2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质第三课时课件（15张ppt）

(共15张PPT)
3.3.2抛物线的简单几何性质
第三课时
题型一
与抛物线有关的轨迹问题
P
N
解：(1)过点P作x轴的垂线垂足为点N，则|PN|＝y，
1
2
x2+(y - )2
化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
练习．若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是 (　　)
A．椭圆　　　B．双曲线 C．抛物线 D．直线
显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，
定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．
题型二
与抛物线有关定点、定值问题
角度一　定点问题
解：(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，
所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，
因为直线OA，OB的斜率之积为
所以A(8，a)，B(8，－a)，此时直线AB的方程为x＝8.
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
消去x化简得ky2－4y＋4b＝0.
xAxB＋2yAyB＝0，
yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32，
所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)，
直线AB过x轴上一定点(8，0)．
练习：已知抛物线y2＝－8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点．
证明：设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为
直线OA的方程为y＝kx，
得A( )，
同理可得B(－8k2，8k)，于是直线AB的方程为y－8k
因此直线AB经过定点(－8，0)．
角度二　定值问题
例3已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过点(2，0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M坐标为(－2，0)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：
解：(1)设l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－4p.
4－4p＝2，
抛物线C的方程为y2＝x.
(2)证明：因为M坐标为(－2，0)，
由(1)可得y1＋y2＝m，y1y2＝－2，
解：(1)依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
A
B
M
N
P
代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，
所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
由(1)知y1y2＝－8，
(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
设直线AM的方程为x＝ny＋1，
N
M
A
B
P
题型三
与抛物线有关的最值(范围)问题
角度一　最值问题
例4如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
A
B
P
由题图可知，A(4，4)，B(1，－2)，
则d＝
d为点P到直线AB的距离，
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，
练习．求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．
法一：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
4x＋3y－8＝0
消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，
故最小距离为
5
-8+
4
3
法二：设A(t，－t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离
5
3(t- )2+
2
3
20
3
d＝
角度二　范围问题
例5如图，已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为________．
F
D
l
A
B
O
解析：由抛物线C：y2＝4x可得焦点F(1，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)
可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴△DAB的面积S的取值范围为(4，＋∞)．
F
O
D
l
A
B
设直线AB的方程为x＝my＋1，
代入y2＝4x，消去x得y2－4my－4＝0，
可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
S＝|y1－y2|=
(y1＋y2)2－4y1y2
＝4
m2+1
>4，
若抛物线y2=x存在关于直线l:y-1=k(x-1)对称的两点,求实数k的取值范围.
A
B
显然k=0不满足题意，k≠0，
设直线AB的方程为y＝－ x＋b，代入方程
1
k
可得x2－(k2＋2kb)x＋k2b2＝0，
∴x1＋x2＝k2＋2kb，
y1＋y2＝－k，
Δ＝k4＋4k3b 0
AB中点在直线y-1=k(x-1)上
b=
k－2－k3
2k2
k4－2k2+4k 0
k(k+2)(k2－2k+2) 0
－2 k 0