2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册1.8三角函数的简单应用 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
§ 1.8　三角函数的简单应用
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型．
2．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．
数学素养
通过三角函数的简单应用，培养数学运算与数学建模素养.
环节一
情境引入
情境引入
周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型，这一节将利用三角函数研究关于周期现象的简单的实际问题.
请欣赏：水车风情
情境引入
水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图设水车(即圆周)的直径为3m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2m，逆时针匀速旋转一圈的时间是min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位：m).
(1)求h与旋转时间t(单位：s)的函数解析式，并画出这个函数的图象.
水车问题.
P
Q
N
O
M
R
α
(2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生.哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？
φ
解:设点P在水面上时高度h为0，当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度为负值.
(1)过点P向水面作垂线，交水面于点M，PM的长度为点P的高度h，过水车中心O，作PM的垂线.交PM于点N，设Q为水车与水面交点、△QON=φ.由已知，水车的半径R=1.5m,水车中心到水面的距离b=1.2m,水车旋转一圈所需的时间为T= 80s，转速为π/40rads.
不妨从水车与水面交点Q时开始计时(t=0)，旋转ts水车转动的角的大小为α，即
情境引入

从图中不难看出：
h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b①
因为 所以φ≈53.1°=0.295πrad.因此
②
这就是点P距水面的高度h关于时间t的函数解析式.
水车问题.
P
Q
N
O
M
R
α
φ
情境引入

当点P旋转到与中心O等高时，点P到水面的距离恰好是1.2m.此时 0，t=40×0. 295=11.8(s).找出使t-0.295π取0. 的五个关键点，列表、描点，画出函数在区间[0，91.8]上的图象
水车问题.
P
Q
N
O
M
R
α
φ
11.8 31.8 51.8 71.8 91.8

1.2 1.2 2.7 1.2 -0.3 1.2
将造成水车中心O与水面距离的改变，导致函解析式中的参数b发生变化.水面上涨时参数b减小;水面回落时参数b增大.如果水车每速加快，将使周期T减小，转速减慢则使周期T增大.
环节二
三角函数建模
三角函数建模问题

面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能，这个过程并不神秘，就像这个例子题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”是很自然的.
建模步骤
审清题意读懂题目中的“文字”“图象”“符号等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题
建立函数模型,整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型
解答函数模型:利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果
得出结论,将所得结论翻译成实际问题的答案
三角函数建模问题
来源于生活
1.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图象.
(1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式;
(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间有多少时间可供冲浪者进行活动
(1)根据y的最大值和最小值求A,b,周期及ω.
(2)解不等式y>1,确定有多少时间可供冲浪者活动.
三角函数建模问题
练习
1.某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随着时间变化逐渐增加，到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律改变.
(1)求出这种昆虫种群数量y(单位：只)关于时间t(单位：月)的函数解析式；
(2)画出这个函数的图象.
三角函数建模问题
来源于物理
2.交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220·sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[思路点拨]交流电压与时间的关系呈现周期性变化，t=0时即为初始电压，求周期和最值可直接运用性质.
三角函数建模问题
来源于物理
[解](1)当t=0时， =110√3 ( ),即开始时的电压为 110√3 .(2) =2 /100 =1/50 ( ),即时间间隔为0.02s.
(3)电压的最大值为 220√3 .
当 100 + /6= /2即 =1/300 时第一次取得最大值.
解后心得
来源于物理
三角函数模型处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
三角函数建模问题
练习
2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin.
(1)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？
(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆来回摆动一次需要多少时间？
环节三
学习与反思
1、电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数解析式是I=Asinωt、t∈[0，+∞)，其中ω=10πrad/s,A=5.
(1)求电流I变化的周期；
(2)当 时，求电流I.
2.一个单摆如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为a rad，a与摆动时间t(单位：s)之间的函数解析式为 求
(1)最初(t=0)时a的值；
(2)单摆摆动的频率；
(3)经过多长时间单摆完成5次完整摆动
3.如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t(单位：s)时相对于平衡位置(即静止的位置)的高度为h(单位：cm)，由下列关系式决定：∞）
以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题：
(1)小球开始振动(t=0)时的位置在哪里
(2)小球位于最高、最低位置时h的值是多少
(3)经过多长时间小球振动一次(即周期是多少)
4.某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用 近似地拟合出月平均气温y(单位：℃)与时间t(单位：月)的函数关系，并求：出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间.（答案不唯一）