河北省邯郸市武安市第一高级中学校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

武安一中高一年级第二学期期末考试
数学试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，则在的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD
C．BC D．AC
2．若m，n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．棱长为a的正四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（ ）
A．s＝s1 B．sC．s>s1 D．不能确定
5．冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为的半圆形，则该冰激凌的体积为（ ）
A． B．
C． D．
6．设a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ②若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；
③若ab，aα，则bα； ④若a⊥α，ab，bβ，则α⊥β.
其中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图是正方体的平面展开图．则在这个正方体中：
①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与是异面直线.
以上四个命题中，正确的命题序号是（ ）
①③ B．②④
C．①④ D．③④
8．已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，多选不给分，漏选得2分）
9．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（ ）
A．侧面积之比为 B．侧面积之比为
C．体积之比为 D．体积之比为
10．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续天，每天不超过人体温高于，则称没有发生群体性发热.下列连续天体温高于人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）
A．中位数为，众数为 B．均值小于，中位数为
C．均值为，众数为 D．均值为，标准差为
11．2020年突如其来的新冠肺炎疫情对房地产市场造成明显的冲击，如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断，则判断正确的是（ ）
A．日成交量的中位数是16 B．日成交量超过平均成交量的只有1天
C．10月7日认购量量的增长率大于10月7日成交量的增长率
D．日认购量的方差大于日成交量的方差
12．如图，在正方体中，点在线段上运动，则（ ）
A．直线平面
B．二面角的大小为
C．三棱锥的体积为定值
D．异面直线与所成角的取值范围是
三、填空题
13．在用斜二测画法画水平放置的时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________．
14．某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参与广场的宣传活动，应从第组抽取__________名志愿者．
（14题图） （15题图）
15．我国有一种容器叫做“方斗”，“方斗”的形状是一个上大下小的正四棱台，如果一方斗的高为分米（即该方斗上、下两底面的距离为分米），上底边长为分米，下底边长为分米，则此方斗外表面的侧面积为__________平方分米．
16．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中正确是___________.(填序号即可)
①|BM|是定值；
②总有CA1⊥平面A1DE成立；
③存在某个位置，使DE⊥A1C；
④存在某个位置，使MB平面A1DE.
四、解答题（共70分）
(10分)
某校高一年级新入学360名学生，其中200名男生，160名女生.学校计划为家远的高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍，每间宿舍可住2名学生.该校“数学与统计”社团的学生为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层随机抽样，其中抽取的40名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位：）如下：
（1）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居中地与学校距离为，他是否能住宿？说明理由；
（2）通过计算得到男生样本数据平均值为，女生样本数据平均值为，求所有样本数据的平均值.
(12分)
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标 值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125]
频数 6 26 38 22 8
(1)作出这些数据的频率分布直方图：
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
(12分)
如图，四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG．
(1)求证：PC⊥BC；
(2)AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；若不存在，请说明理由．
(12分)
如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：(1)AF∥平面BCE；
(2)平面BCE⊥平面CDE.
(12分)
如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF
(12分)
如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
武安一中高一年级第二学期期末考试
数学 答案
1．【答案】D【详解】根据的形状可知的形状如下图：
由图可知，最长的线段为，故选：D.
2．【答案】C【详解】，正确，，正确，，正确
若，，则可以与平行，相交或，故④错误 故选：C
3．【答案】D 因为正四面体是各面都是全等的等边三角形 又该正四面体的棱长为，
所以该正四面体的表面积为. 故选：D.
4．【答案】C
由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，则
，
若比较与的大小，只需比较与的大小即可，而，，所以，从而.故选：C
5．【答案】A
设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
根据题意，可得，解得，所以，
故该冰激凌的体积.
6．【答案】B
【详解】解：①若a⊥b，b⊥c，则a，c的位置关系为平行 相交或异面，故a⊥c不正确；
②若α⊥β，β⊥γ，则α，γ的位置关系为平行或相交，故α⊥γ不正确；
③若ab，aα，则bα或b α，故③不正确；
④若a⊥α，ab，可得b⊥α，bβ，过b的一个平面与β的交线m，
可得mb，m⊥α，则α⊥β.故正确.其中，真命题的个数为1.故选：B.
7【答案】D
解：展开图复原的正方体如图所示，由正方体的性质可知
与是异面直线，所以①错误；与是平行直线，所以②错误；
连接，则与，所以或其补角为异面直线与所成的角，因为为等边三角形，所以，所以与成角，所以③正确；
与是异面直线，所以④正确， 故选：D
8．【答案】A
设正四面体的棱长为，如图，取的中点，连接，
因为点为棱的中点，所以∥，，
所以为异面直线与所成的角或其补角，因为正四面体的棱长为，所以，所以，故选：A
二、多选题
9．【答案】BD【详解】依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，
所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，
所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，
即小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为. 故选：BD.
10．【答案】BD
【详解】将个数由小到大依次记为、、、、、、.
对于A选项，反例：、、、、、、，满足中位数为，众数为，与题意矛盾，A选项不合乎要求；
对于B选项，假设，即该公司发生了群体性发热，
因中位数为，则，平均数为，矛盾，
故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，B选项合乎要求；
对于C选项，反例：、、、、、、，满足众数为，均值为，与题意矛盾，C选项不合乎要求；
对于D选项，假设，即该公司发生群体性发热，
若均值为，则方差为，即，与D选项矛盾，
故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，D选项合乎要求.
故选：BD.
11．【答案】BD
【详解】由拆线图日成交量的中位数是26，A错；
日成交量均值为，大于均值的只有一天，B正确；
10月7日认购量量的增长率为，成交量的增长率为，显然C错；
日认购量的均值为，
由各数据与均值的差可以看出日认购量的方差大于日成交量的方差，D正确．
故选：BD．
12．【答案】AC【详解】如图，
在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，
∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；
在B中，由正方体可知平面不垂直平面,故B错误；
在C中，∵A1D∥B1C，A1D 平面A1C1D，B1C 平面A1C1D，
∴B1C∥平面 A1C1D，
∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，
又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故C正确；
在D中，当点P与线段的端点重合时, 异面直线与所成角取得最小值为,故异面直线AP与A1D所成角的取值范用是，故D错误.
故选：AC
三、填空题
13．【答案】45°或135°【详解】
解析：因为∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，
按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°．故答案为：45°或135°
14．【答案】【详解】第3组的人数为，第4组的人数为，
第5组的人数为，所以这三组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，第三组应抽取名，
故答案为：3.
15．
如图，由题意可得，
所以，，所以
所以梯形的高为，所以梯形的面积为所以此方斗外表面的侧面积为
故答案为：
16．【答案】①④
【详解】
对于①：由图知，取CD的中点F，联结MF，BF，设，易知∠A1DE=∠MFB，MFA1D=，FB=DE=，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF FB cos∠MFB，
所以MB是定值，故①正确.
对于②：由反证法，若总有CA1⊥平面A1DE成立，则CA1⊥A1E成立，而CE=，，求得CA1=为定值，而在翻折过程中，CA1的长是一直变化的，故②错误；
对于③：∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴A1C与DE一定不垂直，可得③不正确.对于④：由①知，MFDA1，BFDE，∴平面MBF平面A1DE，
∴MB平面A1DE，故④正确.故答案为：①④.
四、解答题（共70分）
17.（10分）【答案】（1）能住宿；（2）.
（l）能住宿.因为200名男生中有10名男生住校，所以抽取的40名男生中约有2名男生住校.由样本数据可知，距离为和的男生住校，距离为以下的男生不住校，由于，所以男生甲住宿.
（2）根据分层随机抽样的原则，应抽取32名女生.
因为男生样本数据的平均数为，女生样本数据的平均数为，
所以所有样本数据的平均数为.
所以可估计总体数据的平均数为.
18．（12分）
[解]　(1)样本数据的频率分布直方图如图所示：
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
0．38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
19．（12分）
解：(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PD⊥BC．
因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD．
又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．
因为PC 平面PDC，所以PC⊥BC．
(2)连接AC，BD交于点O，连接EO，GO，
延长GO交AD于点M，连接EM，则PA∥平面MEG．
证明如下：因为E为PC的中点，O是AC的中点，所以EO∥PA．
因为EO 平面MEG，PA 平面MEG，所以PA∥平面MEG．
因为△OCG≌△OAM，所以AM＝CG＝，所以AD边上存在点M，使PA∥平面MEG，且AM的长为．
20.（12分）
[证明]　(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.
∵F为CD的中点， ∴GF∥DE且GF＝DE.
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB.
又AB＝DE，∴GF＝AB.
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF 平面BCE，BG 平面BCE，
∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF 平面ACD，∴DE⊥AF.
又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
又∵BG 平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
21. （12分）
[证明]　(1)在折叠后的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，所以＝，所以DE∥BC.
因为DE 平面BCF，BC 平面BCF，
所以DE∥平面BCF.
(2)在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，
所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF.
又BF＝CF＝，BC＝，所以BC2＝BF2＋CF2，
所以BF⊥CF.
又BF∩AF＝F，BF 平面ABF，AF 平面ABF，
所以CF⊥平面ABF.
22.（12分）
[解]　(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.
(2)取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AM＝1，故DM＝＝.因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC.
在Rt△DAN中，AN＝1，故DN＝＝.在等腰三角形DMN中，MN＝1
可得cos∠DMN＝＝.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为.
(3)连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM＝.又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM 平面ABC，故CM⊥平面ABD.所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD＝＝4.
在Rt△CMD中，sin∠CDM＝＝.所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.