2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程课件（14张ppt）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程课件（14张ppt） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-10 12:17:11 | ||
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文档简介
(共14张PPT)
2.4.2圆的一般方程
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程
2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程
1．数学抽象、逻辑推理：结合教材实例了解二元二次方程与圆的一般方程的关系．
2．数学运算：圆的一般方程的求解．
3.逻辑推理：求动点的轨迹方程．
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
由于a, b, r均为常数,令-2a=D，-2b=E，a2+b2-r2=F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线都是圆呢？
答案：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.
2.下列方程表示什么图形？
（1）x2+y2-2x+4y+1=0；
（2）x2+y2-2x+4y+5 =0；
（3）x2+y2-2x+4y+6=0.
(x-1)2+(y+2)2=4
(x-1)2+(y+2)2=0
(x-1)2+(y+2)2=-1
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0配方
(1) 当D2+E2-4F>0时,表示以（- , - ）为圆心，以
（ ）为半径的圆.
D
2
E
2
1
2
D2+E2-4F
(x+ )2+(y+ )2=
D
2
E
2
4
D2+E2-4F
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=- ，y=- ，表示一个
点(- ,- )
D
2
E
2
D
2
E
2
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.
圆的一般方程:
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）
说明：① x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项；
③圆心为(- ,- )，半径为
D
2
E
2
1
2
D2+E2-4F
思考：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？
(x-a)2+(y-b)2=r2
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）
标准方程易于看出圆心与半径.
一般方程突出形式上的特点.
题型一
圆的一般方程的辨析
例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
m∈(-∞, )
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，
已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.
又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0，即曲线C是一个圆．
设圆心坐标为(x，y)，
消去m，得x＋2y＝0，
即圆心在直线x＋2y＝0上.
题型二
求圆的一般方程
法一(待定系数法)：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
将P，Q的坐标分别代入上式，
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.
故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
题型三
求动点的轨迹方程
角度一 直接法求动点的轨迹方程
设点M的坐标是(x，y)，
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，
即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
角度二 代入法求动点的轨迹方程
[例4] 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．
设点M(x，y)，点P(x0，y0)，
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，
角度三 定义法求动点的轨迹方程
例5已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程．
法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
且kAC·kBC＝－1，
化简，得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
法二：同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简，得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
法三：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0)．
由直角三角形的性质，
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)．
求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明；
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程．
2.4.2圆的一般方程
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程
2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程
1．数学抽象、逻辑推理：结合教材实例了解二元二次方程与圆的一般方程的关系．
2．数学运算：圆的一般方程的求解．
3.逻辑推理：求动点的轨迹方程．
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
由于a, b, r均为常数,令-2a=D，-2b=E，a2+b2-r2=F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线都是圆呢？
答案：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.
2.下列方程表示什么图形？
（1）x2+y2-2x+4y+1=0；
（2）x2+y2-2x+4y+5 =0；
（3）x2+y2-2x+4y+6=0.
(x-1)2+(y+2)2=4
(x-1)2+(y+2)2=0
(x-1)2+(y+2)2=-1
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0配方
(1) 当D2+E2-4F>0时,表示以（- , - ）为圆心，以
（ ）为半径的圆.
D
2
E
2
1
2
D2+E2-4F
(x+ )2+(y+ )2=
D
2
E
2
4
D2+E2-4F
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=- ，y=- ，表示一个
点(- ,- )
D
2
E
2
D
2
E
2
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.
圆的一般方程:
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）
说明：① x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项；
③圆心为(- ,- )，半径为
D
2
E
2
1
2
D2+E2-4F
思考：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？
(x-a)2+(y-b)2=r2
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）
标准方程易于看出圆心与半径.
一般方程突出形式上的特点.
题型一
圆的一般方程的辨析
例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
m∈(-∞, )
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，
已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.
又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0，即曲线C是一个圆．
设圆心坐标为(x，y)，
消去m，得x＋2y＝0，
即圆心在直线x＋2y＝0上.
题型二
求圆的一般方程
法一(待定系数法)：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
将P，Q的坐标分别代入上式，
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.
故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
题型三
求动点的轨迹方程
角度一 直接法求动点的轨迹方程
设点M的坐标是(x，y)，
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，
即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
角度二 代入法求动点的轨迹方程
[例4] 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．
设点M(x，y)，点P(x0，y0)，
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，
角度三 定义法求动点的轨迹方程
例5已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程．
法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
且kAC·kBC＝－1，
化简，得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
法二：同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简，得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
法三：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0)．
由直角三角形的性质，
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)．
求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明；
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程．