2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.2.3直线的一般式方程课件（16张ppt）

(共16张PPT)
2.2.3直线的一般式方程
新课程标准解读 核心素养
1.掌握直线的一般式方程．
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．
3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．
1．了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系．(数学抽象)
2．能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化．(逻辑推理)
3．能运用直线的一般式方程解决有关问题．(数学运算)
温故知新
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
斜截式
y = k x +b
两点式
截距式
x
a
y
b
+ =1
四种形式都可以看出关于 x , y 的二元一次方程．
当直线l过P0(x0,y0)斜率不存在时，即直线l的倾斜角α=90°时，直线l的方程为x - x0=0，也可以表示为x+0y-x0=0
结论：平面上任意一条直线都可以用一个关于 x , y 的二元一次方程表示．
Ax+By+C=0 (A、B不同时为0)
每一个关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A、B不同时为0)都表示一条直线吗？
①当B≠0时，
方程可化为
这是直线的斜截式方程，它表示斜率是
在y轴上的截距是 的直线.
②当B=0时，
方程可化为
表示垂直于x轴的一条直线
结论：每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (A、B不同时为0)都表示一条直线．
1.直线方程的一般式
关于 x, y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)
强调 :对于直线方程的一般式，规定：
1)x的系数为正;
2)x,y的系数及常数项一般不出现分数;
3)按含x项，含y项、常数项顺序排列.
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合; (5)过原点;
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
(3) A=0 , B≠0 ,C=0
(4) B=0 , A≠0, C=0
(5) C=0，A、B不同时为0
O
x
y
例1.已知直线经过点A(6,-4),斜率为- ，求直线的点斜式和一般式方程．
4
3
4
3
解：点斜式方程为y+4=- (x-6)
去分母，整理，化成一般式 4x+3y-12=0
把直线l的方程为x-2y+6=0,化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距．
y= x+3
1
2
斜截式:
1
2
l的斜率为
直线l在x轴上的截距是-6．在y轴上的截距是3
2.两直线位置关系的判断
直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
试讨论： (1) l1∥l2 (2) l1⊥l2
A2≠0,B2≠0,C2≠0,
先观察斜率是否存在，
再看斜率是否相等，
l1⊥l2
A1A2+B1B2=0
3.直线系方程
1)与直线l：Ax+By+C=0 平行的直线系方程为：Ax+By+m=0
(其中m≠C，m为待定系数)
O
x
y
Ax+By+C=0
只是常数不一样，其余相同
2)与直线l：Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为：Bx-Ay+m=0
(m为待定系数)
O
x
y
Ax+By+C=0
例2 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线方程：
(1)过点(-1,3)且与l平行；(2)过点(-1,3)且与l垂直．
(1)设所求的直线方程为：3x+4y+m=0
把点(-1,3)代入方程，得
m=-9，方程为3x+4y-9=0
(2)设所求的直线方程为：4x-3y+n=0
把点(-1,3)代入方程，得
n=13，方程为4x-3y+13=0
与含参数的一般式方程有关的问题
直线过定点问题
已知方程(m＋2)x＋(m－3)y＋4＝0(m∈R)所表示的直线恒过定点，试求该定点的坐标．
方法一：令m＝－2，则方程变为－5y＋4＝0，
令m＝3，则方程变为5x＋4＝0，
方法二：将方程变形为m(x＋y)＋2x－3y＋4＝0.
x＋y=0
2x－3y＋4＝0
例3.设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
(2)由直线l化为斜截式方程得
得m＝－2或m＝－1(舍去).所以m＝－2.
若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m的范围；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
解得m＝2，若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2．
直线方程的综合应用
O
x
y
A
k1+k2=0
入射光线：y-4 = (x-2)
(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值；
(2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a的值．
(1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2．当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2．
同理，当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，故m的值为2或－3．
(2)由直线l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2．
例4　过点A(0，1)作一直线l，使它夹在直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0间的线段被A点平分，试求直线l的方程．
方法一：设直线l分别交l1，l2于点P(m，n)和Q(a，b)，则由A为PQ的中点，可得a＝－m，b＝2－n.即点Q坐标为(－m，2－n)．
又点P在l1上，则m－3n＋10＝0.①
同理，点Q在l2上，则2m＋n＋6＝0.②
过A(0，1)和P(－4，2)，∴直线方程为x＋4y－4＝0.
方法二：设所求直线方程为y＝kx＋1，
y＝kx＋1
x－3y＋10＝0
y＝kx＋1
2x＋y－8＝0
x＋4y－4＝0.
直线b2x－a2y－a2b2＝0(a≠0)在y轴上的截距是(　　)
A．|b| B．－b2
C．b2 D．±b
已知直线y＝ax＋1，当x∈[－2，3]时，y∈[－3，5]，
则a的取值范围是________．
分类讨论：当a 0时，
-2a＋1≤5
3a＋1≥-3
- ≤a 0
4
3
当a 0时，
-2a＋1≥-3
3a＋1≤5
4
3
0 a≤