2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件 寒假自主复习提升训练 (word版含答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件》
寒假自主复习提升训练（附答案）
1．如图，△ACD∽△ABC需具备的条件是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A．B． C．D．
3．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A．B．C．D．
4．如图，点E在 ABCD的边BC延长线上，连AE，交边CD于点F．在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
6．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2和x、y轴交于B、A两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（　　）
A．△AFD B．△FED C．△AED D．不能确定
8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（　　）
A．3 B．3或 C．3或 D．
10．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
11．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（　　）
A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
12．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm
13．如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件：　 　，使△ADE∽△ACB．
14．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，当AE＝　 　cm时，使得△ADE与△ABC相似．
15．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD＝　 　时，图中的两个直角三角形相似．
16．点D在△ABC的边AB上，且AC2＝AD AB，则△ABC∽△ACD，理由是 　 　．
17．如图，E是 ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中 　 　对相似三角形．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E是DC上一点，∠DAE＝∠BAC，则EC的长为 　 　．
19．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD AB，其中单独能够判定△ABC∽△ACD的有　 　．
20．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝　 　度．
21．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
22．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上一动点（不与B、C重合）．连接AE，过点E作EF⊥AE，交DC于点F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE＝∠EAF，请证明你的结论．
23．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．
（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．
24．如图，已知△ABC，AB＝AC，∠A＝36°．
（1）作∠B的平分线与AC交于点D．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：△BDC∽△ABC．
参考答案
1．解：在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：＝，
∴＝．
故选：C．
2．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
D、两三角形对应边成比例（4﹣1）：6＝（6﹣4）：4且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
故选：C．
3．解：根据勾股定理，AC＝＝2，BC＝，
所以，夹直角的两边的比为＝2，
观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△AFD∽△EFC∽△EAB．
故选：C．
5．解：（1）作∠APD＝∠C
∵∠A＝∠A
∴△APD∽△ABC
（2）作PE∥BC
∴△APE∽△ABC
（3）作∠BPF＝∠C
∵∠B＝∠B
∴△FBP∽△ABC
（4）作PG∥AC
∴△PBG∽△ABC
所以共4条
故选：C．
6．解：如图，
①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点P1，则△OAP1与△AOB相似（全等），
②作AP2⊥OP1，垂足为P2则△AOP2与△AOB相似．
③作∠AOP3＝∠ABO交AP1于P3，则△AOP3与△AOB相似．
④作AP4⊥OP3垂足为P4，则△AOP4与△AOB相似．
故选：C．
7．解：∵AF＝4，DF＝4，AD＝4，AB＝2，BC＝2，AC＝2，
∴＝2，
∴△AFD∽△ABC，
故选：A．
8．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴△ABC∽△ACD
△ACD∽△CBD
△ABC∽△CBD
所以有三对相似三角形，
故选：C．
9．解：当△ABC∽△AQP时，，即，AQ＝3；
当△ABC∽△APQ时，，即，AQ＝，
故选：B．
10．解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB：BC＝CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
11．解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠EAO+∠AOE＝90°，∠AOE+∠MOC＝90°，
∴∠EAO＝∠COM，
又∵∠AEO＝∠CMO＝90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴，
∵∠BAN+∠OAN＝90°，∠EAO+∠OAN＝90°，
∴∠BAN＝∠EAO＝∠COM，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN＝CM，
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN＝，
∴CM＝，
∴，
∴MO＝3，
∴点C的坐标是：（3，）．
故选：B．
12．解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20＝20：x，解得x＝12.36cm．
方法2：书的宽为20×0.618＝12.36cm．
故选：A．
13．解：∵∠DAE＝∠CAB
∴当∠1＝∠C或∠2＝∠B或＝时，△ADE∽△ACB．
故答案是：∠1＝∠C或∠2＝∠B或＝，
14．解：有两种情形：
如图，当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE＝（cm），
当∠ADE′＝∠C时，∵∠A＝∠A，
∴△ADE′∽△ACB，
∴＝，
∴，
∴AE′＝1.5（cm），
故答案为：或1.5．
15．解：∵∠ACB＝∠CBD＝90°，
∴要使△ACB和△CBD相似，
必须或，
将AC＝8，CB＝2代入上式，得＝或，
∴BD＝或8．
∴当BD＝或8时，图中的两个直角三角形相似．
故答案为：或8．
16．证明：∵AC2＝AD AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
故理由是两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似．
故答案为：两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似．
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△AEF∽△DCF，△AEF∽△BEC，
∴△BEC∽△DCF，
故图中三对相似三角形．
故答案为：三．
18．解：矩形ABCD中，DC＝AB＝2，AD＝BC＝1，
又∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴AB：AD＝BC：DE，
∴＝，
∴DE＝，
∴EC＝DC﹣DE＝．
故答案为：．
19．解：由图可知∠A为两个要证明相似的三角形的公共角，
因此，只要再找出一组对应角相等，或两组对应边成比例即可证明△ABC∽△ACD．
而①②④分别与∠A为△ABC与△ACD的公共角相结合，均可推出△ABC∽△ACD．
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，故不正确．
∴选①②④．
故答案为：①②④．
20．解：如图所示，∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵对角线BD是它的相似对角线，
∴△ABD∽△DBC，
∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠ADC，
又∵∠A+∠C+∠ADC＝360°﹣70°＝290°，
∴∠ADC＝145°，
故答案为：145．
21．解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）；
当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
（2）E是中点时，∠BAE＝∠EAF，
理由如下：
连接AF，延长AE于DC的延长线相交于点H，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
∵AB∥DH，
∴∠B＝∠ECH，
∵∠AEB＝∠CEH，
∴△ABE≌△HCE，
∴AE＝EH，
∵EF⊥AH，
∴△AFH是等腰三角形，
∴∠EAF＝∠H，
∵AB∥DH，
∴∠H＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠EAF，
∴当点E在BC中点位置时，∠BAE＝∠EAF．
23．解：（1）△ABE与△ADF相似．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，
∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∠AEB＝∠DAF，
∴△ABE∽△DFA．
（2）∵△ABE∽△ADF
∴＝，
∵在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝8，
∴AE＝10
∴DF＝＝＝7.2．
答：DF的长为7.2．
24．（1）解：如图，射线BD即为所求；
（2）证明：在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ABC＝×72°＝36°，
∴∠CBD＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC．