2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程课件（22张ppt）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程课件（22张ppt） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-10 12:44:46 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
3.2.1双曲线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 1．数学抽象：结合教材实例了解双曲线的定义．
2．逻辑推理、数学运算：双曲线的标准方程的推导及求解．
生活中的双曲线
数 学 实 验
[1]取一条拉链；
[2]如图，把它固定在板上的F1、F2两点；
[3] 拉动拉链（M），思考拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支.
双曲线定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
F1
F2
M
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
③此常数记为2a，则0没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支.
1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于非零常数2a (小于|F1F2 |)的点的轨迹是什么？
双曲线的一支
2、若常数2a=0,轨迹是什么
线段F1F2的垂直平分线
F1
F2
M
F1
F2
M
3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？
两条射线
F1
F2
4、若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？
轨迹不存在
双曲线标准方程的推导
1. 建系
M
F1
F2
以F1,F2所在的直线为x轴，
线段F1F2的中点为原点建
立直角坐标系
O
x
y
2.设点
设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）, 非零常数等于2a （a>0） ，则F1(-c,0),F2(c,0).
3.列式
|MF1| - |MF2|=±2a
令c2-a2=b2,其中b>0
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
(a 0,b 0)
c2=a2+b2
想一想:焦点在y轴上的双曲线的标准方程？
(a 0,b 0)
如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
把双曲线方程化成标准形式后，
焦点跟着正项走
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系
椭 圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
F（±c，0）
F（0，±c）
F（±c，0）
F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
题型一
双曲线标准方程的认识
解析∵方程对应的图形是双曲线，
解得k>5或－2解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为
由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，
题型二
求双曲线标准方程
例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4；
(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．
解 (1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，
得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
故双曲线的标准方程为
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是
解：(1)设双曲线的标准方程为
解得k＝4或k＝－14(舍去)，
(2)设所求双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
求双曲线标准方程两个关注点
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式；
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
题型三
双曲线定义的应用
例3.如图，若F1，F2是双曲线
(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
F
2
F
1
P
x
O
y
故a＝3，b＝4，
(1)由双曲线的定义得＝2a＝6，
又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，
假设点P到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点P到另一个焦点的距离为10或22.
检验是否满足三边不等关系
F
2
F
1
P
x
O
y
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
∴∠F1PF2＝90°，
2．(变条件)若本例中双曲线的标准方程不变，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
F
2
F
1
P
x
O
y
N
易得ON是△PF1F2的中位线，
因为||PF1|－|PF2||＝2a＝8，|PF1|＝10，
所以|PF2|＝2或|PF2|＝18，
故|ON|＝1或|ON|＝9.
如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝ 且内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
A
B
C
解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则
x
O
y
因为2sin A＋sin C＝2sin B，
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).
即顶点C的轨迹方程为
B
A
M
x
O
y
设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，
y-0
x+5
y-0
x-5
·
=-
4
9
9y2+4x2=100
动点M的轨迹是椭圆：
结论：已知点A(a，0)，B(－a，0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
(x≠±a，a＞b＞0)
B
A
M
x
O
y
设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，
y-0
x+5
y-0
x-5
·
=
4
9
4x2-9y2=100
动点M的轨迹是双曲线：
结论：已知点A(a，0)，B(－a，0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
(x≠±a，a＞0，b＞0)
3.2.1双曲线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 1．数学抽象：结合教材实例了解双曲线的定义．
2．逻辑推理、数学运算：双曲线的标准方程的推导及求解．
生活中的双曲线
数 学 实 验
[1]取一条拉链；
[2]如图，把它固定在板上的F1、F2两点；
[3] 拉动拉链（M），思考拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支.
双曲线定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
F1
F2
M
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
③此常数记为2a，则0
1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于非零常数2a (小于|F1F2 |)的点的轨迹是什么？
双曲线的一支
2、若常数2a=0,轨迹是什么
线段F1F2的垂直平分线
F1
F2
M
F1
F2
M
3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？
两条射线
F1
F2
4、若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？
轨迹不存在
双曲线标准方程的推导
1. 建系
M
F1
F2
以F1,F2所在的直线为x轴，
线段F1F2的中点为原点建
立直角坐标系
O
x
y
2.设点
设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）, 非零常数等于2a （a>0） ，则F1(-c,0),F2(c,0).
3.列式
|MF1| - |MF2|=±2a
令c2-a2=b2,其中b>0
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
(a 0,b 0)
c2=a2+b2
想一想:焦点在y轴上的双曲线的标准方程？
(a 0,b 0)
如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
把双曲线方程化成标准形式后，
焦点跟着正项走
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系
椭 圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
F（±c，0）
F（0，±c）
F（±c，0）
F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
题型一
双曲线标准方程的认识
解析∵方程对应的图形是双曲线，
解得k>5或－2
由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，
题型二
求双曲线标准方程
例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4；
(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．
解 (1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，
得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
故双曲线的标准方程为
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是
解：(1)设双曲线的标准方程为
解得k＝4或k＝－14(舍去)，
(2)设所求双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
求双曲线标准方程两个关注点
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式；
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
题型三
双曲线定义的应用
例3.如图，若F1，F2是双曲线
(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
F
2
F
1
P
x
O
y
故a＝3，b＝4，
(1)由双曲线的定义得＝2a＝6，
又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，
假设点P到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点P到另一个焦点的距离为10或22.
检验是否满足三边不等关系
F
2
F
1
P
x
O
y
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
∴∠F1PF2＝90°，
2．(变条件)若本例中双曲线的标准方程不变，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
F
2
F
1
P
x
O
y
N
易得ON是△PF1F2的中位线，
因为||PF1|－|PF2||＝2a＝8，|PF1|＝10，
所以|PF2|＝2或|PF2|＝18，
故|ON|＝1或|ON|＝9.
如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝ 且内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
A
B
C
解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则
x
O
y
因为2sin A＋sin C＝2sin B，
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).
即顶点C的轨迹方程为
B
A
M
x
O
y
设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，
y-0
x+5
y-0
x-5
·
=-
4
9
9y2+4x2=100
动点M的轨迹是椭圆：
结论：已知点A(a，0)，B(－a，0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
(x≠±a，a＞b＞0)
B
A
M
x
O
y
设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，
y-0
x+5
y-0
x-5
·
=
4
9
4x2-9y2=100
动点M的轨迹是双曲线：
结论：已知点A(a，0)，B(－a，0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
(x≠±a，a＞0，b＞0)