2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程课件（18张ppt）

(共18张PPT)
3.3.1抛物线及其标准方程
生活中存在着各种形式的抛物线
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程． 1．数学抽象：结合教材实例了解抛物线的义．
2．逻辑推理、数学运算：抛物线的标准方程的推导及求解．
抛物线及其标准方程(一)
球在空中运动的轨迹是抛物线规律,那么抛物线它有怎样的几何特征呢
二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)又到底是一条怎样的抛物线
一个动点M
到一个定点F
和一条定直线l
的距离之比
为常数 k :
l
F
M1
当 0M2
当 k>1 时是双曲线
M
当 k=1 是？
如图，把一根直尺固定在画图板内直尺l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处;用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
C
一、抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
F
M
l
H
其中 定点F叫做抛物线的焦点
定直线 l 叫做抛物线的准线
定直线l不经过定点F.
定义中包含三个定值，分别为一个定点，
一条定直线及一个确定的比值.
二、标准方程的推导
设焦点到准线的距离为常数P(P>0)如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢？
x
y
o
F
M
l
H
●
(1)y2=2px
F
M
l
H
●
x
y
o
(2)y2=2px-p2
F
M
l
H
●
x
y
(3)y2=2px+p2
F
M
l
H
●
取过焦点F且垂直于准线 l 的直线为x轴，x轴与l 交于K，以线段KF的中点为原点, 建立直角坐标系
x
y
o
设︱KF︱= p
K
则F( ，0)， l ：x = -
p
2
p
2
设点M的坐标为（x，y），
化简得 y2 = 2px（p＞0）
三、抛物线的标准方程
不同点：(1)一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴;
(2)一次项系数为正(负)，则开口方向坐标轴的正(负)方向.
相同点：（1）顶点为原点;（2）对称轴为坐标轴;
（3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为 .
p
2
p
2
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.p的几何意义是焦点到准线的距离，焦点坐标( ,0)，准线方程是x=
p
2
因坐标系的建立
不同，故有四种
情况。
四种抛物线的对比
图 形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2=2px
(p>0)
p
2
( , 0)
p
2
x=-
y2=-2px
(p>0)
p
2
( - , 0)
p
2
x=
x2=2py
(p>0)
p
2
(0, )
p
2
y=-
x2=-2py
(p>0)
p
2
(0, - )
p
2
y=
P的意义:抛物线的焦点到准线的距离
方程的特点:
(1)左边是二次式,
(2)右边是一次式;
决定了焦点的位置.
探究点1　抛物线的标准方程
例1.试求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3，2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
解：(1)因为点(－3，2)在第二象限，
所以抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，
把点(－3，2)分别代入
所以所求抛物线的标准方程为
(2)令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.
故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2).
由直线方程如何找焦点
当焦点为(4，0)时，
即2p＝16，此时抛物线方程为y2＝16x.
当焦点为(0，－2)时，
此时抛物线方程为x2＝－8y.
故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
(1)左顶点为(－3，0)，
方程为y2＝－12x.
又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
A
抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．　
探究点2　抛物线定义的应用
例2. (1)若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程；
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
(1)设M(x，y)，半径为R，由已知得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1.因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
故其方程为y2＝8x.
P
(2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．
由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的
焦点
三点共线时距离之和最小，
(变条件)若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，其他条件不变，求|PA|＋|PF|的最小值．
A
P
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，
在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．