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3.1.2椭圆的简单几何性质
第二课时
新课程标准解读 核心素养
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断直线与椭圆的位置关系.
2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 1.数学抽象、数学运算:依据椭圆的方程研究椭圆的几何性质.
2.数学运算:依据几何条件求椭圆的标准方程.
3.逻辑推理、数学运算:直线与椭圆位置关系的判定.
O
x
y
P
P
P
2.直线与椭圆的位置关系
●
●
●
怎么判断它们之间的位置关系?能用几何法吗?
有两解
有一解
无解
探究点1 直线与椭圆的位置关系
解将直线l的方程与椭圆C的方程联立,
消去y,9x2+8mx+2m2-4=0.①
方程①的根的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
方程①有两个不相等的实数根,
直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
方程①有两个相等的实数根,
直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
判断直线与椭圆的位置关系的方法
联
算
消去一个未知数,得到关于x(或y)的一元二次方程,计算△的值
判
联立椭圆与直线方程组成方程组
△ 0 直线和椭圆相交;
△=0 直线和椭圆相切;
△ 0 直线和椭圆相离
直线y=kx+1过定点A(0,1).
又椭圆焦点在x轴上,所以m<5,
故m的取值范围为[1,5).
探究点2 直线与椭圆的相交弦问题
(1)由已知可得直线l的方程为
可得x2-18=0,若设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=0,x1x2=-18.
于是|AB|=
(2)方法一:易知直线l的斜率存在,不妨设为k,
则其方程为y-2=k(x-4).
消去y得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+64k2-64k-20=0.
若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2
由于AB的中点恰好为P(4,2),所以
方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
两式相减得
由于P(4,2)是AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4,
直线AB的方程为
设而不求,设点,作差,利用中点公式求斜率,从而求出直线方程
(1)直线被椭圆截得的弦长的求法思路
①求两交点坐标,转化为两点间距离.
②用公式来求.
(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.
( )
直线y=k(x-2)+1过定点P(2,1),将P(2,1)代入椭圆方程,
所以P(2,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
4x+9y-13=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,
由已知可得直线方程为y=2x-2,
AB
=
5
3
4
3
( -0)2+( +2)2
=
3
5
原点到直线2x-y-2=0的距离d=
5
2
联立方程得
O
x
y
A
B