2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.2第二课时夹角问题课件（16张ppt）

(共16张PPT)
1.4.2第2课时　夹角问题
新课程标准解读 核心素养
1.会用向量法求线线、线面、面面夹角．
2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．
1．理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角．(空间想象，数学运算)
2．理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角．(空间想象，数学计算)
3．理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小．(空间想象，数学计算)
与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量，下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角.
1. 两条异面直线所成的角　
设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来，因为两异面直线所成角的范围是 而两个向量夹角的范围是[0，π]，事实上，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．
A
O
B
C
D
A1
A
B1
C1
B
C
O
D
x
y
z
设线段A1B1，AB的中点分别为O，D，连接OC1，OD，则OC1⊥平面ABB1A1，以OB1，OC1，OD的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．
所以AB1⊥BC1，即异面直线AB1和BC1所成的角为直角，则其正弦值为1.
2. 直线与平面所成的角　
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|
α
A
B
u
n
θ
1．直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影所成的角，其范围是
2．若〈u，n〉是一个锐角，则θ＝ －〈u，n〉；若〈u，n〉是一个钝角，则θ＝〈u，n〉－ .　
例2如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BB1的中点．
(1)求证：BC1∥平面AD1E；
(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
E
又AD1 平面AD1E，BC1 平面AD1E，所以BC1∥平面AD1E.
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
E
x
y
z
令z＝－2，则x＝2，y＝1，所以n＝(2，1，－2).
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，
A
B
C
A1
C1
B1
E
F
x
y
z
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，
令a＝1可得n＝(1，－1，2).
向量法求线面角的基本步骤
找平面的一个法向量n
建系
依据几何条件建立适当的坐标系
确定
向量
找直线的一个方向向量a
计算θ
由θ的范围确定θ的大小
sin θ＝|cos 〈u，n〉|
3. 平面与平面所成的角　
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
α
β
α
β
n1
n2
2．因为两个平面法向量的方向不确定，故〈n1，n2〉∈(0，π)，若〈n1，n2〉为钝角，应取其补角．
例3如图所示，在三棱锥S ABC中，O为BC的中点，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，求二面角A SC B的余弦值．
A
B
C
S
O
M
因为△SAB与△SAC均为等边三角形，所以AB＝AC．
连接OA，则OA⊥BC．以O为坐标原点建立如图
所示的空间直角坐标系Oxyz.设B(1，0，0)，
则C(－1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1).
x
y
z
结合图形知二面角A SC B为锐角，
向量法求两平面的夹角(或其某个三角函数值)的步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标；
(2)求出两个半平面的法向量n1，n2；
(3)设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|.
[注意]　若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角,再用法向量求解．　
正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD．若PA＝AB，求平面PAB与平面PCD的夹角的大小．
B
A
C
D
P
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，1)，D(1，0，0)，C(1，1，0).平面PAB的法向量为n1＝(1，0，0).设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)，
x
y
z
令x＝1，则z＝1.
所以n2＝(1，0，1)，
正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B(如图②)．在图②中求平面ABD与平面EFD所成二面角的余弦值．
A
B
C
D
E
F
E
A
B
C
D
F
图①
图②
由已知CD⊥AD，CD⊥BD，∴∠ADB就是直二面角A－CD－B
的平面角，∴AD⊥BD
以D为原点建立空间直角坐标系，如图，
则D(0,0,0)、A(0,0,2)、B(2,0,0)、C(0,2，0)，
x
y
z
E、F分别是AC、BC的中点，
设m＝(x，y，z)是平面DEF的一个法向量．
令y＝1