2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系 寒假自主复习提升训练（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》
寒假自主复习提升训练（附答案）
1．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4
2．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
3．已知x1，x2是方程x2﹣x+1＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．4
4．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为（　　）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
5．设a，b是方程x2+3x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+4a+b的值为（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
6．若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（　　）
A．12 B．10 C．4 D．﹣4
7．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1 x2＝2
8．如果一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根是互为相反数，那么有（　　）
A．m＝0 B．m＝﹣1
C．m＝1 D．以上结论都不对
9．已知xy≠1，且3x2+2021x+6＝0，6y2+2021y+3＝0，则＝（　　）
A． B．2 C．3 D．9
10．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　）
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
11．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若+＝4m，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
12．一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，+2x1x2+＝　 　．
13．如果关于x的方程的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为　 　．
14．已知m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则代数式2m2﹣3m﹣n的值等于　 　．
15．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为　 　．
16．已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝　 　．
17．已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为　 　．
18．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为　 　．
19．若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则的值为　 　．
20．阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数　 　；
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
21．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
22．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
23．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
24．已知关于x的一元二次方程3x2﹣5x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若原方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根．
25．已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．
26．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
参考答案
1．解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
2．解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
3．解：∵x1，x2是方程的两根，
∴x1+x2＝，x1 x2＝1，
∴＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝5﹣2＝3．
故选：A．
4．解：设方程x2﹣3x+m＝0的另一个解为n，
依题意，得：﹣1+n＝3，
解得：n＝4．
故选：D．
5．解：∵a，b是方程x2+3x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝2022，a+b＝﹣3，
∴b＝﹣3﹣a，
∴a2+4a+b＝a2+4a+2022﹣a＝a2+3a+a﹣3﹣a＝2022﹣3＝2019；
故选：B．
6．解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；
故选：A．
7．解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
8．解：设该一元二次方程的两个根分别是x1、x2，则根据题意知
x1+x2＝﹣（m+1）＝0，即m+1＝0，
解得，m＝﹣1；
故选：B．
9．解：当x＝0时，方程左边＝6≠0，
∴x≠0．
将方程3x2+2021x+6＝0的两边同时÷x2得6（）2+2021+3＝0．
∵xy≠1，即y≠，
∴，y为一元二次方程6x2+2021x+3＝0的两个不相等的解，
∴＝＝．
故选：A．
10．解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，
∴，
∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．
当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；
当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．
故选：D．
11．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x+＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵+＝4m，
∴＝4m，
∴m＝2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m＝2．
故选：A．
12．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4+16＝20，
∴+2x1x2+＝+2x1x2＝﹣16＝﹣，
故答案为：﹣．
13．解：∵方程x2+kx+k2﹣3k+＝0的两个实数根，
∴b2﹣4ac＝k2﹣4（k2﹣3k+）＝﹣2k2+12k﹣18＝﹣2（k﹣3）2≥0，
∴k＝3，
代入方程得：x2+3x+＝（x+）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣，
∴＝﹣，
故答案为：﹣．
14．解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝1，m2﹣m＝2，
则原式＝2（m2﹣m）﹣（m+n）
＝2×2﹣1
＝4﹣1
＝3，
故答案为：3
15．解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1．
∵x1+x2＝1﹣x1x2，即2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），
∴m1＝﹣2，m2＝1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，
解得：m≥﹣1，
∴m＝1．
故答案为：1．
16．解：∵m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣6＝0，即m2＝6﹣2m；
∵m+n＝﹣2，mn＝﹣6，
∴m2﹣mn+3m+n＝6﹣2m﹣mn+3m+n＝m+n﹣mn+6＝﹣2+6+6＝10．
故答案为：10．
17．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴Δ＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
故答案为：1．
18．解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
+﹣x1x2
＝﹣3x1x2
＝4﹣3（k﹣1）
＝13，
k＝﹣2，
经检验，k＝﹣2符合题意，
故答案为：﹣2．
19．解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
∴＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
20．解：（1）∵，
∴，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0 （a，b，c均不为0）的两根，
∴，，
∴，
∵x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解，
∴，
∴，
∴＝，
∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”．
21．解：（1）Δ＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
∴k≤3．
（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵＝x1x2﹣4，
∴＝x1x2﹣4，
∴，
∴k＝5或k＝﹣3，
由（1）可知：k＝5舍去，
∴k＝﹣3．
22．（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4 2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，
方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
23．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤；
（2）满足条件的k的最大整数为2，此时方程x2﹣3x+k＝0变形为方程x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
当相同的解为x＝1时，把x＝1代入方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0得m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；
当相同的解为x＝2时，把x＝2代入方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0得4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，不符合题意，舍去，
所以m的值为．
24．解：（1）根据题意得：
Δ＝（﹣5）2﹣12k
＝25﹣12k≥0，
解得：k≤，
即k的取值范围为：k；
（2）由题意得：
x，
∵原方程的一个根是2，
∴方程的另一个根是，
由，
∴．
25．解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x＝，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，
解得：k≤．
综上所述，k的取值范围为k≤．
（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
∵x1+x2+x1x2＝4，
∴+＝4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
26．解：
（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2，
∴△≥0，即[﹣2（k﹣1）]2﹣4k2≥0，解得k≤；
（2）由根与系数关系可得x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2，
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴2（k﹣1）＝1﹣k2，解得k＝1或k＝﹣3，
∵k≤，
∴k＝﹣3．