2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1第二课时空间中直线、平面的平行课件（18张ppt）

(共18张PPT)
1.4.1第二课时　空间中
直线、平面的平行
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系．
1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．(直观想象)
2．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)
思考：空间中直线的方向向量、平面的法向量是确定空间中的直线、平面的关键量，能否用直线的方向向量、平面的法向量来刻画直线、平面的平行关系？怎么刻画？
用直线的方向向量表示两条直线的平行
1.线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2．
l1
l2
u1
u2
2.线面平行的向量表示
用直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面平行
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，
则l∥α u⊥n u·n＝0．
α
u
n
l
怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？
提示：证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路
(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；
(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．
3.面面平行的向量表示
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2．
α
β
n1
n2
1．直线的方向向量不是唯一的，解题时，最好选取坐标较简单的方向向量；一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行．
2．用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
1．若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4)，则 (　　)
A．l1∥l2　　　　　　 B．l1与l2相交
C．l1与l2重合 D．l1∥l2或l1与l2重合
∵b＝－2a，∴l1与l2平行或重合．
2．若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则 (　　)
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
题型一
直线和直线平行
例1在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
S
R
M
N
∴MN＝RS，∴MN∥RS，又∵R MN，∴MN∥RS.
法一：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
x
y
z
S
R
N
M
法二：如图所示，建立空间直角坐标系,
∴MN＝RS.∴MN∥RS.∵M RS，∴MN∥RS.
题型二
直线和平面平行
例2如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.
A
B
C
A1
B1
C1
D
如图以A为坐标原点建立空间直角坐标系．
设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)，则A(0，0，0)，
x
y
z
设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)，
BD
DC1
取y＝2b，则n＝(0，2b，－a)．由于AB1·n＝ab－ab＝0，因此AB1⊥n.
又AB1 平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.
如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝
AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由.
解　分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，
x
y
z
∴y(－1)－2(z－1)＝0，
设E(0，y，z)，则PE＝(0，y，z－1)
PD＝(0,2，－1)，
∵PE∥PD，
∵AD＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
又CE＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，
∴CE⊥AD，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0.
∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
利用空间向量证明线面平行的三种方法
方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量 共面，即可用平面内的一个基底表示；
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证；
方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．　
在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．求证：CE∥平面C1E1F.
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
E
E1
F
证明：以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系．
x
y
z
设平面C1E1F的法向量为n＝(x，y，z)，
且CE 平面C1E1F，所以CE∥平面C1E1F.
题型三
平面和平面平行
例3如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
B
A
C
D
P
E
F
G
[证明]　因为平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．
x
y
z
[规律方法]　利用空间向量证明面面平行的方法
(1)转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线进行证明．
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明．
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
P
O
Q
如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q．
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
P
O
Q
x
y
z
即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ，
即当点Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．
( )
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
取x＝1，则n1＝(1,1,2)．
设平面D1BQ的法向量为n2＝(x，y，z)，
取z＝1，则n2＝(m,1－m,1)．
要使平面D1BQ∥平面PAO，
需满足n1∥n2，