，
∴8a﹣b2＜0，即b2﹣8a＞0正确，
综上，正确的是①②③④共4个，
故选：A．
6．解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，
∴m≤﹣；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；
∴﹣2≤m≤﹣．
解法二：画出函数图象，如图所示：
y＝x2+x﹣1
＝（x+）2﹣，
∴当x＝1时，y＝1；
当x＝﹣，y＝﹣，当x＝﹣2，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，
∴﹣2≤m≤﹣．
故选：C．
7．解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
∴令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣3或1，
∴B（1，0），
∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴对称轴为x＝﹣1，
∵CD∥AB，
∴C、D两点关于x＝﹣1对称，
∴D（﹣2，﹣3），
设BD的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，
∴，
∴BD的解析式为y＝x﹣1，
∴E（0，﹣1），
令y＝﹣1，则y＝x2+2x﹣3＝﹣1，
解得，x＝﹣1，
∴F（﹣1﹣，﹣1），G（﹣1+，﹣1），
∴FG＝（﹣1+）﹣（﹣1﹣）＝2，
故选：C．
8．解：∵点M（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝﹣x2+mx+2的图象上，
∴﹣＝0，
解得m＝0，
∴y＝﹣x2+2，
∴点M（a，b）在二次函数y＝﹣x2+mx+2的图象上，
∴a+b＝a+（﹣a2+2）＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，a+b取得最大值，
故选：A．
9．解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故选：D．
10．解：抛物线y＝x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2
所以抛物线的顶点坐标为（1，0），
先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，
则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（4，2）．
故选：B．
11．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣x+，
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，OC＝，
∴△ABC的面积为：＝3，
故答案为：3．
12．解：∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得m＝﹣2或．
故答案为：﹣2或．
13．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
14．解：由二次函数y＝（x﹣m）2+1（m为常数）可知，对称轴为直线x＝m，
∵a＝1＞0，
∴二次函数开口向上，当x＝m时，函数取得最小值，即y2最小，
且在x＞m时，y随x的增大而增大，
而点A的对称点为（m+3，y1），
∵m＜m+3＜m+4，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
15．解：y＝﹣x2﹣2x﹣3，
＝﹣（x2+2x+1）+1﹣3，
＝﹣（x+1）2﹣2，
所以，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∵向右平移三个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），
∵再绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，2），
∴所得抛物线解析式为y＝（x+2）2+2，
故答案为y＝（x+2）2+2．
16．解：∵二次函数y＝（x+1）（x﹣a）＝x2+（﹣a+1）x﹣a，它的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得，a＝5，
故答案为：5．
17．解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤且k≠1；
故答案为：k≤且k≠1．
18．解：设AB为x米，则BC＝（100﹣2x）米，矩形菜园ABCD面积为y．
由题意得：y＝x（100﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵0＜100﹣2x≤30，
∴35≤x＜50
∴当x＝35时，y＝﹣2×（35﹣25）2+1250＝1050为最大值，
故答案为：1050平方米．
19．解：抛物线y＝（x+1）2﹣4向上平移a个单位后得到的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4+a，
此时抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4+a），
因为新抛物线恰好与x轴有一个交点，
所以﹣4+a＝0，解得a＝4．
故答案为：4．
20．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，
可知函数顶点坐标为（3，﹣4），
当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
即（x﹣1）（x﹣5）＝0，
解得x1＝1，x2＝5．
如图：m＝﹣4，
当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．
则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．
21．解：（1）由表中数据可知，销售单价每上涨一元，每天销售量减少10本，
∴y与x之间的函数关系式是一次函数，
设y＝hx+b，把（32，420）和（33，410）代入，得：
，
解得：，
∵销售单价不低于32元，且获利不高于60%，
∴≤60%，即x≤48，
∴32≤x≤48，
∴y＝﹣10x+740（32≤x≤48）；
（2）由题意，可列出方程为：（x﹣30）（﹣10x+740）＝3400，
整理并化简得，x2﹣104x+2560＝0，
解得，x1＝40，x2＝64，
∵32≤x≤48，
答：销售单价是40元时，商店每天获利3400元；
（3）w＝（x﹣30）y＝﹣10x2+1040x﹣22200＝﹣10（x﹣52）2+4840，
∵a＝﹣10＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x＝52，
∴当32≤x≤48时，w随x的增大而增大
∴当x＝48时，w最大＝﹣10（48﹣52）2+4840＝4680（元），
答：销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是4680元．
22．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3，0），
∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴点A（3，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），
∴C（﹣1，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，
∴P的坐标为（1，2）；
（3）∵抛物线有一点D（x．y），
∴D（x，﹣x2+2x+3），
过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，
∴E（x，﹣x+3），
∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），
∴S△ABC＝（3+1）×3＝6，
∴S△ABD＝S△ABC＝，
∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，
∴（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝，
解得x＝，
∴y＝﹣x2+2x+3＝，
∴D（，），（，）．
23．解：（1）由题意抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点，
则，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点A（1，4）；
（2）设点M坐标为M（m，﹣m2+2m+3）（m＞0），
①若四边形MNGH为正方形，则MN＝MH，且MN∥MH，即点M、N的纵坐标相等．
由（1）得抛物线的对称轴为直线x＝1，则点N的横坐标为2﹣m，
∴点N坐标为（2﹣m，﹣m2+2m+3），
∴MN＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，
∵MN＝MH，
∴2m﹣2＝﹣m2+2m+3，
解得：或（舍去），
∴；
②当四边形MNGH为矩形时，
由①MH＝﹣m2+2m+3，MN＝2m﹣2，
则矩形MNGH周长＝2[（﹣m2+2m+3）+（2m﹣2）]＝﹣2（m﹣2）2+10，
∴当m＝2时，矩形MNGH周长的最大值为10．
24．解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣16+4b+3，解得b＝，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3，
令x＝0，则y＝3，故点B的坐标为（0，3）；
令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣，
故点C的坐标为（﹣，0）；
（2）连接AB，
则△ABC的面积＝×AC OB＝×（4+）×3＝；
（3）设点P的坐标为（x，0），
由题意得：AB2＝42+32＝25，AP2＝（x﹣4）2，BP2＝x2+9，
当AB＝AP时，则25＝（x﹣4）2，解得x＝9或﹣1，
当AB＝BP时，同理可得x＝4（舍去）或﹣4，
当AP＝BP时，同理可得x＝，
故点P的坐标为（9，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）或（，0）．
25．解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+6＝6，则C（0，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），
把C（0，6）代入得a 1 （﹣6）＝6，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣6），即y＝﹣x2+5x+6；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，
设AC所在直线的解析式为y＝mx+n，
将A（6，0），C（0，6）代入，得：，
解得：，
则AC所在直线解析式为y＝﹣x+6，
又y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
在直线y＝﹣x+6中当x＝时，y＝，
则M的坐标为（，）；
（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），
存在4个点P，使△ACP为直角三角形．
PC2＝x2+（﹣x2+5x）2，PA2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2＝62+62＝72，
当∠PAC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72＝x2+（﹣x2+5x）2，
整理得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝6（舍去），x2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，﹣8）；
当∠PCA＝90°，∵PC2+AC2＝PA2，
72+x2+（﹣x2+5x）2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，
整理得x2﹣4x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝4，此时P点坐标为（4，10）；
当∠APC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2＝72，
整理得x3﹣10x2+20x+24＝0，
x3﹣10x2+24x﹣4x+24＝0，
x（x2﹣10x+24）﹣4（x﹣6）＝0，
x（x﹣4）（x﹣6）﹣4（x﹣6）＝0，
（x﹣6）（x2﹣4x﹣4）＝0，
而x﹣6≠0，
所以x2﹣4x﹣4＝0，解得x1＝2+2，x2＝2﹣2，
此时P点坐标为（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．
1．函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（ ）
A．B．C．D．
2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
3．已知函数y＝x2+x﹣1，当m≤x≤m+2时，﹣≤y≤1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣1
4．抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m＞ C．m≤ D．m＜
5．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象与x轴的交点为（0，0）和（2，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交点为（0，2），则以下判断：①abc＜0；②9a+3b+c＞2；③3a+c＞0；④b2﹣8a＞0，正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．0≤m≤ C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣
7．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（ ）
A．1+ B．3 C．2 D．2+
8．点M（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝﹣x2+mx+2的图象上，则a+b的最大值为（ ）
A． B．﹣ C．2 D．
9．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（ ）
A．25m B．50m C．625m D．750m
10．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝x2﹣2x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，2） B．（4，2） C．（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）
11．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为 ．
12．若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝ ．
13．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为 ．
14．若点A（m﹣3，y1），B（m，y2），C（m+4，y3）都在二次函数y＝（x﹣m）2+1（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
15．将抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣3向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，则所得抛物线的解析式 ．
16．已知二次函数y＝（x+1）（x﹣a）的对称轴为直线x＝2，则a的值是 ．
17．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
18．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a＝30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为 ．
19．将抛物线y＝（x+1）2﹣4向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴只有一个交点，则a的值为 ．
20．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ ．
21．某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现销售数量y（件）与销售单价x（元）的关系如下表：
x 32 33 34 35
y 420 410 400 390
（1）请你根据表格直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元？
（3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
22．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3，0）和点C，与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线有一点D（x，y），且S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标；
（2）在二次函数的图象位于x轴上方的部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过点M、N作x轴的垂线，分别交x轴于点H、G．
①当四边形MNGH为正方形时，求MN的长；
②当四边形MNGH为矩形时，求矩形MNGH周长的最大值．
24．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；
（2）请你直接写出△ABC的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．解：在函数y＝ax2+ax+a（a≠0）中，
当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；
当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；
故选：C．
2．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵对称轴为x＝，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴＝﹣1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a，
∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；
∵抛物线经过点（2，0）
∴x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，所以③错误；
∵点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，
∴y1＜y2，所以④正确．
故选：D．
3．解：∵函数y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，
∴该函数图象开口向上，当x＝﹣是，该函数取得最小值﹣，当y＝1时，x1＝﹣2，x2＝1，
∵当m≤x≤m+2时，﹣≤y≤1，
∴
解得﹣2≤m≤﹣1，
故选：B．
4．解：∵抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，
∴△＝（﹣1）2﹣4m≥0，
∴m≤．
故选：C．
5．解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数y＝ax2+bx的图象与x轴的交点为（0，0）和（2，0），
∴4a+2b＝0即b＝﹣2a＜0
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交点为（0，2），
∴c＝2
①abc＜0正确；
②根据对称性，x＝2时，y＝2，
根据图象，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y＞2，即9a+3b+c＞2正确；
③∵a＞0，c＝2，
∴3a+c＞0正确；
④由图象知，顶点的纵坐标小于0，
∴＝＜0，
∴8a﹣b2＜0，即b2﹣8a＞0正确，
综上，正确的是①②③④共4个，
故选：A．
6．解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，
∴m≤﹣；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；
∴﹣2≤m≤﹣．
解法二：画出函数图象，如图所示：
y＝x2+x﹣1
＝（x+）2﹣，
∴当x＝1时，y＝1；
当x＝﹣，y＝﹣，当x＝﹣2，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，
∴﹣2≤m≤﹣．
故选：C．
7．解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
∴令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣3或1，
∴B（1，0），
∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴对称轴为x＝﹣1，
∵CD∥AB，
∴C、D两点关于x＝﹣1对称，
∴D（﹣2，﹣3），
设BD的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，
∴，
∴BD的解析式为y＝x﹣1，
∴E（0，﹣1），
令y＝﹣1，则y＝x2+2x﹣3＝﹣1，
解得，x＝﹣1，
∴F（﹣1﹣，﹣1），G（﹣1+，﹣1），
∴FG＝（﹣1+）﹣（﹣1﹣）＝2，
故选：C．
8．解：∵点M（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝﹣x2+mx+2的图象上，
∴﹣＝0，
解得m＝0，
∴y＝﹣x2+2，
∴点M（a，b）在二次函数y＝﹣x2+mx+2的图象上，
∴a+b＝a+（﹣a2+2）＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，a+b取得最大值，
故选：A．
9．解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故选：D．
10．解：抛物线y＝x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2
所以抛物线的顶点坐标为（1，0），
先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，
则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（4，2）．
故选：B．
11．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣x+，
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，OC＝，
∴△ABC的面积为：＝3，
故答案为：3．
12．解：∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得m＝﹣2或．
故答案为：﹣2或．
13．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
14．解：由二次函数y＝（x﹣m）2+1（m为常数）可知，对称轴为直线x＝m，
∵a＝1＞0，
∴二次函数开口向上，当x＝m时，函数取得最小值，即y2最小，
且在x＞m时，y随x的增大而增大，
而点A的对称点为（m+3，y1），
∵m＜m+3＜m+4，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
15．解：y＝﹣x2﹣2x﹣3，
＝﹣（x2+2x+1）+1﹣3，
＝﹣（x+1）2﹣2，
所以，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∵向右平移三个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），
∵再绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，2），
∴所得抛物线解析式为y＝（x+2）2+2，
故答案为y＝（x+2）2+2．
16．解：∵二次函数y＝（x+1）（x﹣a）＝x2+（﹣a+1）x﹣a，它的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得，a＝5，
故答案为：5．
17．解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤且k≠1；
故答案为：k≤且k≠1．
18．解：设AB为x米，则BC＝（100﹣2x）米，矩形菜园ABCD面积为y．
由题意得：y＝x（100﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵0＜100﹣2x≤30，
∴35≤x＜50
∴当x＝35时，y＝﹣2×（35﹣25）2+1250＝1050为最大值，
故答案为：1050平方米．
19．解：抛物线y＝（x+1）2﹣4向上平移a个单位后得到的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4+a，
此时抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4+a），
因为新抛物线恰好与x轴有一个交点，
所以﹣4+a＝0，解得a＝4．
故答案为：4．
20．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，
可知函数顶点坐标为（3，﹣4），
当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
即（x﹣1）（x﹣5）＝0，
解得x1＝1，x2＝5．
如图：m＝﹣4，
当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．
则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．
21．解：（1）由表中数据可知，销售单价每上涨一元，每天销售量减少10本，
∴y与x之间的函数关系式是一次函数，
设y＝hx+b，把（32，420）和（33，410）代入，得：
，
解得：，
∵销售单价不低于32元，且获利不高于60%，
∴≤60%，即x≤48，
∴32≤x≤48，
∴y＝﹣10x+740（32≤x≤48）；
（2）由题意，可列出方程为：（x﹣30）（﹣10x+740）＝3400，
整理并化简得，x2﹣104x+2560＝0，
解得，x1＝40，x2＝64，
∵32≤x≤48，
答：销售单价是40元时，商店每天获利3400元；
（3）w＝（x﹣30）y＝﹣10x2+1040x﹣22200＝﹣10（x﹣52）2+4840，
∵a＝﹣10＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x＝52，
∴当32≤x≤48时，w随x的增大而增大
∴当x＝48时，w最大＝﹣10（48﹣52）2+4840＝4680（元），
答：销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是4680元．
22．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3，0），
∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴点A（3，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），
∴C（﹣1，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，
∴P的坐标为（1，2）；
（3）∵抛物线有一点D（x．y），
∴D（x，﹣x2+2x+3），
过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，
∴E（x，﹣x+3），
∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），
∴S△ABC＝（3+1）×3＝6，
∴S△ABD＝S△ABC＝，
∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，
∴（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝，
解得x＝，
∴y＝﹣x2+2x+3＝，
∴D（，），（，）．
23．解：（1）由题意抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点，
则，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点A（1，4）；
（2）设点M坐标为M（m，﹣m2+2m+3）（m＞0），
①若四边形MNGH为正方形，则MN＝MH，且MN∥MH，即点M、N的纵坐标相等．
由（1）得抛物线的对称轴为直线x＝1，则点N的横坐标为2﹣m，
∴点N坐标为（2﹣m，﹣m2+2m+3），
∴MN＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，
∵MN＝MH，
∴2m﹣2＝﹣m2+2m+3，
解得：或（舍去），
∴；
②当四边形MNGH为矩形时，
由①MH＝﹣m2+2m+3，MN＝2m﹣2，
则矩形MNGH周长＝2[（﹣m2+2m+3）+（2m﹣2）]＝﹣2（m﹣2）2+10，
∴当m＝2时，矩形MNGH周长的最大值为10．
24．解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣16+4b+3，解得b＝，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3，
令x＝0，则y＝3，故点B的坐标为（0，3）；
令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣，
故点C的坐标为（﹣，0）；
（2）连接AB，
则△ABC的面积＝×AC OB＝×（4+）×3＝；
（3）设点P的坐标为（x，0），
由题意得：AB2＝42+32＝25，AP2＝（x﹣4）2，BP2＝x2+9，
当AB＝AP时，则25＝（x﹣4）2，解得x＝9或﹣1，
当AB＝BP时，同理可得x＝4（舍去）或﹣4，
当AP＝BP时，同理可得x＝，
故点P的坐标为（9，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）或（，0）．
25．解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+6＝6，则C（0，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），
把C（0，6）代入得a 1 （﹣6）＝6，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣6），即y＝﹣x2+5x+6；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，
设AC所在直线的解析式为y＝mx+n，
将A（6，0），C（0，6）代入，得：，
解得：，
则AC所在直线解析式为y＝﹣x+6，
又y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
在直线y＝﹣x+6中当x＝时，y＝，
则M的坐标为（，）；
（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），
存在4个点P，使△ACP为直角三角形．
PC2＝x2+（﹣x2+5x）2，PA2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2＝62+62＝72，
当∠PAC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72＝x2+（﹣x2+5x）2，
整理得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝6（舍去），x2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，﹣8）；
当∠PCA＝90°，∵PC2+AC2＝PA2，
72+x2+（﹣x2+5x）2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，
整理得x2﹣4x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝4，此时P点坐标为（4，10）；
当∠APC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2＝72，
整理得x3﹣10x2+20x+24＝0，
x3﹣10x2+24x﹣4x+24＝0，
x（x2﹣10x+24）﹣4（x﹣6）＝0，
x（x﹣4）（x﹣6）﹣4（x﹣6）＝0，
（x﹣6）（x2﹣4x﹣4）＝0，
而x﹣6≠0，
所以x2﹣4x﹣4＝0，解得x1＝2+2，x2＝2﹣2，
此时P点坐标为（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．