河南省信阳市商城县观庙镇高中2021-2022学年高三上学期12月月考数学（理）试题（Word版含答案）

观庙镇高中2021-2022学年高三上学期12月月考
数学试题（理）
2021年12月16日
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列判断错误的有（ ）
①命题“，”的否定是“，”
②命题“若，则”是真命题
③命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题
④若为奇函数，则对定义域内的任意，
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．已如的图像关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ）
A． B．2 C．0 D．
4．在中，，则的面积为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
5．在平面直角坐标系中，向量，若三点能构成三角形，则（ ）
A． B． C． D．
6．我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．．已知函数定义域为，且图象关于对称，在上单调递增，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．函数在区间上是增函数
B．点是函数图象的一个对称中心
C．若，则函数的值域为
D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
10．已知函数，则关于的方程的所有实数根的和为（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列的前项积为，且，则（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
12．已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设，向量，且，则___________.
14．等比数列满足，则的最大值为__________.
15.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是
__________
16．关于函数，有下列命题：
（1）其图像关于轴对称；（2）在上是增函数；
（3）的最大值为，最小值为1；（4）的定义域为；
（5）对于任意都可作为某一三角形的边长，
其中所有正确命题的序号是_____________
三、解答题（共70分）
17（12分.在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长.
18（12分）．已知数列的前n项和为，且，．
（1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式；
19（12分已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.
(2)求函数f(x)的极值.
20.（12分）．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数的一条对称轴为，且.
(1)求A的值；
(2)若，求BC边上的高的最大值.
21.（12分）．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围.
选考题（共10分.请在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分）
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点，曲线与直线交于两点，求的最大值.
23．已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，，求的取值范围
观庙镇高中2021-2022学年高三上学期12月月考
数学试题（理）答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B A B B B A C D B A A
13． 14．6 15 . 16．（1）（3）（5）
17(1) 因为，所以，
由正弦定理可得，
即.
又，所以.
又，所以，所以.
又，所以.
（2）根据余弦定理可知，
所以，即.又的面积为，
所以，解得，
所以，
解得，所以的周长为.
18（1）由，，
∴，整理得：，而，
∴以为首项，1为公差的等差数列，得证.
（2）由（1）得：，①当时，；
②当时，，
综上，时成立，∴，.
19.(1)由f(x)=x-1+,得f ′(x)=1-.
又曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,
所以f ′(1)=0,即1-=0,解得a=e.
(2)f ′(x)=1-,
当a≤0时,f ′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.
当a>0时,令f ′(x)=0,得ex=a,即x=ln a,
当x∈(-∞,ln a)时, f ′(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时, f ′(x)>0,
所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,
在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极大值.
20.（1）解：（1）是的对称轴，，
解得：，
又，，
，，
，，
，
解得：.
（2）设BC边上的高为h,所以有,
则
由余弦定理得：
即得：（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），
，
此时BC边上的高取得最大值.
21.（1），.
当时，，在R上单调递增.
当时，令，得.
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
故当时，的单调递增区间是R；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2），
，，
∵，∴，在上单调递增，
.当，即时，
，在上单调递增，
则，，故.
当，即时，，
，，即或，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
则，
，∴.
令函数，且，
，在上单调递增，
，
∵（），∴.
综上，实数a的取值范围是.
22.（1）即，
故曲线C的直角坐标系方程为；
（2）联立直线与曲线C的方程得：
即设点对应的参数分别为
则
在圆C的内部，故为直线l上位于之间的一个定点
(当且仅当时取等号)
的最大值为．
23.（1）根据题意，当时，．
当时，，解得；
当时，，不成立；
当时，，解得.
综上可知，所求解集为或}．
（2）根据题意，，，
当时，恒成立；
当时，，解得.
综上，，使得时，的取值范围为.