2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.2第一课时距离问题课件（17张ppt）

(共17张PPT)
新课程标准解读 核心素养
1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导．
2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．
能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)
我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何用空间向量解决这些距离问题呢？
探究 已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,如何利用这些条件求点P到直线l的距离
l
P
A
Q
u
如图，向量AP在直线l上的投影向量为AQ,
则△APQ是直角三角形,因为A、P都是定点,
所以|AP|,AP与u的夹角∠PAQ是确定的
于是可求|AQ|,再利用勾股定理，
可以求出点P到直线l的距离PQ。
设AP=a，则向量AP在直线上的投影向量AQ=(a·u)u
在RT△APQ中，由勾股定理得
则点P到直线l的距离为PQ=
则点P到直线l的距离d＝
1.点P到直线l的距离
2.点P到平面α的距离
n
α
A
P
Q
∴P到α的距离为
用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
题型一
点到直线的距离
例1已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
A
B
C
A1
B1
C1
以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量
x
y
z
d＝
2
[规律方法]　用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段．
(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点．
(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是AB，C1D1，AD，DD1的中点．
(1)求点A1到直线EF的距离；
(2)求直线EF到直线MN的距离．
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
E
F
M
N
x
y
z
(2)因为MN∥EF，所以直线MN到直线EF的距离即为点M到直线EF的距离．
题型二
点到平面的距离
例2已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，
点E为CC1中点，求点D1到平面BDE的距离．
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
E
以点D为原点，建立空间直角坐标系如图，
所以D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，
x
y
z
取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1).
P
A
B
C
x
y
z
分别以P为原点，PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，
在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．
(1)求证：B1C∥平面A1BD；
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离．
A
B
C
A1
B1
C1
D
(1)证明：连接AB1交A1B于点E，连接DE．
E
DE∥B1C, B1C 平面A1BD，DE 平面A1BD，
B1C∥平面A1BD．
(2)解：因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离，如图建立坐标系，
x
y
z
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
题型三
平面到平面的距离
正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A1B＝(0，1，－1)，A1D＝(－1，0，－1)，A1D1＝(－1，0，0).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
x
y
z
令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝(－1，1，1).
因为平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，OA＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，
∴两平面间的距离d＝
题型四
两异面直线间的距离
例4如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形，
PA⊥底面ABCD，PA＝3AB＝3a，求异面直
线AB与PC的距离．
B
A
C
D
P
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(a，0，0)，C(a，a，0)，P(0，0，3a)．
x
y
z
则AB＝(a，0，0)，PC＝(a，a，－3a)．
设AB，PC的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，
n·AB=ax=0
n·PC=ax+ay-3az=0
取z＝1，则y＝3，有n＝(0，3，1)．
又AP＝(0，0，3a)，
∴AB与PC间的距离d＝
异面直线距离问题的求解方法
(1)射影法：分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a，与这两条异面直线都垂直的法向量为n，则两条异面直线间的距离是a在n方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式d＝
(2)转化法：如图，过其中一条异面直线b上的一点A作与另一条直线a平行的直线a1，于是异面直线的距离就可转化为直线a到平面α的距离，最后可转化为在直线a上取一点到平面α的距离，从而可借用向量的射影法求解；
(3)最值法：在两条异面直线a，b上分别任取两点A，B，建立AB的模的目标函数，函数的最小值即为所求．　
α
a1
b
a