江西省五市九校协作体2022届高三上学期1月第一次联考数学（理）试题（Word版含答案）

江西省五市九校协作体2022届高三第一次联考
数学（理科）试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
考试时间为120分钟，满分150分
第I卷（选择题）
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数满足（其中为虚数单位），则下列选项正确的是（ ）
A.
B.复数的共轭复数为
C.复数在复平面表示的点位于第一象限
D.复数的虚部为2
3.双曲线的焦点到渐近线的距离是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4.现对某次大型联考的万份成绩进行分析，该成绩服从正态分布，已知，则成绩高于570的学生人数约为（ ）
A.1200 B.2400 C.3000 D.1500
5.若实数满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.0
6.设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C.2 D.3
7.已知，则成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
8.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想"，“世界数字通史"，“几何原本"，“什么是数学"四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选2门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A.18种 B.36种 C.54种 D.78种
9.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
10.若存在，使得当时，恒有，则称函数具有性质P.下列函数中具有性质的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知点为拋物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A.32 B.48 C.64 D.72
12.已知三棱锥中，平面，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，若，则实数__________.
14.在的展开式中，各项的二项式系数和为256，则展开式中常数项是__________.
15.当时，函数取得最大值，则__________.
16.若是函数的极值点，数列满足，设，记表示不超过的最大整数.设，若不等式对恒成立，则实数的最大值为__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.在中，内角所对的边分别为，已知，__________.
请从下面三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答.
①；②，为虚数单位；③的面积为.
（1）求；
（2）求的值.
18.新高考的数学试卷第1至第8题为单选“题”，第9至第12题为多选“题”，多选“题”A B C D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分，在某次考试中，第10 11 12三题的难度较大，第10题正确选项为BC 第11题正确选项为AD，第12题正确选项为AB，甲 乙两位同学由于考前准备不足，只能对这三道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学三题得分合计为6分的概率；
（2）若乙同学计划每题均随机选取两项，记乙同学的三题得分为，求的分布列及其期望.
19.在中，为的中点，将沿折起，得到如图所示的三棱锥，二面角为直二面角.
（1）求证：平面平面；
（2）设为的中点，，求二面角的正弦值.
20.已知曲线的方程为，过且与轴垂直的直线被曲线截得的线段长为1.
（1）求曲线的标准方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，且存在点（其中不共线），使得被轴平分，试问，直线是否经过定点，若是，求出该定点坐标；否则请说明理由.
21.已知函数
（1）当时，求函数在处切线的方程；
（2）是否存在实数，使得只有唯一的正整数，对于恒有？若存在，求出的取值范围及正整数的值，若不存在，请说明理由？（下表的近似值仅供参考）
（二）选考题：共10分，请考生在第22 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线的参数方程为（为参数，），点，并且直线与曲线交于两点，求.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.
江西省五市九校协作体2022届高三第一次联考理科数学参考答案
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B B B D A C C D C B
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.2022
三 解答题：共70分解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：方案一：选择条件①：
（1）
由，解得或（舍去），
.
方案二：选择条件②：
（1）由，解得或
.
方案三：选择条件③
（1），
又，
由，解得或（舍去），
（2）
18.解：（1）因为甲同学两题得分合计为6分，所以这两道题每道题得2分，所以甲同学两想得分合计为6分的概率为：
（2）乙同学第10题 第11题 第12题每题可能得分为0分和5分：得0分的概率为
乙同学的三道题得分Y的可能取值为0，5，10，15
所以，
所Y的分布列为：
0 5 10 15
因此分
19.（1）证明：
，
二面角为直二面角，
平面平面，又平面平面平面.
（2）以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，
过点B且垂直于平面BCD的直线为z轴，建立如图所示的空间
直角坐标系.
可求得，因为为的中点，
，所以
，
设平面的法向量为，平面的法向量为
，则得取.
取，
，
所以二面角的正弦值为.
20.解：（1）由知，曲线是为焦点，长轴长为的椭圆，
设曲线的标准方程为，因过且与轴垂直的直线被曲线截得为1.
于是有，解得，
所以曲线的标准方程为
（2）令三点不共线，的斜率不为0，可令的方程：，
则由消去得：，
，
被轴平分，即亦即而
有即
当时，，此时1的方程为，其过定点
当时，，亦满足，此时的方程为.
综上所述，直线恒过定点
21.解：（1）当时，函数，则，则故函数在处切线的方程：
（2）函数，
则，
当时.，函数单调递增，
当时，，函数单调递 ，
，
即，
即只有唯的正整数解，
，
设，
，
设，
在上单调递减，在上单调递增，
，
存在使得，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
，
此时.
（二）选考题：共10分请考生在第22 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.解：（1）
且
曲线的普通方程.
（2）把直线的参数方程化为标准式为为参数，，
代入，得到.
所以，
23.解：（1）
若，即或或，
解得不等式的解集为.
（2）不等式的解集包含
所以对任意的恒成立
所以即
也即对任意的恒成立，
只需要对任意的恒成立.
易知，在：上单调递增，在上单调递减
所以
所以.