北师大版八年级上册7.1探索勾股定理同步练习(word版含答案)

北师大版同步检测卷：探索勾股定理
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若一直角三角形的两边长分别是 ，，则第三边长为
A. B. C. 或 D.
2. 已知直角三角形的两边长分别为 和 ，则斜边长为
A. B. C. 或 D. 或
3. 如图，在 中，，分别以 ，， 为边向外作正方形面积分别记为 ，，．若 ，．则面积为 的正方形的边长为
A. B. C. D.
4. 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”． 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是
A. B.
C. D.
5. 如图，在 中，，则 的值为
A. B. C. D.
6. 已知一个等边三角形的边长为 ，则以它的高为边长的正方形的面积为
A. B. C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中有两点 ，，则它们之间的距离为
A. B. C. D.
8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按如图②所示的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出
A. 直角三角形的面积
B. 最大的正方形的面积
C. 较小的两个正方形重叠部分的面积
D. 最大的正方形与直角三角形的面积和
9. 若直角三角形的两边长分别为 ，，且满足 ，则该直角三角形的第三边长的平方为
A. B. C. 或 D. 或
10. 有一个面积为 的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了 个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了 次后形成的图形中所有正方形的面积和是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之 ，三边之间存在着一个特定的 关系．
12. 直角坐标平面内的两点 ， 的距离为 ．
13. 如图，在 中，已知 ，，垂足为 ，．若 是 的中点，则 ．
14. 在 中，，且 ，，则 的值是 ．
15. 在 中，，， 边上的高 ，则 的长为 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 已知 的面积为 ，斜边长为 ，两直角边长分别为 ，．求代数式 的值．
17. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．（注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
（1）如图 ，在 中，，，求证： 是“美丽三角形”；
（2）如图 ，在 中，，，若 是“美丽三角形”，求 的长．
18. 如图，在 中，，，，点 从点 出发，以每秒 的速度向点 运动，到 点停止．连接 ，设运动时间为 秒 ．
（1）求 的面积；
（2）当 时，求 的值．
答案
第一部分
1. C
2. C 【解析】当 为直角边时，斜边 ，
当 为斜边时，另一条直角边 ．
3. B 【解析】 中，，
，
，
，，，
．
则 边长为 ．
故选：B．
4. B 【解析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，
5. A
6. B
7. A 【解析】，，
，，
，
即这两点之间的距离是 ．故选A．
8. C 【解析】设直角三角形的斜边长为 ，较长直角边为 ，较短直角边为 ，
由勾股定理得 ，
阴影部分的面积 ，
较小的两个正方形重叠部分的宽 ，长 ，
则较小的两个正方形重叠部分的面积 ，
所以知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小的两个正方形重叠部分的面积，故选C．
9. C 【解析】因为 ，
所以 ，，
所以 ，，
所以直角三角形的第三边长的平方为 或 ，
所以直角三角形的第三边长的平方为 或 ．
10. D
【解析】设正方形 ，， 围成的直角三角形的三条边长分别是 ，，．
如图，
根据勾股定理，得 ，
一次“生长”后，．
第二次“生长”后，，
推而广之，“生长”了 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ．
第二部分
11. 确定，数量
12.
13.
【解析】设 ，，
，
，
，
在 中，，
，
在 中，，
．
14.
【解析】，，
，，
在 中，，
．
15. 或
【解析】分两种情况讨论：
（）如图，
在锐角 中，
，， 边上的高 ，
在 中，，，
由勾股定理得 ，
，
在 中，，，
由勾股定理得 ，
，
的长为 ；
（）如图，
在钝角 中，
，， 边上的高 ，
在 中，，，
由勾股定理得 ，
，
在 中，，，
由勾股定理得 ，
，
的长为 ．
故答案为 或 ．
第三部分
16. 的面积为 ，
，
解得 ，
根据勾股定理得：，
．
17. （1） 如图，过点 作 于 ，
因为 ，，，
所以 ，
又因为 ，
所以由勾股定理得，，
所以 ，
所以 是“美丽三角形”．
（2） 如图，作中线 ，，
当 边上的中线 时，
因为 ，点 为 的中点，
所以 ，，
所以 ，
当 边上的中线 时，
则 ，
由勾股定理得：，
即 ，
解得：（舍负）．
综上所述， 的长是 或 ．
18. （1） 在 中，，，，
，
．
（2） 设 ，则 ，
在 中，
，
由勾股定理，得：，
即 ，
解得：，
当点 运动到 时， 的值为 ．
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