2021-2022学年湘教版九年级数学上册第3章　图形的相似 单元复习练习题 （Word版含答案）

第3章　图形的相似
(120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知＝，那么下列式子成立的是( )
A．3x＝4y　　　B．xy＝12　　　　C.＝　　　　D.＝
2．△ABC∽△A1B1C1，相似比为2∶3，△ABC的周长为20cm，则△A1B1C1的周长是( )
A．45cm B．30cm C．15cm D．36cm
3．下列四组数中，不能成比例的是( )
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝，b＝，c＝2，d＝
4．如图，E(－4,2)，F(－1，－1)，以O为位似中心，按比例尺1∶2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为( )
A．(2，－1)或(－2,1) B．(8，－4)或(－8,4)
C．(2，－1) D．(8，－4)
5. 如图，直线l1∥l2∥l3，下列比例式成立的是( )
A.＝　　　B.＝ C.＝ D.＝
6．某学校计划在一块三角形的空地上(如图)修建一个面积最大的正方形水池，使得水池的一边在△ABC的边BC上，已知BC＝60m，高AD＝30m，则该水池的边长为( )
A．10m B．20m C．30m D．40m
7．下列各组条件，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是( )
A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝30°，∠B′＝60°
C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′
D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，∠A－∠B＝∠A′－∠B′
8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．如图， ABCD中，点E在BC的延长线上，CF∶AB＝2∶5，则△ADF与△ECF的面积比为( )
A．2∶3 B．4∶9 C．9∶4 D．25∶4
10. 两个相似三角形的面积比为4∶9，周长和是20cm，则这两个三角形的周长分别是( )
A．8cm和12cm B．7cm和13cm C．9cm和11cm D．6cm和14cm
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．在比例尺为1∶500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25cm，则两地的实际距离是　 　km.
12．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角是80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形．其中一定是相似图形的是　 　(填序号)．
13．如果＝＝≠0，那么的值是　　.
14．已知三条线段的长分别为1，，2，请再添上一个线段，使这四条线段成比例，则这条线段长可以是　 　.
15. 如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，且EF∥AD，BE∶EA＝1∶2，若FC＝2.5，则FD＝　 　.
16. △ABC与△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝40°，∠B＝60°，当∠B1＝________时，△ABC与△A1B1C1相似．
17. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为 .
18. 在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，则需要添加一个条件是__________________________.(写出一种情况即可)
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似，并说明理由．
20．(8分) 在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在边AD上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)求EF的长．
21. (8分) 如图， ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求 ABCD的面积．
22．(10分)如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5.
23．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.
(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；
(2)求∠ABD的度数．
24．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：∠DAF＝∠CDE；
(2)△ADF与△DEC相似吗？为什么？
(3)若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
25．(12分)△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B.
(1)如图①，当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形；
(2)如图②，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM、DN分别交线段AC、AB于E、F点(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；
(3)在图②中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．
答案：
一、
1-10 DBCAD BCCCA
二、
11. 125
12. ②⑤⑥
13. 5
14. 或2或
15. 5
16. 60°或80°
17. 4∶9　
18. ∠A＝∠D或BC∶EF＝2∶1
三、
19. 解：相似．∵AB＝，AC＝2，BC＝5，EF＝，DE＝2，DF＝，∴＝＝，∴△ABC∽△EFD.
20. 证明：(1)∵EF⊥BE，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF＋∠AEB＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90，∴∠DEF＝∠ABE，又∵∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF
(2)在△ABE中，AB＝6，AE＝8，∠A＝90°，∴BE＝10，∵DE＝AD－AE＝12－8＝4，△ABE∽△DEF，∴＝，∴EF＝＝＝.
21. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD.∴∠ABF＝∠CEB.∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB平行且等于CD.
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE＝CD，
∴＝()2＝，∵＝()2＝.
∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝9S△DEF＝9×2＝18，
S△ABF＝4S△DEF＝4×2＝8.
∴S四边形BCDF＝S△BCE－S△DEF＝18－2＝16，
∴S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.
22. 解：(1)连接AA′，CC′并延长相交于点O，即为位似中心
(2)相似比为1∶2　
(3)图略
23. 解：(1)∵AD＝BC＝，∴AD2＝()2＝.∵AC＝1，∴CD＝1－＝，∴AD2＝AC·CD.
(2)∵AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即＝.又∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴＝.又AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°.∴∠ABD＝36°.
24. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，又∠AFE＝∠B，∴∠AFE＝∠ADC，又∠AFE＝∠DAF＋∠ADF，∠ADC＝∠CDE＋∠ADE，∴∠DAF＝∠CDE
(2)△ADF∽△DEC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC
(3)四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4，又AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△ADE中，DE＝＝6，∵△ADF∽△DEC，∴＝，即＝，∴AF＝2.
25. 解：(1)图①中与△ADE相似的有△ABD、△ACD、△DCE.证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，又∵∠MDN＝∠B，∴△ADE∽△ABD同理可得：△ADE∽△ACD，∵∠MDN＝∠C＝∠B，∠B＋∠BAD＝90°，∠ADE＋∠EDC＝90°，∠B＝∠MDN，∴∠BAD＝∠EDC，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴△ADE∽△DCE.　
(2)△BDF∽△CED∽△DEF.证明：∵∠B＋∠BDF＋∠BFD＝180°，∠EDF＋∠BDF＋∠CDE＝180°，又∵∠EDF＝∠B，∴∠BFD＝∠CDE，由AB＝AC，得∠B＝∠C，∴△BDF∽△CED，∴＝.∵BD＝CD，∴＝.又∵∠C＝∠EDF，∴△BDF∽△CED∽△DEF.　
(3)如图，连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2，∴AD＝8，S△ABC＝BC·AD＝×12×8＝48.S△DEF＝S△ABC＝×48＝12.又∵AD·BD＝AB·DH，∴DH＝＝＝，∵△BDF∽△DEF∴∠DFB＝∠EFD，∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH＝DG＝，∵S△DEF＝×EF×DG＝12，∴EF＝＝5.