2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质第二课时课件（14张ppt）

(共14张PPT)
3.3.2抛物线的简单几何性质
第二课时
新课程标准解读 核心素养
1.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．
2.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题． 通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.
一、复习回顾：
y
x
o
y
x
o
y
x
o
二、 直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线相离，无交点。
2.直线与抛物线相切，有一个交点。
3.直线与抛物线的对称轴平行，相交于一点。
4.直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。
判断直线与抛物线位置关系的处理程序
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行（重合）
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
例1.(1)过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？
(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
解：(1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意．
P
当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点；
y＝1
当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，
(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组
( )
消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，
只有一组实数解，
即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0　①.
当a＝－1时，
满足
当a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，
综上，实数a的取值集合是
若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.
消去y，得x2－12x＋16＝0.
∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，
∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.
x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)
＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16
＝16＋16－4×12＋16＝0，
即OA⊥OB.
三、中点弦及弦长公式
例2：过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．
Q
A
B
(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
∴kAB＝4.
∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.
( )
消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．
又y1＋y2＝2，∴k＝4.
∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
例3:斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
法二： |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 |
=(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8
A
B
A1
B1
法一：F(1,0), AB的直线方程为 y=x-1,
y=x-1
y2=4x
x2-6x+1=0, x1+x2=6, x1x2=1,
|AB |=
(x1+x2)2-4x1x2
=8
还有其他的方法吗？
焦点弦长公式
经过抛物线焦点的直线与抛物线交于A, B两点，则称弦AB为抛物线的焦点弦.
设过抛物线 y2 = 2px (p＞0) 焦点的直线交抛物线于A，B两点，设 A (x1, y1) ，B (x2, y2) ，则
焦点弦|AB|＝ (x1＋x2) ＋ p
A
B
|AB |= |AF|+ |BF | == x1+ +x2+ =x1+x2+p
p
2
p
2
1.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值．
2p=6，p=3，
F( ,0),
3
2
AB的直线方程为 y= (x- )
3
2
4x2-20x+9=0, x1+x2=5,
|AB|=8
2．设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝25，则k的值为 (　　)
A．±2 B．－1 C．±1 D．－2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，y2－(4＋4k2)y＋4＝0，
所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，
|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
|AF|·|BF|＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25 k＝±2.
p＝4，所以y2＝8x，
焦点F的坐标为(2，0)，
2．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点．
当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，解得k＝1.