1.1菱形的性质与判定 寒假自主巩固提升训练2021-2022学年北师大版九年级数学上册(word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
寒假自主巩固提升训练（附答案）
1．关于菱形，下列说法错误的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直 C．四个角相等 D．对角线互相平分
2．如图，将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，连接AD，下列结论正确的是（　　）
A．AD＝AB B．四边形ABCD是平行四边形
C．AD＝2AC D．四边形ABCD是菱形
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为（　　）
A．（5，4） B．（8，4） C．（5，3） D．（8，3）
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣2），则菱形ABCD的面积为（　　）
A．16 B．32 C．8 D．16
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）
A． B． C．4 D．
6．如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　）
A． B． C．12 D．24
8．如图，菱形ABCD的周长为16，∠C＝120°，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为（　　）
A． B． C．4 D．8
9．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A＝134°，则∠BEC的大小为（　　）
A．23° B．28° C．62° D．67°
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点B的坐标是（　　）
A．（0，5） B．（0，6） C．（0，7） D．（0，8）
12．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（　　）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.5
13．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝33°，则∠OBC的度数为（　　）
A．33° B．57° C．59° D．66°
14．已知平行四边形ABCD，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD
15．如图，菱形ABCD对角线AO＝4cm，BO＝3cm，则菱形高DE长为（　　）
A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm
16．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（　　）
A．100° B．120° C．135° D．150°
17．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．每条对角线平分一组对角 D．对角互补
18．如图菱形ABCD的两条对角线AC＝80cm，BD＝60cm，那么菱形的边长是（　　）
A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm
19．如图菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝4，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．12 B．20 C．8 D．16
20．如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD长为4，则菱形ABCD的面积是　 　．
21．在菱形ABCD中，对角线AC＝4cm，BD＝7cm，则菱形的面积为　 　cm2．
22．如图，已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DB＝4，AC＝8，求菱形ABCD的周长．
23．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．
24．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在边AB、BC上，△DEF是等边三角形．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若DG⊥AB，AD＝6，AE＝4，求EF的长．
25．已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，过点A作AE∥DC交BC于点E．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面积．
26．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE：AC＝1：2，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
27．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．
28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
29．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH．
（1）求证：∠OHD＝∠ODH；
（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．
30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CD⊥AB，AF平分∠CAB，交CD于点E，交BC于点F．过点F作FG⊥AB交AB于点G，连接EG．
（1）求证：四边形CEGF是菱形；
（2）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长．
参考答案
1．解：∵菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
∴四个角相等不是菱形的性质，
故选：C．
2．解：∵将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
3．解：∵点A的坐标是（3，4），
∴OA＝5，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB＝5，
则点B的坐标为（8，4）．
故选：B．
4．解：∵点B的坐标为（0，﹣2），
∴OB＝2，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴∠ABO＝，
∵∠AOB＝90°，
∴OA＝OB tan60°＝2，
∴AC＝2OA＝4，BD＝2OB＝4，
∴，
故选：C．
5．解：如图．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB DE＝AC BD，
∴DE＝＝＝．
故选：D．
6．解：∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，
∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
故选：A．
7．解：设AC与BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，
∴AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC BD＝24，DH⊥AB，
∴DH＝24÷DH＝．
故选：B．
8．解：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，AC⊥BD，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB＝AC＝4，
∴OA＝2，
∴OB＝＝＝2，
∴BD＝2OB＝4
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF＝BD＝2．
故选：B．
9．解：∵菱形ABCD，∠A＝134°，
∴∠ABC＝180°﹣134°＝46°，
∴∠DBC＝，
∵CE⊥BC，
∴∠BEC＝90°﹣23°＝67°，
故选：D．
10．解：∵ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24，
∴AC＝6，
∵AH⊥BC，AO＝CO＝3，
∴OH＝AC＝3．
故选：A．
11．解：∵A（12，13），
∴OD＝12，AD＝13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AD＝13，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝5，
∴OB＝13﹣5＝8．
∴B（0，8）．
故选：D．
12．解：设AC与BD的交点为O，
∵点P是BC边上的一动点，
∴AP⊥BC时，AP有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，
∴AP＝＝4.8，
故选：B．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝33°，
∴∠BCA＝∠DAC＝33°，
∴∠OBC＝90°﹣33°＝57°，
故选：B．
14．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C；故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD矩形；故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；
故选：D．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2OA＝2×4cm＝8cm，BD＝2BO＝2×3cm＝6cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm），
菱形ABCD的面积＝AC BD＝AB DE，
即×8×6＝5DE，
解得：DE＝4.8（cm），
故选：C．
16．解：连接AC，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵CE⊥AB，点E是AB中点，
∴BC＝AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；
即菱形ABCD的较大内角度数为120°；
故选：B．
17．解：A、菱形、平行四边形的对边平行且相等，故A选项不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；平行四边形的对角线互相平分，故C选项符合题意；
D、菱形、平行四边形的对角相等，故D选项不符合题意．
故选：C．
18．解：设AC、BD交于点O，如图所示：
∵菱形ABCD的两条对角线AC＝80cm，BD＝60cm，
∴AC⊥BD，BO＝OD＝BD＝30cm，OA＝OC＝AC＝40cm，
∴AB＝＝＝50（cm）；
故选：B．
19．解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝2，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴OB＝OA＝2，AB＝2OB＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝16；
故选：D．
20．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝BD＝2，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝4，
∴AO＝＝＝2，
∴AC＝4，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝8，
故答案为：8．
21．解：如图所示：
∵菱形ABCD中，对角线AC＝4cm，BD＝7cm，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×4×7＝14（cm2）；
故答案为：14．
22．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝2，AC⊥BD，
∴AB＝＝＝2，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝8．
23．证明：方法一：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴DF＝BF，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，DA＝BC，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
同理可证：△DCF≌△BAE（SAS），
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
方法二：∵ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，
∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，
所以就能得到四个三角形全等，
所以四条边相等，
所以四边形BEDF为菱形．
方法三：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是菱形．
24．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，DC＝DB，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°，DF＝DE，
∴∠CDF＝∠BDE，
∴△CDF≌△BDE（SAS），
∴BE＝CF；
（2）∴△ABD是等边三角形，DG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝AD＝3，
∴DG＝AG＝3，
∴EG＝AE﹣AG＝1，
在Rt△DGE中，根据勾股定理，得
DE＝＝2，
∴EF＝DE＝2．
25．解：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝EC，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2EC．
∴E为BC的中点
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝2AE
∴AE＝EC，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴四边形AECD为菱形；
（2）解：连接DE，
∵AB＝AE＝2，AE＝BE，
∴AB＝AE＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠B＝60°．
∵AD＝BE，AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形．
∴DE＝AB＝2，
∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝2，
∴BC＝4．
∴．
∴SAECD＝＝2．
26．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．
∵DE：AC＝1：2，
∴DE＝OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2．
∴在矩形OCED中，
CE＝OD＝＝＝．
在Rt△ACE中，
AE＝＝＝．
27．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB
∴四边形DEBF是平行四边形
∵DE∥BC
∴∠EDB＝∠DBF
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC
∴∠ABD＝∠EDB
∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形
∴四边形BEDF为菱形；
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∵四边形BEDF为菱形，
∴∠EDF＝∠ABC＝50°，∠BDE＝∠EDF＝25°．
28．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，
∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．
29．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
∴OH＝BD＝OD，
∴∠OHD＝∠ODH；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥AC，
在 Rt△OCD中，CD＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝20，
菱形ABCD的面积＝×6×8＝24．
30．（1）证明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝FG，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG，
∵CE∥FG，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∵CE＝CF，
∴平行四边形CEGF菱形；
（2）解：∵Rt△ACF≌Rt△AGF，
∴AG＝AC＝6，
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AB＝2AC＝2×6＝12，
∴BG＝AB﹣AG＝12﹣6＝6，
在Rt△BGF中，tan∠B＝＝，
∴tan30°＝，
∴FG＝6×tan30°＝6×＝2，
∴CE＝FG＝2．