第五章 基本平面图形专题训练 与线段或角有关的计算问题同步练习（含答案）

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专题训练
与线段或角有关的计算问题
类型一 与线段中点有关的计算
1.已知点C在直线AB上，AC＝a，BC＝b，且a＞b，M是AB的中点.
（1）若a＝10，b＝6，点C在线段AB上，求线段MC的长度.
（2）若a＝10，b＝6，则线段MC的长度只能是（1）中的结果吗？请说明理由.
（3）类比（1）（2）的解答思路，试探究线段MC的长度（用含a，b的代数式表示）.
类型二 与线段分点有关的计算
2.如图，B，C是线段AD上两点，M是AD的中点.
（1）若AB＝6cm，CD＝9cm，BC:CD＝4:3，求线段MC的长；
（2）若AB:BC:CD＝2:4:3，且MC＝6cm，求线段AD的长.
类型三 与角平分线有关的计算
3.如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC.
（1）若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；
（3）在（1）的条件下，若∠BOC的内部有一射线OG，且射线OG将∠BOC分为1：4的两部分，求∠DOG的度数.
类型四 巧用角平分线解决折叠问题
4.（1）如图①，将长方形纸片的一角折过去，使角的顶点A落在点A′处，BC为折痕.若∠ABC＝54°，求∠A＇BD的度数.
（2）如图②，在（1）的条件下，若将它的另一个角也折过去，使点D落在点D′处，并使BD′边与BA′重合，折痕为BE，求∠CBE的度数.
参考答案
1.（1）因为AC＝10，BC＝6，所以AB＝AC＋BC＝16.因为M是AB的中点，所以AM＝AB＝8.所以MC＝AC-AM＝10-8＝2.
（2）线段MC的长度不只是（1）中的结果
理由：由于点C的位置不能确定，故应分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况.①当点C在线段AB上时，由（1）知MC＝2.②当点C在线段AB的延长线上时，因为AC＝10，BC＝6，所以AB＝AC-BC＝4.因为M是AB的中点，所以AM＝AB＝2.所以MC＝AC-AM＝10-2＝8.
（3）由（1）（2），可知MC＝AC-AM＝AC-AB，当点C在线段AB上时，AB＝AC＋BC，则MC＝AC-（AC＋BC）＝AC-BC＝（a-b）；当点C在线段AB的延长线上时，AB＝AC-BC，则MC＝AC-（AC-BC）＝AC＋BC＝（a＋b）.
2.（1）由CD＝9cm，BC:CD＝4:3，得BC＝12cm.由线段的和差，得AD＝AB＋BC＋CD＝6＋12＋9＝27（cm）.因为M是AD的中点，所以MD＝AD＝13.5cm.所以MC＝MD-CD＝13.5-9＝4.5（cm）.
（2）设AB＝2xcm，BC＝4xcm，CD＝3xcm，则AD＝AB＋BC＋CD＝9xcm.因为M是AD的中点，所以MD＝AD＝4.5xcm.所以MC＝MD-CD＝1.5xcm.所以1.5x＝6，解得x＝4.所以AD＝9×4＝36（cm）.
3.（1）因为∠COD＝90°，∠AOC＝30°，所以∠BOD＝180°-90°-30°＝60°，∠B0C＝180°-30°＝150°.因为OE平分∠BOC，所以∠BOE＝∠BOC＝75°.所以∠DOE＝∠BOE-∠BOD＝75°-60°＝15°.
（2） a
（3）分两种情况：①如图①，当射线OG位于OD，OC之间时，因为∠A0C＝30°，所以∠BOC＝180°-30°＝150°.因为射线OG将∠B0C分为1：4的两部分，所以∠COG＝150°×＝30°，∠BOG＝150°×＝120°.由（1），知∠BOD＝60°，所以∠DOG＝∠BOG-∠BOD＝120°-60°＝60°.②如图②，当射线OG位于OD，OB之间时，同理，可得∠COG＝120°，∠BOG＝30°.由（1），知∠BOD＝60°，所以∠DOG＝∠BOD-∠BOG＝60°-30°＝30°.综上所述，∠D0G的度数为60°或30°.
4.（1）因为∠ABC＝54°，所以∠A＇BC＝∠ABC＝54°.所以∠A＇BD＝180°-∠ABC-∠A＇BC＝180°-54°-54°＝72°.
（2）由（1）的结论，可得∠DBD′＝72°，所以由折叠的性质，可得∠2＝∠DBD＇＝×72°＝36°.因为∠1＝∠ABC＝54°，所以∠CBE＝∠1＋∠2＝90°.
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