2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定寒假自主巩固提升训练（word版、含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
寒假自主巩固提升训练（附答案）
一．考点1：菱形的性质
1．如图，菱形ABCD对角线AO＝4cm，BO＝3cm，则菱形高DE长为（　　）
A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm
2．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（　　）
A．100° B．120° C．135° D．150°
3．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD＝；其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8，过BD的中点O作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，连接DF，则DF的长度为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（　　）
A．（0，2） B．（2，﹣4）
C．（2，0） D．（0，2）或（0，﹣2）
7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（　　）
A．4 B．8 C． D．6
8．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BC于点E，若AC＝，AE＝2，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．5 B．4 C．2 D．3
9．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（　　）
A．4 B．4+ C．2+2 D．6
10．如图，在菱形ABCD中，菱形的边长为5，对角线AC的长为8，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为（　　）
A．20 B．6 C．12 D．24
11．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA＝1．将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2020次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2020的坐标为（　　）
A．（1345，0） B．（1345.5，）
C．（1346，0） D．（1346.5，）
二．考点2：菱形的判定
12．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（　　）度时，四边形AECF是菱形．
A．30° B．40° C．45° D．50°
13．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且AB∥PQ，连接AP、BQ、PQ．
（1）求证：△APD≌△BQC；
（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长中线AD到点E，作∠AEF＝45°，点P从点E开始沿射线EF方向以cm/秒的速度运动，设运动时间为t秒（0＜t＜6）．过点P作PQ⊥AE，垂足是点Q，连接BQ，CQ．若BC＝4cm，DE＝6cm，且当t＝2时，四边形ABQC是菱形．
（1）求AB的长．
（2）若四边形ABQC的一条对角线等于其中一边，求t的值．
15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
三．考点3：菱形的判定与性质
16．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
17．如图，△ABC中，AB＝BC，过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC的延长线交于E点，连接EO，若BC＝，AC＝2，直接写出OE的长．
18．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求DP的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
20．如图，在 ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，连接BD、AF，BE平分∠ABD，∠ABD＝60°．
（1）若BD＝3，则DF＝　 　；
（2）求证：四边形ABDF是菱形．
（3）设BD＝x，△BDC的面积记为y，求y与x之间的函数关系式．
21．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．
（1）求证：△ABE≌△AGF；
（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，，求AC EF的值．
参考答案
一．考点1：菱形的性质
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2OA＝2×4cm＝8cm，BD＝2BO＝2×3cm＝6cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm），
菱形ABCD的面积＝AC BD＝AB DE，
即×8×6＝5DE，
解得：DE＝4.8（cm），
故选：C．
2．解：连接AC，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵CE⊥AB，点E是AB中点，
∴BC＝AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；
即菱形ABCD的较大内角度数为120°；
故选：B．
3．解：连接AC，如图：
∵AE，AF分别垂直平分BC，CD，
∴AB＝AC，AD＝AC，∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
即△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠EAC＝∠B＝60°，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠OAD＝60°，
在△ABF和△CAE中，，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，
∵∠FHC＝∠ACE+∠FAC＝∠BAF+∠FAC＝∠BAC＝60°，
∴∠FHC＝∠B，
故①正确，②正确；
∵∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，
故③△ADO≌△ACH不正确；
∵△ABC是等边三角形，AB＝AC＝1，
∴△ABC的面积＝AB2＝，
∴菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积＝，
故④不正确；
故选：B．
5．解：连接AC，如图：
∵四边形ABCD是菱形，O是BD的中点，
∴OD＝OB＝BD＝4，AD＝AB＝5，AC⊥BD，
∴OA＝＝3，
∵OE⊥AD，
∴△AOD的面积＝AD×OE＝OA×OD，
∴OE＝＝＝，
同理：OF＝，
∴EF＝OE+OF＝，
∵DE＝＝＝，
∵EF⊥AD，
∴DF＝＝＝；
故选：D．
6．解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD＝60°，AD＝4，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝2，
∴AO＝＝＝OC，
∴点C的坐标为（0，），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，），
∴点C的坐标为（0，）或（0，），
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH＝BD，
∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，
∴BD＝8，
∴OH＝BD＝4；
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝，
∵AE⊥BC，
∴△ABC的面积＝BC×AE＝AC×OB，
∴＝＝，
设BC＝x，则OB＝2x，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：（x）2﹣（2x）2＝（）2，
解得：x＝，
∴BC＝，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AE＝×2＝5；
故选：A．
9．解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA＝FH，
∵FA＝FC，
∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝，
∴AE+AF的最小值4，
∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，
故选：D．
10．解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝∠BCD，AB＝5，OA＝AC＝4，AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠BCD＝∠CBE，OB＝＝＝3，
∴△ABC的面积＝AC×OB＝×8×3＝12，
∵BF平分∠CBE，
∴∠CBF＝∠CBE，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴AC∥BF，
∴△ACG的面积＝△ABC的面积＝12；
故选：C．
11．解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝BC＝OC．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB．
∴AC＝OA．
∵OA＝1，
∴AC＝1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2020＝336×6+4，
∴点B4向右平移1344（即336×4）到点B2020．
∵B4的坐标为（2，0），
∴B2020的坐标为（2+1344，0），
∴B2020的坐标为（1346，0）．
故选：C．
二．考点2：菱形的判定
12．解：当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，
理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
即∠CAE＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
故选：A．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵CQ∥DB，
∴∠BCQ＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠BCQ，
∵AB∥PQ，
∴CD∥PQ，
∴四边形CDPQ是平行四边形，
∴DP＝CQ，
∴△APD≌△BQC（SAS）．
（2）证明：由（1）得：四边形CQPD是平行四边形，
∴CD＝PQ，CD∥PQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AB＝PQ，AB∥PQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∵△ADP≌△BCQ，
∴∠APD＝∠BQC，
∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，
∴四边形ABQP是菱形．
14．解：（1）∵∠AEF＝45°，PQ⊥AE，点P从点E开始沿射线EF方向以cm/秒的速度运动，
∴当t＝2时，EP＝2cm，
∴EQ＝QP＝2cm，
∵DE＝6cm，
∴DQ＝4cm，
∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴∠CDQ＝90°，
∵BC＝4cm，
∴CD＝2cm，
∴CQ＝＝＝2cm，
∵当t＝2时，四边形ABQC是菱形，
∴AB＝CQ＝2cm，
即AB的长是2cm；
（2）当BC＝CQ时，
∵BC＝4cm，
∴CQ＝4cm，
∵CD＝2cm，∠CDQ＝90°，
∴DQ＝＝2cm，
∴EQ＝DE﹣DQ＝6﹣2cm，
∵EQ＝PQ，EP＝t，
∴（6﹣2）2+（6﹣2）2＝（t）2，
解得，t＝6﹣2；
当AB＝AQ时，则AQ＝2cm，
∵AB＝2，BD＝2，∠ADB＝90°，
∴AD＝4cm，
∴DQ＝AQ﹣AD＝（2﹣4）cm，
∴EQ＝DE﹣DQ═6﹣（2﹣4）＝（10﹣2）cm，
∵EQ＝PQ，EP＝t，
∴（10﹣2）2+（10﹣2）2＝（t）2，
解得，t＝10﹣2；
当AB＝BC时，不成立；
当CQ＝AQ时，
∵CQ＝＝，AQ＝AD+DQ＝4+（6﹣t）＝10﹣t，
∴＝10﹣t，
解得，t＝7.5（舍去），
综上所述，t的值是6﹣2或10﹣2．
15．证明：（1）∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB；
（2）∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝DB，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
∴ ADCF是菱形．
三．考点3：菱形的判定与性质
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，
∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC⊥AB，
∴EF∥AB，
∴∠OEC＝∠B＝30°，
∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，
∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．
17．证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB
∴AB＝AD，且AB＝BC，
∴AD＝BC，且AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
CO＝AC＝1，
∵BC＝，
∴BO＝＝2，
∴BD＝2OB＝4，
∵DE⊥BC，
∴OE＝BD＝2．
18．（1）证明：由作图知BA＝BE，∠ABF＝∠EBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝8，
∴AB＝AF＝8，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝4，
∴PH＝2，DH＝8，
∴DP＝＝＝2．
19．（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即60﹣4t＝2t，解得t＝10．
∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，
又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形．
20．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，
∴∠ABF＝∠BFD，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠DBF，
∴∠BFD＝∠DBF，
∴DF＝BD＝3，
故答案为3．
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD．
∵点F在CD的延长线上，
∴FD∥AB．
∴∠ABE＝∠DFE．
∵E是AD中点，
∴AE＝DE．
在△ABE和△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（AAS）；
∴AB＝DF．
∵AB∥DF，AB＝DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵DB＝DF．
∴四边形ABDF是菱形．
（3）解：∵四边形ABDF是菱形，
∴AB＝BD，∵∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝AB＝CD＝BD，
∴△BDC是等边三角形，
∴y＝x2．
21．（1）证明：在 ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，
∵ ABCD纸片沿EF折叠，点C与点A重合，点D落在点G处，
∴AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，∠D＝∠G，
∴AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，∠B＝∠G，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF，∠EAG＝∠GAF+∠EAF，
∴∠BAE＝∠GAF，
在△ABE和△AGF中，，
∴△ABE≌△AGF（ASA）；
（2）解：连接CF，∵△ABE≌△AGF，
∴AE＝AF，
根据翻折的性质EC＝AE，
∴EC＝AE＝AF，
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
根据翻折后点A、C重合，∴AC⊥EF，
∴ AECF是菱形，
∴AC EF＝2×菱形AECF的面积，
∵ ABCD的面积＝8，＝，
∴△AEC的面积＝×8×＝，
∴菱形AECF的面积等于，
∴AC EF＝2×菱形AECF的面积＝．