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专题28.1锐角三角函数
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题， ( http: / / www.21cnjy.com )其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 21世纪教育网版权所有
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 21·cn·jy·com
1．（2020 河池）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019秋 玉环市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，cosA，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．5
3．（2020 普陀区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，那么下列说法中正确的是（ ）
A．cosB B．cotA C．tanA D．cotB
4．（2018秋 枞阳县期末）在△ABC中，∠C＝90°，若cosA，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2018秋 市中区校级期中）已知α为锐角，且tanα，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2020 岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
7．（2019秋 港南区期末）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
8．（2019 崇川区二模）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．msin35° B．mcos35° C． D．
9．（2017 费县模拟）如图，已知直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
10．（2009 黑河）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019 杭州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA，则斜边AB边上的高CD的长为
12．（2018 闵行区 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，如果∠A＝α，AC＝4，那么BD＝ ．（用锐角α的三角比表示）www.21-cn-jy.com
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13．（2020 铁东区三模）如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为 ．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
14．（2017秋 蓝田县期末）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB，AB＝15，则AC的值是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
15．（2019 武侯区模拟）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sinA，则sinB＝ ．
16．（2019 咸宁模拟）如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．21教育网
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17．（2018 云梦县一 ( http: / / www.21cnjy.com )模）如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D，则 ．2-1-c-n-j-y
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18．（2018 即墨区自 ( http: / / www.21cnjy.com )主招生）已知三角函数的变换公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，则下列说法正确的序号是 ．21*cnjy*com
①cos（﹣30°）；
②cos75°；
③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；
④cos2x＝cos2x﹣sin2x．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋 昌平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，BC＝2，求AB的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC．
（1）求sinA的值．
（2）你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．（2018秋 无锡月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A，求BC的长和tan∠B的值．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
22．（2017秋 宝山区期中）如图，△ABC中，AC＝13，BC＝21，tanC，求：边AB的长和∠A的正弦值．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
23．（2020秋 浦东新区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．
（1）求sinB的值；
（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
24．（2020 福州模拟）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．21·世纪*教育网
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求的值；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题28.1锐角三角函数
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 【来源：21·世纪·教育·网】
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 21·世纪*教育网
1．（2020 河池）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【解析】如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB13，
∴sinB．
故选：D．
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2．（2019秋 玉环市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，cosA，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．5
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案．
【解析】如图所示：
∵∠C＝90°，AB＝4，cosA，
∴cosA，
故AC．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．（2020 普陀区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，那么下列说法中正确的是（ ）
A．cosB B．cotA C．tanA D．cotB
【分析】利用同角三角函数的关系解答．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosA
A、cosB＝sinA，故本选项符合题意．
B、cotA2．故本选项不符合题意．
C、tanA．故本选项不符合题意．
D、cotB＝tanA．故本选项不符合题意．
故选：A．
4．（2018秋 枞阳县期末）在△ABC中，∠C＝90°，若cosA，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，
则sinB＝cosA．
故选：A．
5．（2018秋 市中区校级期中）已知α为锐角，且tanα，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据tanα，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，即可推出sinα的值．2·1·c·n·j·y
【解析】设在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，
则sinα，tanα，a2+b2＝c2，
∵tanα知，
∴可设a＝x，则b＝3x，
∴cx．
∴sinα，
故选：D．
6．（2020 岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．
【解析】如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
( http: / / www.21cnjy.com )
则tan∠BAC，
故选：C．
7．（2019秋 港南区期末）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解．21教育网
【解析】当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：
①当AB为斜边，∠C＝90°，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB10．
∴cosA；
②当AC为斜边，∠B＝90°，
由勾股定理得：AB2，
∴cosA；
综上所述，cosA的值等于或．
故选：C．
8．（2019 崇川区二模）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．msin35° B．mcos35° C． D．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
【解析】sin∠A，
∵AB＝m，∠A＝35°，
∴BC＝msin35°，
故选：A．
9．（2017 费县模拟）如图，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【分析】过D作EF⊥l1， ( http: / / www.21cnjy.com )交l1于E，交l4于F，易证△ADE≌△DCF，可得∠α＝∠CDF，DE＝CF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求CD，从而得出sin∠CDF，即可求sinα．【版权所有：21教育】
【解析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，
∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，
∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°，
即EF与l2，l3，l4都垂直，
∴DE＝1，DF＝2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠ADE+∠CDF＝90°，
又∵∠α+∠ADE＝90°，
∴∠α＝∠CDF，
∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90°，
∴△ADE≌△DCF，
∴DE＝CF＝1，
∴在Rt△CDF中，CD，
∴sinα＝sin∠CDF．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com )
10．（2009 黑河）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【分析】求角的三角函数值，可以转化为求直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．www-2-1-cnjy-com
【解析】连接DC．
根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°．
根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D．
∴sinB＝sinD．
故选：A．
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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019 杭州模拟）在Rt ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA，则斜边AB边上的高CD的长为 21教育名师原创作品
【分析】作CD⊥AB于D ( http: / / www.21cnjy.com )，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC，再利用勾股定理计算出AC，然后利用面积法计算CD的长21cnjy.com
【解析】作CD⊥AB于D，如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
在Rt△ACB中，∵sinA，
∴BC4，
∴AC，
∵CD ABAC BC，
∴CD，
即斜边上的高为．
故答案为：．
12．（2018 闵行区一模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，如果∠A＝α，AC＝4，那么BD＝ 4sinαtanα ．（用锐角α的三角比表示）21*cnjy*com
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【分析】首先由已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，得出∠BCD＝∠A＝α，由直角△ACD求得CD，再由直角△BCD求出BD．
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠BCD＝∠A＝α，
∴CD＝AC sinα＝4sinα，
∴BD＝CDtanα＝4sinαtanα．
故答案为：4sinαtanα．
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13．（2020 铁东区三模）如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为 1 ．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．
【解析】如图所示，连接BC，
( http: / / www.21cnjy.com )
则AB＝BC，AC2，
∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故答案为：1．
14．（2017秋 蓝田县期末）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB，AB＝15，则AC的值是 12 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】由sinB得AC＝ABsinB，据此可得．
【解析】在Rt△ABC中，∵sinB，
∴AC＝ABsinB＝1512，
故答案为：12．
15．（2019 武侯区模拟）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sinA，则sinB＝ ．
【分析】根据勾股定理及三角函数的定义进行解答即可．
【解析】Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，即，
设CB＝2x，则AB＝3x，
根据勾股定理可得：ACx．
∴sinB．
故答案为：．
16．（2019 咸宁模拟）如图，P（12 ( http: / / www.21cnjy.com )，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．
【解析】∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝5，OH＝12，
∴tan∠POH，
故答案为：．
17．（2018 云梦县一模）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D，则 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】由tan∠DAB＝2x、AD＝3x，根据∠ACB＝45°知AC＝AB＝2x，得出CD＝x，继而可得答案．
【解析】在Rt△ABD中，∵tan∠D，
∴设AB＝2x，AD＝3x，
∵∠ACB＝45°，
∴AC＝AB＝2x，
则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，
∴，
故答案为：．
18．（2018 即墨区自主招生）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )三角函数的变换公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，则下列说法正确的序号是 ②③④ ．
①cos（﹣30°）；
②cos75°；
③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；
④cos2x＝cos2x﹣sin2x．
【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．
【解析】①cos（﹣30°）＝cos30°，命题错误；
②cos75°＝cos（30° ( http: / / www.21cnjy.com )+45°）＝cos30° cos45°﹣sin30° sin45°，命题正确；
③cos（x﹣y）＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，命题正确；
④cos2x＝cosx cosx﹣sinx sinx＝cos2x﹣sin2x，命题正确；
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋 昌平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，BC＝2，求AB的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据直角三角形的边角关系，求出AC，再根据勾股定理求出AB．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA．
∵BC＝2，
∴，AC＝6．
∵AB2＝AC2+BC2＝40，
∴AB．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC．
（1）求sinA的值．
（2）你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）利用正弦的定义求解；
（2）利用等角的余角相等证明∠A＝∠CBD，从而得到sin∠CBD＝sinA．
【解析】（1）在Rt△ABC中，sinA；
（2）能．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠CBD+∠C＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴sin∠CBD＝sinA．
21．（2018秋 无锡月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A，求BC的长和tan∠B的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】利用锐角三角函数的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义可得，再代入AB的值可得BC的值；再利用勾股定理计算出AC的长，然后再利用正切定义计算即可．
【解析】∵sin∠A，
∴，
∵AB＝15，
∴BC＝9；
∴AC12，
∴tan∠B．
22．（2017秋 宝山区期中）如图，△ABC中，AC＝13，BC＝21，tanC，求：边AB的长和∠A的正弦值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】过B作BF⊥AC于F， ( http: / / www.21cnjy.com )则∠AFB＝∠BFC＝90°，解直角三角形求出BF和CF，求出AF，根据勾股定理求出AB，再解直角三角形求出sinA即可．
【解析】 ( http: / / www.21cnjy.com )
过B作BF⊥AC于F，则∠AFB＝∠BFC＝90°，
在△BFC中，tanC，
设BF＝12k，CF＝5k，由勾股定理得：（12k）2+（5k）2＝212，
解得：k（负数舍去），
即BF，CF，
∵AC＝13，
∴AF＝13，
在△AFB中，由勾股定理得：AB20，
在△AFB中，sinA．
23．（2020秋 浦东新区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．
（1）求sinB的值；
（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB计算即可；21世纪教育网版权所有
（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得，求出EF、DF，再利用勾股定理解决问题．
【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，
∴BD＝DCBC＝9，
∴AB3，
∴sinB；
（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴，
∴EFAD6＝4，BFBD9＝6，
∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，
在Rt△DEF中，DE5．
24．（2020 福州模拟）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．www.21-cn-jy.com
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求的值；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）①想办法证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°即可解决问题．
②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BDDT即可解决问题．
（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT（AAS）可得结论．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】（1）①证明：∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
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∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BDDTAD，
∴．
（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，BE＝AT，
∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，
∴ET＝CT＝AE，
∴BE＝2AE，
∴tan∠ABE
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