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3.2.2双曲线简单几何性质
第二课时
新课程标准解读 核心素养
1.进一步掌握双曲线的方程及性质的应用,会判断直线与双曲线的位置关系.
2.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 1.逻辑推理:通过直线与双曲线位置关系的判断;2.逻辑推理、数学运算:直线和双曲线的位置关系的判定,弦长及中点弦问题.
回顾
直线与椭圆的位置关系
相切
相交
相离
判断方法
(1) 联立方程组
(2) 消去一个未知数
(3) <0,相离; =0,相切; 0,相交
思考?直线与双曲线的位置关系有哪几种?
一、直线与双曲线的位置关系
y
x
相交
y
x
相交
y
x
相交
y
x
相切
y
x
相离
2个交点
交于单支
2个交点
交于两支
1个交点
与渐近线 平行
1个切点
切于一支
0个交点
两支之间
判断直线与双曲线位置关系的处理程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交(一个交点)
得到一元二次方程
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常,那么 ,依然可以用判别式判断位 置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系:
相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓的判别式了 。
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线满足:
(1)相离; (2)相切; (3)相交于两点; (4)相交于异支两点;
(5)与左支相交于两点. (6)相交于一点
y=kx-1
x2-y2=4
消去y得
(1-k2)x2+2kx-5=0
(1)△=4k2+20(1-k2) 0,
k - 或k
2
2
(2)△=4k2+20(1-k2)=0
2
2
k=- 或
y
x
y
x
1-k2≠0
△=4k2+20(1-k2) 0,
(3)
- k
2
2
且k≠±1
y
x
△=4k2+20(1-k2) 0,
x1x2= 0
1-k2
-5
2
2
1 k
y
x
(4)
y
x
(5)
△=4k2+20(1-k2) 0,
x1+x2= 0
1-k2
-2k
- k -1或
- k -1
2
(6)
1-k2=0,k=±1.
y
x
1.过点P(1,1)与双曲线 只有一个交点的直线共有 条.
y
x
经过P(1,1)点与渐近线平行有两条
经过P(1,1)点与双曲线相切有两条
4
二、与弦长有关的问题
例2.直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点.
(1)求线段AB的长;
(2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点?
得(3-a2)x2-2ax-2=0.
由题意可得3-a2≠0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
(2)记坐标原点为O,由题意知,OA⊥OB,
即x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0.
解得a=±1.经检验,a=±1时,以AB为直径的圆经过坐标原点.
即(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0,
另外需注意,当直线经过双曲线的焦点且斜率不存在时,不能利用弦长公式求解,此时的弦是双曲线的通径,可以直接利用通径公式求解.
例3.以P(1,8)为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条弦AB,求直线AB的方程。
当过P点的直线AB和x轴垂直时,直线被双曲线 截得的弦的中点不是P点。
(y1+y2)(y1-y2)=4(x1+x2)(x1-x2)
∵弦AB的中点是P(1,8),∴x1+x2=2,y1+y2=16,
y12-4x12=4
设A(x1,y1), B(x2,y2),则
y22-4x22=4
y1-y2
x1-x2
=
1
2
y-8=
(x-1)
1
2
直线AB的方程
消去y得x2-2mx-m2-2=0.
则Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,
所以线段AB的中点坐标为(m,2m).
又点(m,2m)在x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,得m=±1.
三、直线与双曲线综合问题
(1)将y=-x+1代入双曲线方程
中得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,
即e的取值范围为
e
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知P(0,1).
由于x1,x2都是方程的根,且1-a2≠0,
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,
x1+x2=
即x1x2=