河南省名校联盟2021-2022学年高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣3，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（﹣∞，1）
2．（5分）命题p：“ x∈（0，），sinx＜tanx”的否定￢p为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（5分）已知θ∈（，2π），cosθ＝，则＝（ ）
A． B． C． D．2
4．（5分）甲、乙两人准备参加驾照科目一的考试，满分为100分，现统计了以往两人10次模拟考试的成绩，如茎叶图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
B．甲成绩的众数大于乙成绩的众数
C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差
D．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数
5．（5分）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．这七块板可拼成许多图形（1600种以上），如图所示，某同学用七巧板拼成了一个“鸽子”形状，若从“鸽子”身上任取一点，则取自“鸽子头部”（图中阴影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的外轮廓是正方形，正视图和侧视图为等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．6π B．8π C．12π D．16π
7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2＝c2截得的弦长为2b，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为S＝4，则判断框内应填入的条件是（ ）
A．k≥15？ B．k＜15？ C．k≥16？ D．k≥32？
9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，PA＝，E为PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知3a＝2b＝log2c＝6，则3a，2b，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知函数在区间[，]上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．ω＝3
B．直线为f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）的图象关于点（，0）成中心对称
D．f（x）在[0，]上的最小值为﹣1
12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，过点（2，0）的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|＝7，则△OAB的面积为（ ）
A． B．6 C． D．8
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知实数x，y满足不等式组则z＝2x+y的最大值与最小值之和为 ．
14．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝2，AA1＝3，∠A1AB＝∠A1AD＝θ，若AC1＝5，则cosθ＝ ．
15．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，a1＝1，Sn+Sn﹣1＝（n≥2，n∈N*）．令bn＝，则数列{bn}的前25项和是 ．
16．（5分）在△ABC中，BC＝4，cos（B﹣C）+3cosA＝0，则△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A＝{x|y＝ln（﹣x2+8x+20）}，非空集合B＝{x|1﹣t≤x≤1+t}．若x A是x B的必要条件，求实数t的取值范围．
18．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝4交抛物线C于P，Q两点，且△OPQ为等腰直角三角形．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知点M（3，0），且⊙M与直线l相切．设F为抛物线C的焦点，过点F与⊙M相切的直线l1交抛物线C于A，B两点，求AB的长．
19．（12分）已知钝角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ______，4bsinA＝bcosA+asinB，a＝1，求c的值．
（1）从条件①sinA＝b，②sinC＝sinB中选择一个填到横线上，并解决问题；
（2）以（1）中结论为条件，若D是边AC上一点，且AD＝2DC，求线段BD的长度．
20．（12分）已知数列{an}是各项均为正数的数列，且+ ++n，n∈N*．
（1）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn；
（2）是否存在正整数c，使Tn≤14n﹣2c的解集中n的值有且仅有3个？若存在，请求出c的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）在矩形ABCD中，E是DC的中点，且AB＝2BC，如图1．将△DAE沿AE折起，使，如图2．
（1）求证：平面DAE⊥平面BDE；
（2）求平面DAB与平面DCE所成二面角的正弦值．
22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点P（b，）在椭圆C上，且直线PA与PB关于直线x＝1对称．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△PAB的面积S的最大值．河南省名校联盟2021-2022学年高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣3，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（﹣∞，1）
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：A＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}＝（﹣3，1），B＝{x|log2x＜1}＝（0，2），
则A∩B＝（0，1）．
故选：B．
2．（5分）命题p：“ x∈（0，），sinx＜tanx”的否定￢p为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为．
故选：C．
3．（5分）已知θ∈（，2π），cosθ＝，则＝（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据条件先求得sinθ，tanθ，再利用两角和的正切公式即可求解．
【解答】解：因为θ∈（，2π），cosθ＝，所以sinθ＝﹣＝﹣＝﹣，
则tanθ＝＝﹣，
所以＝＝＝，
故选：A．
4．（5分）甲、乙两人准备参加驾照科目一的考试，满分为100分，现统计了以往两人10次模拟考试的成绩，如茎叶图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
B．甲成绩的众数大于乙成绩的众数
C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差
D．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数
【分析】分别求出甲、乙的中位数、众数、极差、平均数，能求出结果．
【解答】解：对于A，甲的中位数是＝91，
乙的中位数是＝90.5，
∴甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数，故A正确；
对于B，甲的众数是96，乙的众数是94，
∴甲成绩的众数大于乙成绩的众数，故B正确；
对于C，甲的极差是100﹣75＝25，乙的极差是96﹣77＝19，
∴甲成绩的极差大于乙成绩的极差，故C正确；
对于D，甲的平均数为：
＝（75+77+85+88+89+93+96+96+99+100）＝89.8，
乙的平均数为：
＝（77+78+84+86+89+92+94+94+94+96）＝88.4，
∴甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数，故D错误．
故选：D．
5．（5分）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．这七块板可拼成许多图形（1600种以上），如图所示，某同学用七巧板拼成了一个“鸽子”形状，若从“鸽子”身上任取一点，则取自“鸽子头部”（图中阴影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，即可得到结论．
【解答】解：设正方形的边长为2，则阴影部分由2个小等腰直角三角形构成，
则正方形的对角线长为2，则等腰直角三角形的边长为＝，
对应每个小等腰三角形的面积S＝××＝，
则阴影部分的面积为2×＝，
又正方形的面积为4，
∴该点取自图中阴影部分的概率是＝．
故选：C．
6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的外轮廓是正方形，正视图和侧视图为等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．6π B．8π C．12π D．16π
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出四棱锥的外接球的球心，最后求出球的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图：该几何体为底面为边长为2，高为2的四棱锥；
如图所示：
故点O为外接球的球心，
所以外接球的半径R＝，
所以．
故选：C．
7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2＝c2截得的弦长为2b，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】由题意画出图形，利用垂径定理可得a与b的关系，得到双曲线为等轴双曲线，则离心率可求．
【解答】解：如图所示，双曲线的两条渐近线关于x轴对称，
取y＝x与圆相交于点A，B，|AB|＝2b，
圆心（c，0）到直线bx﹣ay＝0的距离d＝＝b．
结合垂径定理可得c2＝b2+b2＝2（c2﹣a2），
即c＝a．
∴双曲线为等轴双曲线，其离心率e＝．
故选：A．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为S＝4，则判断框内应填入的条件是（ ）
A．k≥15？ B．k＜15？ C．k≥16？ D．k≥32？
【分析】结合运行过程，以及对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：由运行过程可知，S＝＝，
所以当k＝16时，就退出循环．
故选：C．
9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，PA＝，E为PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连结AC、BD，交于点O，连结PO，以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与PC所成的角．
【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结PO，
以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为2，E是PA的中点，
∴OA＝OB＝×＝，
OP＝＝2，
∴A（，0，0），P（0，0，2），
E（，0，），B（0，，0），C（﹣，0，0），
＝（，﹣，），＝（﹣，0，﹣2），
设异面直线BE与PC所成的角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴异面直线BE与PC所成角的余弦值为．
故选：B．
10．（5分）已知3a＝2b＝log2c＝6，则3a，2b，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由3a＝2b＝log2c＝6可得a＝1+log32，b＝1+log23，c＝26，再根据指数函数和对数函数的性质即可比较出大小．
【解答】解：∵3a＝2b＝log2c＝6，
∴a＝log36＝1+log32，b＝log26＝1+log23，c＝26，
∵3a＝3+3log32＝3+log38，且1＜log38＜2，
∴4＜3a＜5，
∵2b＝2+2log23＝2+log29，且3＜log29＜4，
∴5＜2b＜6，
∵＝＝23＝8，
∴3a＜2b＜，
故选：B．
11．（5分）已知函数在区间[，]上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．ω＝3
B．直线为f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）的图象关于点（，0）成中心对称
D．f（x）在[0，]上的最小值为﹣1
【分析】先根据函数f（x）在区间[，]上单调递减，求得ω＝2，可得解析式，再由对称中心和对称轴的定义，正弦函数的最值可判断结论．
【解答】解：由≤x≤，得+≤ωx+＜+，
若函数f（x）＝2sin（ωx+）在区间[，]上单调递减，
则，
解得ω的取值范围是≤ω≤，
∵ω∈N*，
ω＝2，故A错误；
∴f（x）＝2sin（2x+），
∴2x+＝+kπ，k∈Z，
∴x＝+，k∈Z，
∴函数f（x）的对称轴为x＝+，k∈Z，故B错误；
∵2x+＝kπ，k∈Z，
∴x＝﹣+，k∈Z，
即函数f（x）的对称中心为（﹣+，0），k∈Z，
当k＝1时，其对称中心为（，0），故C错误；
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[﹣，1]，
∴f（x）∈[﹣1，2]．
故f（x）在[0，]上的最小值为﹣1，故D正确．
故选：D．
12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，过点（2，0）的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|＝7，则△OAB的面积为（ ）
A． B．6 C． D．8
【分析】根据抛物线的定义，先求出A，B两点横坐标的和，联立直线与抛物线方程，求出k的值，再运用两点之间的距离公式，以及点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：不妨设A（x1，y1） （x1＞0，y1＞0 ），B（x2，y2）（x2＞0，y2＜0），x1＞x2，
∵|AF|+|BF|＝7，抛物线C：y2＝4x，
∴由抛物线的定义可得，x1+1+x2+1＝7，即x1+x2＝5，
当过点（2，0）的直线斜率不存在时，
x1＝x2＝2，不满足x1+x2＝5，故舍去，
当过点（2，0）的直线斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣2），
联立直线与抛物线方程，，化简整理可得，k2x2﹣（4k2+4）x+4k2＝0，
Δ＝32k2+16＞0，由韦达定理可得，，解得k2＝4，
∵由题设A（x1，y1） （x1＞0，y1＞0 ），B（x2，y2）（x2＞0，y2＜0），x1＞x2，
∴k＞0，即k＝2，
即可得x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或x＝4，
则A（4，4），B（1，﹣2），
∴，
∵O到直线AB：2x﹣y﹣4＝0的距离d＝，
∴△AOB的面积为．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知实数x，y满足不等式组则z＝2x+y的最大值与最小值之和为 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，A（﹣1，0），
联立，解得B（，），
作出直线y＝﹣2x，由图可知，平移直线y＝﹣2x至A时，z＝2x+y有最小值为﹣2，
至B时，z＝2x+y有最大值为．
∴z＝2x+y的最大值与最小值之和为．
故答案为：．
14．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝2，AA1＝3，∠A1AB＝∠A1AD＝θ，若AC1＝5，则cosθ＝ ．
【分析】由已知直接利用空间向量的加法运算及向量的模求解．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝3，∠A1AB＝∠A1AD＝θ，＝＝4，＝9， ＝0，
＝6cosθ， ＝6cosθ，
所以＝（++）2＝+++2 +2 +2 ＝4+4+9+2×0+2×6cosθ+2×6cosθ＝52，
解得cosθ＝．
故答案为：．
15．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，a1＝1，Sn+Sn﹣1＝（n≥2，n∈N*）．令bn＝，则数列{bn}的前25项和是 ﹣5 ．
【分析】利用n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1得出{Sn2}是等差数列，并求出Sn，从而求得an，然后求出bn，再利用裂项相消法求和．
【解答】解：S1＝a1＝1，
n≥2时，Sn+Sn﹣1＝＝，所以S﹣S＝1，
所以{Sn2}是等差数列，首项为1，公差为1，
又数列{an}的各项均为正数，
因此Sn＞0，所以Sn＝，
an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣，a1也适合，
所以an＝﹣，＝＝，
bn＝＝（﹣1）n（），
所以数列{bn}的前25项的和为S25＝﹣1++1﹣（﹣）+（﹣）﹣ ﹣（+）＝﹣5，
故答案为：﹣5．
16．（5分）在△ABC中，BC＝4，cos（B﹣C）+3cosA＝0，则△ABC面积的最大值为 2 ．
【分析】由条件可得tanBtanC＝，过A作AD⊥BC于D，设△ABC中BC边上的高为h，BD＝x，则CD＝4﹣x，故有h2＝x（4﹣x），结合基本不等式可得h的最大值，从而求得三角形面积的最大值．
【解答】解：因为cos（B﹣C）+3cosA＝0，
所以cos（B﹣C）﹣3cos（B+C）＝0，
所以cosBcosC+sinBsinC﹣3（cosBcosC﹣sinBsinC）＝0，
整理得2sinBsinC＝cosBcosC，
即＝，
故tanBtanC＝，
过A作AD⊥BC于D，
设△ABC中BC边上的高为h，BD＝x，则CD＝4﹣x，
所以tanB＝，tanC＝，
故＝，
即h2＝x（4﹣x），
所以h＝＝×＝，当且仅当x＝4﹣x，即x＝2时等号成立，
所以h的最大值为，
由于S△ABC＝＝2h，
所以当h最大时，三角形面积有最大值，
故三角形面积最大值为2，
故答案为：2．
三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A＝{x|y＝ln（﹣x2+8x+20）}，非空集合B＝{x|1﹣t≤x≤1+t}．若x A是x B的必要条件，求实数t的取值范围．
【分析】求出集合A，由x A是x B的必要条件，得A B，列出不等式组，能求出实数t的取值范围．
【解答】解：集合A＝{x|y＝ln（﹣x2+8x+20）}＝{x|﹣2＜x＜10}，
非空集合B＝{x|1﹣t≤x≤1+t}．
∵x A是x B的必要条件，
∴x B x A，∴x∈A x∈B，∴A B，
∴，解得t＞9．
∴实数t的取值范围是（9，+∞）．
18．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝4交抛物线C于P，Q两点，且△OPQ为等腰直角三角形．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知点M（3，0），且⊙M与直线l相切．设F为抛物线C的焦点，过点F与⊙M相切的直线l1交抛物线C于A，B两点，求AB的长．
【分析】（1）由抛物线的焦点在x轴上，且与直线l：x＝4交抛物线C于P，Q两点，且△OPQ为等腰直角三角形可得P的坐标，再由P的横纵坐标相等可得参数p的值，进而求出抛物线的标准方程；
（2）由题意可得圆M的方程，设直线AB的方程，与圆相切可得参数m的值，进而求出直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出弦长AB的值．
【解答】解：（1）设抛物线的方程为y2＝2px，
直线l：x＝4交抛物线C于P，Q两点，且△OPQ为等腰直角三角形可得 P（4，2），
可得2＝4，解得2p＝4，
所以抛物线的方程为：y2＝4x；
（2）由（1）可得抛物线的焦点F（1，0），
M（3，0），且⊙M与直线l相切，
所以圆M的方程为（x﹣3）2+y2＝1，
显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my+1，
由直线AB与圆M相切，则d＝＝1，可得m＝，
所以直线AB的方程为：x＝y+1，
当直线AB的方程为x＝y+1时，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，整理可得：y2﹣4y﹣4＝0，
所以y1+y2＝4，
所以可得x1+x2＝（y1+y2）+2＝4+2＝14，
所以由抛物线的性质可得弦长|AB|＝x1+x2+p＝14+2＝16；
由抛物线及直线的对称性可得直线AB的方程为x＝﹣y+1时，结论相同，
即AB的长为16．
19．（12分）已知钝角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ______，4bsinA＝bcosA+asinB，a＝1，求c的值．
（1）从条件①sinA＝b，②sinC＝sinB中选择一个填到横线上，并解决问题；
（2）以（1）中结论为条件，若D是边AC上一点，且AD＝2DC，求线段BD的长度．
【分析】（1）利用正弦定理求出A＝，再利用余弦定理求出c＝1或c＝2，最后检验三角形为钝角三角形即可．
（2）利用余弦定理即可求解．
【解答】解：若选条件①sinA＝b，
（1）∵4bsinA＝bcosA+asinB，4sinBsinA＝sinBcosA+sinAsinB，
∴3sinA＝cosA，∴tanA＝，∵A∈（0，π），∴A＝，
∵sinA＝b，∴＝b，∴b＝，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即1＝3+c2﹣2c×，
∴c2﹣3c+2＝0，∴c＝1或c＝2，
当c＝1时，则A＝C＝，B＝为钝角三角形，
当c＝2时，则a2+b2＝c2为直角三角形，
∴c＝1，
（2）∵AD＝2DC，∴AD＝b＝，
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB AD cosA＝1+﹣2×1××＝，
∴BD＝．
若选条件②sinC＝sinB，
（1）∵4bsinA＝bcosA+asinB，4sinBsinA＝sinBcosA+sinAsinB，
∴3sinA＝cosA，∴tanA＝，∵A∈（0，π），∴A＝，
∵sinC＝sinB，∴c＝b，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即1＝b2+b2﹣2×b2×，
∴b2＝3，∵b＞0，∴b＝，∴c＝1，
当c＝1时，则A＝C＝，B＝为钝角三角形，∴c＝1．
（2）∵AD＝2DC，∴AD＝b＝，
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB AD cosA＝1+﹣2×1××＝，
∴BD＝．
20．（12分）已知数列{an}是各项均为正数的数列，且+ ++n，n∈N*．
（1）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn；
（2）是否存在正整数c，使Tn≤14n﹣2c的解集中n的值有且仅有3个？若存在，请求出c的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）n＝1时可得a1＝4，n≥2时可得an＝4n2，即可求出bn＝4n，进而求出前n项和；
（2）题目等价于关于x的不等式x2﹣6x+c≤0的解集中有且仅有3个正整数，利用二次函数的性质可求．
【解答】解：（1）因为+ ++n，n∈N*①，
所以当n＝1时，即a1＝4，
当n≥2时，+ +＝（n﹣1）2+n﹣1②，
①﹣②可得当n≥2时，，即an＝4n2，
当n＝1时，a1＝4满足上式，
故an＝4n2，
所以bn＝＝4n，
所以Tn＝4（1+2+3+…+n）＝4×＝2n2+2n．
（2）由Tn≤14n﹣2c可得n2﹣6n+c≤0，
设f（x）＝x2﹣6x+c，则对称轴为x＝3，开口向上，
则Tn≤14n﹣2c的解集中n的值有且仅有3个等价于关于x的不等式x2﹣6x+c≤0的解集中有且仅有3个正整数，
，即，解得5＜c≤8，
又因为c为正整数，
所以c＝6，7，8．
21．（12分）在矩形ABCD中，E是DC的中点，且AB＝2BC，如图1．将△DAE沿AE折起，使，如图2．
（1）求证：平面DAE⊥平面BDE；
（2）求平面DAB与平面DCE所成二面角的正弦值．
【分析】（1）只要证明平面DAE的直线OD垂直于平面ABE即可；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：取AB中点，连接DF，交AE于O，
在矩形ABCD中，因为E是DC的中点，且AB＝2BC，
所以四边形AFED为正方形，
所以O为AE中点，DO⊥AE，不妨设BC＝2，
则OD＝OA＝，AB＝4，
所以OB＝
＝＝，
因为BD＝BC＝2，所以BD ＝OD +OB ，所以OD⊥OB，
又因为AE∩OB＝O，所以OD⊥平面ABE，
因为OD 平面DAE，所以平面DAE⊥平面BDE．
（2）解：建系如图，O（0，0，0），D（0，0，），A（1，﹣1，0），B（1，3，0），C（﹣1，3，0），E（﹣1，1，0），
＝（0，4，0），＝（﹣1，1，），＝（0，﹣2，0），＝（1，﹣3，），
令＝（，0，1），
因为 ＝0， ＝0，所以是平面DAB的法向量，
＝（，0，﹣1），
＝0， ＝0，所以是平面DCE的法向量，
设平面DAB与平面DCE所成二面角为θ，θ∈（0，]
所以cosθ＝＝＝，sinθ＝＝．
22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点P（b，）在椭圆C上，且直线PA与PB关于直线x＝1对称．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△PAB的面积S的最大值．
【分析】（1）由短轴的值及点P的坐标可得a，b的值，进而求出椭圆的标准方程；
（2）由题意可得直线PA，PB的斜率互为相反数，由斜率之和为0可得直线AB的斜率，求出P到直线AB的距离，及弦长|AB|的表达式，代入面积公式，由函数的单调性求出面积的最大值．
【解答】解：（1）由椭圆的短轴长为2可得2b＝2，所以b＝1，
点P（b，）在椭圆上，即（1，）在椭圆上，
所以+＝1，可得a2＝2，
所以椭圆C的标准方程为：+y2＝1，
（2）由（1）可得 P（1，），
由题意显然直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝kx+t，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为直线PA与PB关于直线x＝1对称，所以直线PA，PB的斜率互为相反数，
kPA＝，kPB＝，
联立，整理可得：（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，
Δ＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，即t2＜1+2k2，
且x1+x2＝，x1x2＝，
kPA+kPB＝0，
即+＝0 +＝0 ＝0，
2k +（t﹣k﹣1） ﹣2（﹣1）＝0，
整理可得：2kt2﹣2k﹣2kt2+2k2t+2kt﹣t﹣2k2t+1+2k2＝0，
即2k2﹣2k+1+2kt﹣t＝0，
即（k﹣1）2+t（k﹣1）＝0，
解得k＝或 t＝﹣k+（不满足Δ＞0），
当k＝时，直线方程为y＝x+t，
则P（1，）到直线的距离d＝，
则x1+x2＝﹣t，x1x2＝t2﹣1，
所以弦长|AB|＝ ＝ ＝ ，
所以S△PAB＝|AB| d＝ ＝，
当t2＝1时，符合Δ＞0，这时面积取到最大值，且S△PAB最大值为．
