沪科版数学八年级上册 13.2 命题与证明（两课时）教案
文档属性
| 名称 | 沪科版数学八年级上册 13.2 命题与证明（两课时）教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 132.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-11 08:08:12 | ||
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文档简介
命题与证明
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学目标】
（一）知识与技能：
1．理解真命题、假命题、公理、原命题、逆命题等概念。
2．会判断一个命题的真假，能区分公理、定理和命题。
3．理解证明的含义，体验证明的必要性和数学推理的严密性。
（二）过程与方法：
1．通过一些简单命题的证明，训练学生的逻辑推理能力。
2．根据命题的证明需要，要求学生画出图形，写出已知、求证，训练学生将命题转化为数学语言的能力。
（三）情感、态度与价值观：
1．通过对命题真假的判断，培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风。
2．让学生积极参与数学活动，对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲，让学生认识数学与人类生活的密切联系，提高学生学习数学的积极性。
【教学重点】
学习命题的概念和命题、公理、定理的区分。
【教学难点】
严密完整地写出推理过程。
【教学过程】
一、创设情境，导入新知。
教师多媒体出示：
有一根比地球赤道长1m的铜线将地球赤道绕一圈，想一想，铜线与地球赤道之间的空隙有多大？能放进一颗枣吗？能放进一个苹果吗？
学生交流讨论后回答。
生甲：都放不进去。
生乙：枣能放进，苹果放不进。
生丙：都能放进。
师：我们现在用这个式子来算，设赤道的长为C，则铜线与地球赤道之间的间隙是0.26(m)，可见，枣和苹果都能放进去。通过这个例子，你们受到了什么启发？
生：有些东西想象的或感觉的不一定可靠，要具体分析。
师：对，我们要做到有理有据。
上一节研究三角形的性质时，我们通过折叠、剪拼、度量等方法得到三角形的内角和是180°，但对这种方法，有的同学提出这样的疑问：
在剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个值；
度量三个角，然后相加，不一定能准确地得到180°。
这两种情况怎么解释呢？
学生思考、交流、讨论。
师：是这样的，研究几何图形时，从观察和实验得到的认识，有时会有误差，难以使人确信其结果一定正确。因此，就得在观察的基础上有理有据地说明理由，这就是说，要判断数学命题的真假，需要做必要的逻辑推理。
二、共同探究，获取新知。
师：推理是一种思维活动，人们在思维活动中，常常要对事物的情况做出种种判断。
（一）教师多媒体出示：
1．长江是中国第一大河；
2．如果∠1和∠2是对顶角，那么它们相等；
3．2+3≠5；
4．如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数能被3整除。
教师找一名学生回答，然后集体订正。
师：在逻辑学中，凡是可以判断出真（即正确）、假（即错误）的语句叫做命题。上面的1、2、4都是正确的命题，我们称之为真命题；3是错误的命题，我们称之为假命题。如果一个语句没有对某一事件的正确与否作出任何判断，那么它就不是命题，比如感叹句、疑问句、祈使句等。
（二）教师多媒体出示：
1．请关上窗户；
2．你明天骑车来上学吗？
3．天真冷啊！
4．今天晚上不会下雨。
5．昨天我们去旅游了。
师：请同学们判断一下哪些语句是命题？
学生讨论后回答，然后集体订正。
师：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……那么……”的形式。有时我们为了简便，省略关联词“如果”、“那么”，如命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，可以写成“对顶角相等”。以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的条件（或假设），q是这个命题的结论（或题断）。
三、边讲边练。
教师多媒体出示：
例1：指出下列命题的条件与结论：
（1）两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行；
（2）如果∠A=∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等。
生甲：（1）中“两条直线平行于同一条直线”是条件，“两条直线平行”是结论。
生乙：“∠A=∠B”是条件，“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论。
四、层层推进，深入探究
师：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。我们在前面学习了命题都可以判断真假，当一个命题是真命题时，它的逆命题也是真命题吗？
学生交流讨论后发表意见。
师：我们可以看这样一个例子，“如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，它的逆命题是什么？
生：它的逆命题是“如果∠1=∠2，那么∠1与∠2是对顶角”。
师：它是真命题还是假命题呢？
生：假命题。
师：你是怎么判断它是假命题的呢？
学生交流讨论后回答。
教师多媒体出示下图。
师：对。我们可以举一个例子，比如角平分线分成的两个角，∠1=∠2，但显然，这里∠1与∠2就不是对顶角。像这种符合命题条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例。若要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。
五、练习新知，加深讨论。
师：请同学们看教材中本节例1后练习的第2题。
教师找学生回答，然后集体订正得到。
师：在数学命题的研究中，为了确认某些命题是真还是假，需要对命题的正确性进行论证，在论证过程中，必须追本求源，真理不需要再作论证，其正确性是人们在长期实践中检验所得的真命题，作为判断其他命题真假的依据，这些作为原始根据的真命题称为公理。同学们想一下，我们学过哪些公理？
生甲：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
生乙：两点之间的所有连线中，线段最短。
生丙：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线，
师：对，这些都是公理。有些命题，它们的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。谁能举几个例子？
生甲：对顶角相等。
生乙：三角形的三个内角和等于180°。
生丙：等角的补角相等。
师：对。推理的过程叫做证明。下面，我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等，两直线平行”。
教师多媒体出示：
例2：已知：如图所示，直线c与直线a、b相交，且∠1=∠2。
求证：a//b．
师：若已知“同位角相等，两直线平行”这个定理，怎么证明“内错角相等，两直线平行”这个结论？
学生交流讨论，教师巡视指导。
学生口述，教师板书推理过程。
证明：∵∠1=∠2，（已知）
又∵∠1=∠3，（对顶角相等）
∴∠2=∠3．（等量代换）
∴a//b。（同位角相等，两直线平行）
教师强调：证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的定理。
例3：已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC。
求证：OE⊥OF。
证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC（已知）
∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC。（角平分线的定义）
又∵∠AOB+∠BOC=180°，（已知）
∴∠1+∠2=（∠AOB+∠BOC）=90°。（等式性质）
∴OE⊥OF。（垂直的定义）
六、课堂小结。
师：我们今天学习了什么内容？
学生回答，教师补充完善。
【第二课时】
【教学目标】
（一）知识与技能：
1．掌握三角形内角和定理及其三个推论。
2．熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述。
3．探索并理解三角形的内角和定理。
4．会灵活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题。
（二）过程与方法：
1．经历探索并证明三角形内角和定理的过程。
2．让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的几个推论。
（三）情感、态度和价值观：
1．通过三角形内角和定理的证明，让学生体会到数学的严谨性和推理的用途。
2．通过让学生积极思考、踊跃发言，使他们养成良好的学习习惯。
3．通过生动的教学活动，发展学生的合情推理能力和表达能力，提高学生学习和探索数学的兴趣。
【教学重点】
三角形内角和定理的证明，三角形内角和定理及其推理。
【教学难点】
三角形内角和定理的证明。
【教学过程】
一、创设情境，导入新知。
师：在前面我们学习了三角形的内角和定理，你还记得它的内容吗？
学生回答。
师：我们用什么方法证明过这个命题？
生：用折叠、剪拼和度量的方法。
师：很好！在上节课我们学习了定理的概念，大家还记得吗？
生：记得。它们的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判定其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
师：对。三角形的内角和定理是一个定理，它能够被证实，上节课我们还学习了简单命题的证明，现在我们来证明这个定理。
二、共同探究，获取新知。
教师多媒体出示：
例1：证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°。
师：在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先，根据条件画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；再结合图形，写出已知、求证。这个命题的条件和结论分别是什么？
生：条件是一个三角形，结论是它的内角和等于180°。
师：这个命题与图形有关吗？
生：有关。
师：那我们要画出什么图形？
生：一个三角形。
教师在黑板上画出一个三角形。
师：题目中没有已知、求证，我们自己要写出来。已知就是条件，求证的就是要证的结论。应该怎么写？
生：已知：△ABC，如图所示。求证：∠A+∠B+∠C=180°。
教师板书。
师：以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角，这不是证明，但它却给我们以启发，现在我们通过作图来实现这种转化，给出证明。
教师边操作边讲解：
在剪拼中我们可以把∠B剪下，放在这个位置，在证明中我们可以作出一个角与∠B相等，来代替这种操作。并且为了证明的需要，在原来图形上添画的线，这种线叫做辅助线。同学们看，应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题？
生：延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B．
教师作图：
师：对。如果再知道什么条件就能得到结论了？
学生讨论后回答。
生：因为∠1+∠2+∠ACB是一个平角，等于180°，如果∠A=∠1，那么就有∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠ACB=180°，这样就证出了结论。
师：对。现在我们看怎样证∠A=∠1？
学生交流讨论。
教师提示：∠A和∠1是什么角？
生：内错角。
师：怎么证两个内错角相等？
生：两直线平行，内错角相等。
师：在题中要证哪两条直线平行？怎么证它们平行？
生：证明CE//BA，因为∠2=∠B，由同位角相等，两直线平行，就可以证出CE//BA了。
师：很好！我们现在来把这个推导过程具体写一下。要注意，我们刚才是分析，可以由结论推条件，但在书写过程中，要先写条件，再写结论，这个顺序要理清。
学生口述，教师板书。
师：现在大家想一想，如果一个三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另外两个角的和会是多少？
生：90°。
师：对。两个角的和是90°，我们可以称它们之间是什么关系？
生：互余。
师：对。由此我们得到三角形内角和定理的第一个推论。
教师板书：
推论1：直角三角形的两锐角互余。
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。
三、边讲边练。
师：三角形内角和定理的证明有多种方法，课本练习中给出了另外两种证法。大家能不能说出第一题的思路？
生：过点A作DE//BC后，由两直线平行，内错角相等来建立两个相等关系，再由平角的定义就可证出了。
师：你们已经理清了思路，现在请大家将书上的证明过程补充完整。
学生完成练习第1题。
师：第二个练习的思路大家清楚吗？
学生交流讨论后回答。
生：过三角形一边上一点作两条平行线，然后根据平行线的性质使△ABC的三个内角与组成平角的三个角分别相等，再由平角的定义证明它们的和是180°。
师：很好！请同学们把证明过程补充完整。
学生补充练习第2题的证明，教师巡视指导，然后集体订正。
四、层层推进，深化理解
教师多媒体出示：
师：在三角形内角和定理的证明中，我们曾经如图中所示那样把△ABC的一边BC延长至点D，得到∠ACD，像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。在上图中，△ABC的外角，也就是∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系？你能给出证明吗？
学生小组交流讨论后回答。
生：∠ACD与∠ACB的和是180°，所以∠ACD=180°-∠ACB；根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=180°-∠C．由等式的性质，得到∠ACD=∠A+∠B。
师：很好！除了这个相等关系，还能得到什么大小关系？
生：∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。
师：很好！在证明中主要应用了三角形内角和定理，我们把这两个结论称为这个定理的两个推论。
教师板书：
推论3：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论4：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
师：像这样，由公理、定理直接得出的真命题叫做推论。推论3可以用来计算角的大小，推论4可以用来比较两个角的大小。
例2：已知：如图所示，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角。
求证：∠1+∠2+∠3=360°。
师：这个问题实质上是三角形外角和定理，即三角形三个外角的和是360°。请大家想一下，怎么证明这个命题？
学生交流讨论后回答，然后集体订正。
证明：∵∠1=∠ABC+∠ACB，
∠2=∠BAC+∠ACB，
∠3=∠BAC+∠ABC，
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。）
∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)。（等式性质）
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，（三角形内角和定理）
∴∠1+∠2+∠3=360°。
五、课堂小结
师：我们今天学习了哪些内容？你有什么收获？
学生发言，教师点评。
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【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学目标】
（一）知识与技能：
1．理解真命题、假命题、公理、原命题、逆命题等概念。
2．会判断一个命题的真假，能区分公理、定理和命题。
3．理解证明的含义，体验证明的必要性和数学推理的严密性。
（二）过程与方法：
1．通过一些简单命题的证明，训练学生的逻辑推理能力。
2．根据命题的证明需要，要求学生画出图形，写出已知、求证，训练学生将命题转化为数学语言的能力。
（三）情感、态度与价值观：
1．通过对命题真假的判断，培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风。
2．让学生积极参与数学活动，对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲，让学生认识数学与人类生活的密切联系，提高学生学习数学的积极性。
【教学重点】
学习命题的概念和命题、公理、定理的区分。
【教学难点】
严密完整地写出推理过程。
【教学过程】
一、创设情境，导入新知。
教师多媒体出示：
有一根比地球赤道长1m的铜线将地球赤道绕一圈，想一想，铜线与地球赤道之间的空隙有多大？能放进一颗枣吗？能放进一个苹果吗？
学生交流讨论后回答。
生甲：都放不进去。
生乙：枣能放进，苹果放不进。
生丙：都能放进。
师：我们现在用这个式子来算，设赤道的长为C，则铜线与地球赤道之间的间隙是0.26(m)，可见，枣和苹果都能放进去。通过这个例子，你们受到了什么启发？
生：有些东西想象的或感觉的不一定可靠，要具体分析。
师：对，我们要做到有理有据。
上一节研究三角形的性质时，我们通过折叠、剪拼、度量等方法得到三角形的内角和是180°，但对这种方法，有的同学提出这样的疑问：
在剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个值；
度量三个角，然后相加，不一定能准确地得到180°。
这两种情况怎么解释呢？
学生思考、交流、讨论。
师：是这样的，研究几何图形时，从观察和实验得到的认识，有时会有误差，难以使人确信其结果一定正确。因此，就得在观察的基础上有理有据地说明理由，这就是说，要判断数学命题的真假，需要做必要的逻辑推理。
二、共同探究，获取新知。
师：推理是一种思维活动，人们在思维活动中，常常要对事物的情况做出种种判断。
（一）教师多媒体出示：
1．长江是中国第一大河；
2．如果∠1和∠2是对顶角，那么它们相等；
3．2+3≠5；
4．如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数能被3整除。
教师找一名学生回答，然后集体订正。
师：在逻辑学中，凡是可以判断出真（即正确）、假（即错误）的语句叫做命题。上面的1、2、4都是正确的命题，我们称之为真命题；3是错误的命题，我们称之为假命题。如果一个语句没有对某一事件的正确与否作出任何判断，那么它就不是命题，比如感叹句、疑问句、祈使句等。
（二）教师多媒体出示：
1．请关上窗户；
2．你明天骑车来上学吗？
3．天真冷啊！
4．今天晚上不会下雨。
5．昨天我们去旅游了。
师：请同学们判断一下哪些语句是命题？
学生讨论后回答，然后集体订正。
师：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……那么……”的形式。有时我们为了简便，省略关联词“如果”、“那么”，如命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，可以写成“对顶角相等”。以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的条件（或假设），q是这个命题的结论（或题断）。
三、边讲边练。
教师多媒体出示：
例1：指出下列命题的条件与结论：
（1）两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行；
（2）如果∠A=∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等。
生甲：（1）中“两条直线平行于同一条直线”是条件，“两条直线平行”是结论。
生乙：“∠A=∠B”是条件，“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论。
四、层层推进，深入探究
师：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。我们在前面学习了命题都可以判断真假，当一个命题是真命题时，它的逆命题也是真命题吗？
学生交流讨论后发表意见。
师：我们可以看这样一个例子，“如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，它的逆命题是什么？
生：它的逆命题是“如果∠1=∠2，那么∠1与∠2是对顶角”。
师：它是真命题还是假命题呢？
生：假命题。
师：你是怎么判断它是假命题的呢？
学生交流讨论后回答。
教师多媒体出示下图。
师：对。我们可以举一个例子，比如角平分线分成的两个角，∠1=∠2，但显然，这里∠1与∠2就不是对顶角。像这种符合命题条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例。若要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。
五、练习新知，加深讨论。
师：请同学们看教材中本节例1后练习的第2题。
教师找学生回答，然后集体订正得到。
师：在数学命题的研究中，为了确认某些命题是真还是假，需要对命题的正确性进行论证，在论证过程中，必须追本求源，真理不需要再作论证，其正确性是人们在长期实践中检验所得的真命题，作为判断其他命题真假的依据，这些作为原始根据的真命题称为公理。同学们想一下，我们学过哪些公理？
生甲：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
生乙：两点之间的所有连线中，线段最短。
生丙：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线，
师：对，这些都是公理。有些命题，它们的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。谁能举几个例子？
生甲：对顶角相等。
生乙：三角形的三个内角和等于180°。
生丙：等角的补角相等。
师：对。推理的过程叫做证明。下面，我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等，两直线平行”。
教师多媒体出示：
例2：已知：如图所示，直线c与直线a、b相交，且∠1=∠2。
求证：a//b．
师：若已知“同位角相等，两直线平行”这个定理，怎么证明“内错角相等，两直线平行”这个结论？
学生交流讨论，教师巡视指导。
学生口述，教师板书推理过程。
证明：∵∠1=∠2，（已知）
又∵∠1=∠3，（对顶角相等）
∴∠2=∠3．（等量代换）
∴a//b。（同位角相等，两直线平行）
教师强调：证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的定理。
例3：已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC。
求证：OE⊥OF。
证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC（已知）
∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC。（角平分线的定义）
又∵∠AOB+∠BOC=180°，（已知）
∴∠1+∠2=（∠AOB+∠BOC）=90°。（等式性质）
∴OE⊥OF。（垂直的定义）
六、课堂小结。
师：我们今天学习了什么内容？
学生回答，教师补充完善。
【第二课时】
【教学目标】
（一）知识与技能：
1．掌握三角形内角和定理及其三个推论。
2．熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述。
3．探索并理解三角形的内角和定理。
4．会灵活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题。
（二）过程与方法：
1．经历探索并证明三角形内角和定理的过程。
2．让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的几个推论。
（三）情感、态度和价值观：
1．通过三角形内角和定理的证明，让学生体会到数学的严谨性和推理的用途。
2．通过让学生积极思考、踊跃发言，使他们养成良好的学习习惯。
3．通过生动的教学活动，发展学生的合情推理能力和表达能力，提高学生学习和探索数学的兴趣。
【教学重点】
三角形内角和定理的证明，三角形内角和定理及其推理。
【教学难点】
三角形内角和定理的证明。
【教学过程】
一、创设情境，导入新知。
师：在前面我们学习了三角形的内角和定理，你还记得它的内容吗？
学生回答。
师：我们用什么方法证明过这个命题？
生：用折叠、剪拼和度量的方法。
师：很好！在上节课我们学习了定理的概念，大家还记得吗？
生：记得。它们的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判定其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
师：对。三角形的内角和定理是一个定理，它能够被证实，上节课我们还学习了简单命题的证明，现在我们来证明这个定理。
二、共同探究，获取新知。
教师多媒体出示：
例1：证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°。
师：在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先，根据条件画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；再结合图形，写出已知、求证。这个命题的条件和结论分别是什么？
生：条件是一个三角形，结论是它的内角和等于180°。
师：这个命题与图形有关吗？
生：有关。
师：那我们要画出什么图形？
生：一个三角形。
教师在黑板上画出一个三角形。
师：题目中没有已知、求证，我们自己要写出来。已知就是条件，求证的就是要证的结论。应该怎么写？
生：已知：△ABC，如图所示。求证：∠A+∠B+∠C=180°。
教师板书。
师：以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角，这不是证明，但它却给我们以启发，现在我们通过作图来实现这种转化，给出证明。
教师边操作边讲解：
在剪拼中我们可以把∠B剪下，放在这个位置，在证明中我们可以作出一个角与∠B相等，来代替这种操作。并且为了证明的需要，在原来图形上添画的线，这种线叫做辅助线。同学们看，应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题？
生：延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B．
教师作图：
师：对。如果再知道什么条件就能得到结论了？
学生讨论后回答。
生：因为∠1+∠2+∠ACB是一个平角，等于180°，如果∠A=∠1，那么就有∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠ACB=180°，这样就证出了结论。
师：对。现在我们看怎样证∠A=∠1？
学生交流讨论。
教师提示：∠A和∠1是什么角？
生：内错角。
师：怎么证两个内错角相等？
生：两直线平行，内错角相等。
师：在题中要证哪两条直线平行？怎么证它们平行？
生：证明CE//BA，因为∠2=∠B，由同位角相等，两直线平行，就可以证出CE//BA了。
师：很好！我们现在来把这个推导过程具体写一下。要注意，我们刚才是分析，可以由结论推条件，但在书写过程中，要先写条件，再写结论，这个顺序要理清。
学生口述，教师板书。
师：现在大家想一想，如果一个三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另外两个角的和会是多少？
生：90°。
师：对。两个角的和是90°，我们可以称它们之间是什么关系？
生：互余。
师：对。由此我们得到三角形内角和定理的第一个推论。
教师板书：
推论1：直角三角形的两锐角互余。
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。
三、边讲边练。
师：三角形内角和定理的证明有多种方法，课本练习中给出了另外两种证法。大家能不能说出第一题的思路？
生：过点A作DE//BC后，由两直线平行，内错角相等来建立两个相等关系，再由平角的定义就可证出了。
师：你们已经理清了思路，现在请大家将书上的证明过程补充完整。
学生完成练习第1题。
师：第二个练习的思路大家清楚吗？
学生交流讨论后回答。
生：过三角形一边上一点作两条平行线，然后根据平行线的性质使△ABC的三个内角与组成平角的三个角分别相等，再由平角的定义证明它们的和是180°。
师：很好！请同学们把证明过程补充完整。
学生补充练习第2题的证明，教师巡视指导，然后集体订正。
四、层层推进，深化理解
教师多媒体出示：
师：在三角形内角和定理的证明中，我们曾经如图中所示那样把△ABC的一边BC延长至点D，得到∠ACD，像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。在上图中，△ABC的外角，也就是∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系？你能给出证明吗？
学生小组交流讨论后回答。
生：∠ACD与∠ACB的和是180°，所以∠ACD=180°-∠ACB；根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=180°-∠C．由等式的性质，得到∠ACD=∠A+∠B。
师：很好！除了这个相等关系，还能得到什么大小关系？
生：∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。
师：很好！在证明中主要应用了三角形内角和定理，我们把这两个结论称为这个定理的两个推论。
教师板书：
推论3：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论4：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
师：像这样，由公理、定理直接得出的真命题叫做推论。推论3可以用来计算角的大小，推论4可以用来比较两个角的大小。
例2：已知：如图所示，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角。
求证：∠1+∠2+∠3=360°。
师：这个问题实质上是三角形外角和定理，即三角形三个外角的和是360°。请大家想一下，怎么证明这个命题？
学生交流讨论后回答，然后集体订正。
证明：∵∠1=∠ABC+∠ACB，
∠2=∠BAC+∠ACB，
∠3=∠BAC+∠ABC，
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。）
∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)。（等式性质）
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，（三角形内角和定理）
∴∠1+∠2+∠3=360°。
五、课堂小结
师：我们今天学习了哪些内容？你有什么收获？
学生发言，教师点评。
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