河南省驻马店市环际大联考“圆梦计划“2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试（四）理科数学试题（Word版含答案）

环际大联考
“圆梦计划”2021—2022学年度阶段性考试（四）
高三数学（理科）
（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在等差数列中，若，，则公差d的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B．2 C．5 D．8
6．已知x，y满足，则的取值范围是（ ）
A．[0,4] B．[4,6] C．[0,6] D．[6,8]
7．已知单位向量，满足，则向量与的夹角是（ ）
A．0 B．π C．0或π D．
8．函数在处的导数是（ ）
A． B． C．6 D．2
9．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都为30km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）
A．30km B．km C．km D．km
10．直线与圆相切，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．0或1 D．0或3
11．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．16
12．在三棱锥P-ABC中，点A在平面PBC中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形，且，，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（ ）
A．π B． C．4π D．6π
第I卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）
13．已知是第二象限的角，，则=______________．
14．命题“，”的否定是______________．
15．直线被圆所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是______________．
16．若函数为偶函数，且，当时，恒成立，则不等式的解集为______________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前n项和Sn，
18．（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a ，b，c，且b=3，．
（1）求角A；
（2）若，求的面积．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，侧棱，，且M，N分别为BB1，AC的中点，连接MN．
（1）证明：；
（2）若BA=BC=2，求二面角A-B1C1-B的平面角的大小．
20．（12分）已知向量，，．
（1）求函数的对称轴方程；
（2）将函数的图像先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图像，时，求函数g(x)的单调区间．
21．（12分）已知圆，过圆外一点M(7,1)引圆的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，且MA⊥MB．
（1）求圆O的标准方程；
（2）若直线l交圆O所得的弦长为2，且分别交x轴、y轴于点，求的最小值
22．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数，不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
环际大联考
“圆梦计划”2021—2022学年度阶段性考试（四）
高三数学（理科） 参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．C【解析】集合，．故选C．
2．C【解析】由，可得；由可得，“”是“”的充要条件．故选C．
3．D【解析】在等差数列中，，，解得．故选D．
4．A【解析】根据题意，的图像可以由函数的图像向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度得到，A选项图像符合．故选A．
5．D【解析】，．故选D．
6．B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图．
由得平移直线，由图像知当直线经过点时，直线在y轴上的截距最大，此时z最大，．经过点C(2,0)时，直线在y轴上的截距最小，此时z最小，．即z的取值范围是[4,6]．故选B．
7．B【解析】设向量与的夹角为．单位向量，满足，，解得．，．故选B．
8．A【解析】在x=0处的导数为6ln2．故选A．
9．C【解析】由题意得，．在中，由余弦定理，得，，即灯塔A与灯塔B的距离为km．故选C．
10．D【解析】圆的圆心为，半径r=1，由题意，得，解得m=0或3．故选D．
11．C【解析】由，可得
，当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为．故选C．
12．C【解析】设△PBC的垂心为点H，则AH平面PCB，．
又BHPC，PC平面ABH，PCAB，同理ACBP，APBC．
ABAC，ABPC，AB平面APC，ABAP．
又APBC，AP平面ABC，APAC，则．
AB，AP，AC两两互相垂直，设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R，则，，外接球的表面积为．故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【解析】是第二象限的角，，，．
14．【解析】该命题为特称命题，则命题的否定为“”．
15．【解析】直线 ，即．由，解得，故直线l过定点．
圆的圆心为，定点A在圆C内，当直线l被圆C截得的弦长最短时，，即，解得，直线方程为．
16．【解析】当时，恒成立，即在上恒成立，在上单调递增．又函数为偶函数，即，函数关于对称，函数在上单调递减．，，不等式，解得或，不等式的解集为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解：（1）设等差数列的公差为d．
由，可得，
即，解得．
（2）若数列是公比为3的等比数列，且，则．
由（1）可得，
．
18．解：（1），，由正弦定理，得，
，解得．
（2），，结合（1）可得．
，由正弦定理，得．
由余弦定理，得，即，解得（舍去）或，
．
19．（1）证明：如图，取的中点P，连接，PN．
N为AC的中点，，且．
又，，
四边形B1MNP是平行四边形，．
又平面，MN平面，平面AB1C1．
（2）解：如图，以点B为原点，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系B-xyz．
直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC的边长BA=BC=2，侧棱，
，
．设平面AB1C1的法向量为．
则，令x=1，则，．
平面BB1C1的一个法向量为，，
由图知二面角的平面角为锐角，二面角的平面角的大小为．
20．解：（1）由题知，
令，解得，
即函数的对称轴方程为．
（2）将函数的图像先向左平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），
则函数．
单调递增区间：令，则，令，则．又，的单调递增区间为．
单调递减区间：令，则，
令k=0，则．又，的单调递减区间为．
综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为．
21．解：（1）如图，连接OA，OB．
，MA，MB与圆O相切，四边形OAMB为正方形，又，
解得，圆O的标准方程为．
（2）设直线l的方程为．故圆心O到直线l的距离为，，
，
当且仅当时取等号，故的最小值为．
22．解：（1）．
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，得．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
（2）由题意，函数，且在上恒成立，
先由，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，函数．
再令，且，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当，函数取得最小值，为，，即在区间上恒成立．
由（1）知，当时，在上单调递增，在上恒成立，符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上不恒成立．
综上可得，实数a的取值范围是．