《倍长中线法》教学课件-人教版初中数学八年级上册第13章全等三角形（15张PPT）

(共15张PPT)
倍长中线法
*
△ABC中，AD是BC边中线，AB=6,
AC=4,求AD的取值范围.
A
B
C
D
倍长中线法
倍长中线（或类中线）就是将中线加倍延长构造全等三角形
A
B
C
D
E
BD=CD
构造过程：
延长中线AD到E，使DE=AD，连接BE
在△ADC 和 △EDB中
∴ △ADC ≌ △EDB(SAS)
AD=ED
∠ADC= ∠EDB
倍长中线可以直接倍长或间接倍长（或类倍长）
△ABC中，AD是BC边中线，AB=6,
AC=4,求AD的取值范围.
分析：直接倍长AD到E，连接BE
可得△ADC ≌ △EDB(SAS)
∴BE=AC=4
∴ 6-4＜ AE ＜6+4
∴ 2＜ 2AD ＜10
∴ 1＜ AD ＜5
A
B
C
D
E
倍长中线法
已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE
D
A
B
F
C
E
例一：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE
△DMF≌△ECF(ASA）
M
D
A
B
F
C
E
解法一:
过点D作DM∥AC，交BC于M
∴BD=DM
∴CE=DM
又∵DM=BD
∴BD=CE
（等角对等边）
则∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠B=∠DMB
在△DMF和△ECF中
∠MDF=∠E
DF=EF
∠MFD=∠CFE（对顶角相等）
例一：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE
∵EG∥AB
∴∠B=∠G
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
又∵∠ACB=∠ECG
∴∠G=∠ECG，CE=GE
在△BDF和△GEF中
∠B=∠G
∠BFD=∠EFG
DF=EF
△BDF≌△GEF(AAS)
GE=BD
∵CE=GE ∴BD=CE
D
A
B
F
C
E
G
解法二:
过点E作EG∥AB，交BC的延长线于点G
例一：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE
∵AB=AC, ∠ECN=∠ACB
∴∠ABC=∠ACB=∠ECN
在△DMB和△ENC中
∠ECN=∠ABC
∠DMF=∠ENF=90°
DM=EN
∴ (AAS)
∴BD=CE
D
A
B
F
C
E
N
M
解法三:
过点D作DM⊥BC,交BC于M，过点E作EN⊥BC,交BC延长线于N
在△DMF和△ENF中
∠DMF= ∠ENF=90°
∠ MFC=∠ NFE
DF=EF
∴△DMF≌△ENF（AAS）
∴DM=EN
△DMB≌△ENC
例二：
如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA=BD
求证：AC=2AE
A
B
E
D
C
F
解：延长AE到F，使EF=AE，连接DF，
∵AE是△ABD的中线，∴BE=ED
在△ABE与△FDE中,
BE＝DE,∠AEB＝∠DEF ,AE＝EF
∴△ABE≌△FDE（SAS）
∴AB=DF，∠B=∠BDF，
∵∠ADC是△ADB的外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠B
∵∠BAD=∠BDA ∠B=∠BDF
构造2AE，可证△ADF≌△ADC
解：
例二：
如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA=BD，∠BAD=∠BDA求证：AC=2AE
A
B
E
D
C
F
∴∠ADC=∠BDA+∠BDF，
∴∠ADF=∠ADC，
在△ADF与△ADC中，
AD＝AD,∠ADF＝∠ADC ,FD＝DC
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴AF=AC
∴AC=2AE
小结
实际上，由倍长中线时的操作便可知，我们总是能通过构造全等三角形，将一些看似“分散”的条件聚集起来，从而将问题明晰。
总结回顾
边上“中点”，联想倍长中线法作相关辅助线求解
倍长中线法只是解题的第一步，找准全等三角形、注重内错角、同旁内角、对顶角、等边等角的转化
掌握几种基本辅助线模型，根据实际已知条件灵活运用，作垂线、平行线是倍长中线法的补充
多观察
多练习
A
C
B
E
D
F
A
C
B
N
D
M
A
C
B
E
D
多尝试
专题讨论：
有人说直角三角形斜边中线等于斜
边一半，你认为对吗，为什么？
C
A
B
D
C
A
B
D
E
△ADC ≌ △EDB(SAS)
△ABC ≌ △ECB(SAS)