2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.1圆的标准方程课件（16张ppt）

(共16张PPT)
2.4.1圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.掌握圆的定义及其标准方程．
2.会用待定系数法求圆的标准方程，判断点与圆的位置关系．
1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象)
2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算)
3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题．(数学运算)
情境导入
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮．有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．”
如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？
　问题1：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.
　问题2：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
确定圆的几何要素：圆心和半径
圆心：确定圆的位置
半径：确定圆的大小
问题3：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
x
y
O
r
A(a,b)
M(x,y)
设点M (x,y)为圆A上任一点，则|MA|= r．
圆上所有点的集合P = { M | |MA| = r }
(x-a)2+(y-b)2=r2
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
知识点一：圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
x
y
O
r
M(x,y)
A(a,b)
三个独立条件a,b,r确定一个圆的方程.
特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2+y2=r2
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． (　　)
(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a. (　)
2．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为 (　　)
A．4x－y＝0　　　　　　 B．4x＋y＝0
C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0
由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0.
知识点二：点与圆的位置关系
1.点M在圆外，|MC|>r
M(x,y)
C
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;
2.点M在圆上，|MC|=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
C
M(x,y)
3.点M在圆内，|MC|(x0-a)2+(y0-b)2C
M(x,y)
1.点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是(　　)
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都不对
解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.
题型一
求圆的标准方程
方法1：设点C为圆心，∵点C在直线：x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|．
( )
( )
( )
( )
例1求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆
的标准方程．
解得a＝－2．
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
方法2：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，
由条件知
( )
( )
( )
( )
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
方法3：线段AB的中点为(0，－4)，
( )
( )
所以弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2，
所以线段AB的垂直平分线的方程为：y＋4＝－2x，即y＝－2x－4．
圆心为(－1，－2)，
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
圆的标准方程的两种求法
(1)几何法 它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解——解方程组，求出a，b，r；
④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
题型二
点和圆的位置关系
例2已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
(1)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又a＞0，可得
(2)由两点间距离公式可得，
＝3.
因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，
已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．
设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25.
将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25，
∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上，
∴M，N，P，Q四点不共圆．
题型三
与圆有关的最值问题
原方程表示以点(2，0)为圆心，
即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
o
x
y
1．(变设问)在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．
设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
2．(变设问)在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，