河南省新乡市部分高中2021-2022学年高三上学期12月联考数学（文）试题（Word版含答案）

新乡市部分高中2021-2022学年度上学期高三12月联考
数学试卷（文科）
一、选择题 (每题5分共60分)
1．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4.设是等比数列，且，，则（ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
5.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1
6.数列中，，，若，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
8．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
9．设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则（ ）
A． 当 B． 当
C． 当 D． 当
10．设为等差数列的前项和，若，，则
（ ）
A． B． C． D．
11．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 （ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题 (每题5分，共20分)
13.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
14.数列满足，前16项和为540，则 ______________.
15．记为数列的前项和，若，则___________．
16．等差数列的前项和为，，，则___________．
三、解答题 (70分）
17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
18．（12分）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
19．（12分）如图，在三棱柱中，，，，.
（1）证明：平面平面.
（2）若，求到平面的距离.
20．（12分）已知抛物线的焦点为，、是该抛物线上不重合的两个动点，为坐标原点，当点的横坐标为时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）以为直径的圆经过点，点、都不与点重合，求的最小值．
21．（12分）已知，．
（1）求的单调区间；
（2）若时，恒成立，求m的取值范围．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．（10分）2．已知曲线C1：（t为参数），C2：（α为参数且），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线C3：θ＝（ρ∈R）．
（1）求曲线C1，C2的普通方程；
（2）若C2上的点P对应的参数α＝，Q为C1上的点，求PQ的中点M到直线C3距离d的最小值．
23．（10分）已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围
数学（文科）
参考答案
一、选择题
1．【答案】A【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴. 故选：A.
2．【答案】B【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】由已知条件可得，则，因此，.
故选：B.
3．【答案】C【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，，
所以n的最大值为11. 故选：C.
4.【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
5.【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
6.【答案】C 【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
7.【答案】B 【解析】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
8．【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
9．【答案】A 【解析】①当b=0时，取a=0，则.
②当时，令，即.
则该方程，即必存在，使得，
则一定存在，使得对任意成立，
解方程，得，
当时，即时，总存在，使得，
故C、D两项均不正确.
③当时，，
则，
.
（ⅰ）当时，，
则，
，
，
则，
，
故A项正确.
（ⅱ）当时，令，则，
所以，以此类推，
所以，
故B项不正确.
故本题正确答案为A.
10．【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B．
11．【答案】C 【解析】设公差为，，
，联立解得，故选C．
12．【答案】A 【解析】由题意得，数列如下：
则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
二、填空题
13.【答案】 【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
14.【答案】7 【解析】
，
当为奇数时，；当为偶数时，.
设数列的前项和为，
，
.
15．【答案】-63 【解析】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以 1为首项，以2为公比的等比数列，所以。
16．【答案】 【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ，
数列的前n项和，
裂项可得，
所以．
三、解答题
17．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设的公差为d．
由得．
由a3=4得．
于是．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，故.
由知，故等价于，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是．
18．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由已知，得，
而，所以．
又因为，解得，所以．
由，可得；
由，可得，
联立①②，解得，
由此可得．
所以，的通项公式为，的通项公式为．
（2）设数列的前项和为，
由，有
，
，
上述两式相减，得
，得．
所以，数列的前项和为．
19．解：（1）证明：如图，连接，在中，，，，
由余弦定理得，所以，所以，同理.又因为，所以平面.因为平面，
所以平面平面.
（2）过作于D，连接BD，.
由（1）知平面ABC，所以平面ABC.
因为，，所以，.因为，所以.
因为，所以，所以.在中，因为，，，
所以.因为，所以，.在中因为，，，所以，所以，于是的面积为.因为，所以三棱锥的体积为.记到平面的距离为d，因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相同，所以，解得，即到平面的距离为.
20．解：设，设点在轴上的射影点为，
，，，．
，则，
所以，，解得，所以，所求抛物线的方程为．
（2）解：设直线的方程为，设点、．
由方程组得．
，即，且，．
，．
因为以为直径的圆经过点，所以，，
，即，
，
，，
或，若，直线过点，不合题意，舍去．所以，．
则，
所以，当时，最小，且最小值为．
21．解：（1），，
①当时，，
在恒成立，，在单调递减，
②当时，令，则在恒成立，
在单调递增，且，在恒成立，
即在恒成立，
在单调递增，
综上所述：在单调递减，在单调递增.
（2）当时，
在恒成立，令，
，令，
由（1）得，在单调递增，且，
在恒成立，在单调递增，，
.
22．解：（1）曲线C1：（t为参数），转换为普通方程为．
曲线C2：（α为参数且，转换为普通方程为．
（2）由于C2上的点P对应的参数α＝，所以P（0，1），点Q，
所以PQ的中点坐标为（），直线C3：θ＝（ρ∈R）转换为直角坐标方程为x﹣y＝0，所以d＝，
当时，．
23．解：（1）因为f(x)
所以f(x)等价于或或
解得或，即关于的不等式的解集为或．
（2）
记函数g(x)＝f(x)
f(x)对任意的恒成立且且，解得，即的取值范围为.