观庙镇高中2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试卷（理科）
选择题（共12小题）.
1.已知命题p:>,命题q: x∈R,ax2+ax+1>0,则p成立是q成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．4
3..已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D. 4.命题“对任意x[1,2],-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是
A.a≥4 B.a>4 C.a≥1 D.a>1
5..等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ）
A. B. 2 C. D. 3
6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，且焦距为4，则双曲线的方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B． C． D．
7.下列命题错误的是
A.存在x∈R，使得2x＋2－x≥2
B.对任意的a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，logab＋logba≥2
C.若正实数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值是9
D.函数f(x)＝sin2x＋的最小值是5
8．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，则（ ）
A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线分别交抛物线于A，B两点，若|AF|＝4，|BF|＝1，则p＝（ ）
A． B．2 C． D．1
11．已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，双曲线C上一点P在x轴上的射影为Q，且|PQ| |F1F2|＝|PF1| |PF2|，则|PF1|+|PF2|＝（ ）
A． B． C．10 D．20
12.已知直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，交椭圆C于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
填空题.
13.若命题“”使是假命题，则实数的取值范围为
14．若、满足条件，当且仅当，时，取最小值，则实数的取值范围是
15．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+1+λ，则a1+λ＝ ．
16．点P为椭圆C上一动点，过点P作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M，N，若∠MPN＝60°，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.设：方程表示椭圆，：对任意实数恒成立，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围.
18在△ABC中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
19．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
20．已知等比数列{an}的公比不为1，且a1＝1，2a3是3a2与a4的等差中项．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．
21．某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销量（即月产量）m万件与月促销费用x万元（x≥0）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是2万件．已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的月利润为y万元．
注：利润＝销售收入﹣生产投入﹣促销费用．
（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？
22．已知椭圆的左、右两个焦点分别是F1，F2，焦距为2，点M在椭圆上且满足MF2⊥F1F2，|MF1|＝3|MF2|．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）点O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，证明为定值，并求出该定值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合M＝{x|0＜x≤3}，，则M∩N＝（ ）
A．（0，1] B．（1，2） C．（0，2] D．（0，1）
解：由，得N＝{x|﹣2≤x＜1}，
∵集合M＝{x|0＜x≤3}，
∴M∩N＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．
故选：D．
2．已知{an}是公差为2的等差数列，a3＝5，则a1＝（ ）
A．10 B．7 C．6 D．1
解：∵{an}是公差为2的等差数列，a3＝5，
∴a1＝a3﹣2d＝1．
故选：D．
3．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．4
解：根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝y，
其中p＝，
则抛物线的焦点到准线的距离p＝，
故选：C．
4．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，且焦距为4，则双曲线的方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B． C． D．
解：由条件知，2c＝4，a2+b2＝4，所以b＝1，，
所以双曲线的方程为．
故选：C．
5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是线段CC1的中点，则＝（ ）
A． B．
C． D．
解：．
故选：B．
6．设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则“l∥α”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由l∥α，得，则“l∥α”是“”的充分条件，
而不一定有l∥α，也可能l α，则“l∥α”不是“”的必要条件．
故“l∥α”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
7．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，则（ ）
A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3
解：因为a+b＝2，所以a＝2﹣b，
所以＝（当且仅当a＝b＝1时等号成立）．
故选：C．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
解：因为c＝2acosA，
由余弦定理可得，将a＝3，b＝5代入整理得，
所以．
故选：D．
9．数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且an+1+2an+an﹣1＝0（n≥2），则{an}的前2020项和为（ ）
A．8080 B．4040 C．﹣4040 D．0
解：由递推关系式可得a1+a2＝﹣（a2+a3），a2+a3＝﹣（a3+a4），
所以a3+a4＝a1+a2＝4，
同理可得a5+a6＝a7+a8＝ ＝a2019+a2020＝4，
所以S2020＝4×1010＝4040．
故选：B．
10．已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，双曲线C上一点P在x轴上的射影为Q，且|PQ| |F1F2|＝|PF1| |PF2|，则|PF1|+|PF2|＝（ ）
A． B． C．10 D．20
解：由题意可得a＝2，，，PQ⊥x轴，
且因为|PQ| |F1F2|＝|PF1| |PF2|，
所以△PF1F2为直角三角形，PF1⊥PF2，
所以，
又因为||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4，
所以，
所以|PF1| |PF2|＝6，
所以．
故选：B．
12．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线分别交抛物线于A，B两点，若|AF|＝4，|BF|＝1，则p＝（ ）
A． B．2 C． D．1
解：由题意可知直线AB的斜率一定存在，设为k，直线方程y＝k（x﹣），
联立消去y可得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以．
又根据抛物线的定，，所以，解得．
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最大值为 0 ．
解：如图所示，约束条件表示的可行域为△ABC内部和边界，
z＝2x﹣3y，可得y＝x﹣z，由题意可知直线y＝x﹣z经过可行域的A点时，
目标函数的截距取得最小值，此时z取得最大值，
由，解得A（3，2）．
当x＝3，y＝2时，z＝2x﹣3y有最大值0．
故答案为：0．
14．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+1+λ，则a1+λ＝ 3 ．
解：根据题意，等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+1+λ，
则a1＝S1＝32+λ＝9+λ，a2＝S2﹣S1＝33﹣32＝18，a3＝S3﹣S2＝34﹣33＝54，
则有（9+λ）×54＝182，解得λ＝﹣3，
则a1＝9+λ＝6，
故a1+λ＝6﹣3＝3，
故答案为：3．
15．点P为椭圆C上一动点，过点P作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M，N，若∠MPN＝60°，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
解：设椭圆的中心为O，因为∠MPN＝60°，所以∠POM＝60°，
所以，所以|OP|＝2b，
椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以a≥2b，即，
所以离心率，
所以．
故答案为：．
16．已知平面四边形ABCD为凸四边形（四个内角均小于180°），且AB＝1，BC＝4，CD＝5，DA＝2，则平面四边形ABCD面积的最大值为 ．
解：在△ABC中，AC2＝12+42﹣2×1×4×cosB＝17﹣8cosB，
在△ADC中，AC2＝52+22﹣2×5×2×cosD＝29﹣20cosD，
由上两式得17﹣8cosB＝29﹣20cosD 5cosD﹣2cosB①．
又平面四边形ABCD的面积②．
①②平方相加得S2+9＝4+25+20（sinBsinD﹣cosBcosD），
化简即S2＝20﹣20cos（B+D），当B+D＝π时，S2取得最大值40，
即平面四边形ABCD面积的最大值为.
故答案为：
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．设命题p：方程表示双曲线；命题q：不等式对0＜x≤1恒成立．
（Ⅰ）若命题p∨q为真，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）当命题p为真时，由题意（a﹣3）（a+7）＜0，解得﹣7＜a＜3．
当命题q为真时，由题意可得，由此可得a＜1．
若命题p∨q为真命题，则﹣7＜a＜3或a＜1，
即a∈（﹣∞，3）．
（Ⅱ）命题p∨q为真，命题p∧q为假，则p，q一真一假．
若p真q假时，，∴1≤a＜3，
若p假q真时，，∴a≤﹣7，
综上，a∈（﹣∞，﹣7]∪[1，3）．
18．已知等比数列{an}的公比不为1，且a1＝1，2a3是3a2与a4的等差中项．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，
由条件知4a3＝3a2+a4，即，
整理可得q2﹣4q+3＝0，解得q＝3（q＝1舍去），
所以．
（Ⅱ），
所以＝．
19．如图所示，在多面体BC﹣ADE中，△ADE为正三角形，平面ABCD⊥平面ADE，且BC∥AD，∠BAD＝60°，∠CDA＝30°，AB＝BC＝2．
（Ⅰ）求证：AD⊥CE；
（Ⅱ）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，过B作BF⊥AD于F，过C作CG⊥AD于G，连接GE．
可得BF∥CG，又因为BC∥AD，
在Rt△ABF中，因为∠BAD＝60°，AB＝2，所以AF＝1，，
所以，FG＝BC＝2，
在Rt△CDG中，∠CDG＝30°，．
所以AG＝GD，
因为△ADE为正三角形，所以GE⊥AD，
因为CG∩EG＝G，DG 平面CGE，EG 平面CGE，所以AD⊥平面CGE，
CE 平面CGE，所以AD⊥CE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知GE，GD，GC两两互相垂直，
以G为坐标原点，GE，GD，GC所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，如图所示．
则，，D（0，3，0），，
所以，，，
设平面BCE的法向量为，
所以，
取x＝1，可得，
所以，
所以直线CD与平面BCE所成角的正弦值为．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcos＝asinB．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若D在边BC上，AD是∠BAC的角平分线，AD＝，求△ABC面积的最小值．
解：（Ⅰ）由正弦定理及条件得，
因为B∈（0，π），sinB≠0，
所以，
又A∈（0，π），，
所以，
从而．
（Ⅱ）因为△ABC的面积等于△ABD和△ACD的面积之和，
得，
又因为，，
所以3bc＝2（b+c），
所以，得（当且仅当时等号成立）
所以△ABC的面积．
所以△ABC面积的最小值为．
21．某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销量（即月产量）m万件与月促销费用x万元（x≥0）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是2万件．已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的月利润为y万元．
注：利润＝销售收入﹣生产投入﹣促销费用．
（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？
解：（Ⅰ）由题意知当x＝0时，m＝2，
则，解得k＝16，
所以，
而利润，
又因为，
所以，x∈[0，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y＝11.6﹣，
所以，
因为x≥0时，x+2≥2，
又因为，当且仅当＝x+2，即x＝2时等号成立，
所以y≤13.6﹣8＝5.6，
故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5.6万元．
22．已知椭圆的左、右两个焦点分别是F1，F2，焦距为2，点M在椭圆上且满足MF2⊥F1F2，|MF1|＝3|MF2|．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）点O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，证明为定值，并求出该定值．
解：（Ⅰ）依题意|F1F2|＝2c＝2，所以c＝1．
由|MF1|＝3|MF2|，|MF1|+|MF2|＝2a，得，，
于是，
所以，
所以b2＝a2﹣c2＝1，
因此椭圆C的方程为．
（Ⅱ）证明：当直线l的斜率存在时，设直线AB：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
由题意，△＞0，则，
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2＝0，
即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0，
整理得3m2＝2（1+k2）．
而，
设h为原点到直线l的距离，则|OA||OB|＝|AB| h，
所以，
而，所以．
当直线l的斜率不存在时，设A（x1，y1），则有kOA＝±1，不妨设kOA＝1，则x1＝y1，
代入椭圆方程得，所以，
所以．
综上．观庙镇高中2021-2022学年高二上学期12月月考
数学试卷（理科答案）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B B B C B C D C B A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【答案】[-2,2]
【解析】因为命题“，使”是假命题，所以命题“，使”是真命题，即，从而实数的取值范围是.
14.【答案】：(-1,)
【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，解得，即点，
由题意可知，当直线过点时，直线在轴上截距最大，
直线的斜率为，直线的斜率为，
而直线的斜率为，所以，.
15【答案】3
【解析】根据题意，等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+1+λ，
则a1＝S1＝32+λ＝9+λ，a2＝S2﹣S1＝33﹣32＝18，a3＝S3﹣S2＝34﹣33＝54，
则有（9+λ）×54＝182，解得λ＝﹣3，
则a1＝9+λ＝6，
故a1+λ＝6﹣3＝3，
故答案为：3．
16【答案】
【解析】设椭圆的中心为O，因为∠MPN＝60°，所以∠POM＝60°，
所以，所以|OP|＝2b，
椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以a≥2b，即，
所以离心率，
所以
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解答案】
【解析】
【详解】若方程表示椭圆，则 且
∴真则且
若对任意实数恒成立
当时，恒成立
当时，则
∴真则
∵是真命题，是假命题∴、一真一假
若真假，则
若假真，则 或
故实数的取值范围为
18． 解：（1）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）由余弦定理可知，代入可得
，
当且仅当时取等号，
∴，又，
∴的取值范围是．
19.（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）解；由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
，
即焦点到渐近线的距离为.
20.解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，
由条件知4a3＝3a2+a4，即，
整理可得q2﹣4q+3＝0，解得q＝3（q＝1舍去），
所以．
（Ⅱ），
所以＝．
21.解：（Ⅰ）由题意知当x＝0时，m＝2，
则，解得k＝16，
所以，
而利润，
又因为，
所以，x∈[0，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y＝11.6﹣，
所以，
因为x≥0时，x+2≥2，
又因为，当且仅当＝x+2，即x＝2时等号成立，
所以y≤13.6﹣8＝5.6，
故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5.6万元．
22.解：（Ⅰ）依题意|F1F2|＝2c＝2，所以c＝1．
由|MF1|＝3|MF2|，|MF1|+|MF2|＝2a，得，，
于是，
所以，
所以b2＝a2﹣c2＝1，
因此椭圆C的方程为．
（Ⅱ）证明：当直线l的斜率存在时，设直线AB：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
由题意，△＞0，则，
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2＝0，
即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0，
整理得3m2＝2（1+k2）．
而，
设h为原点到直线l的距离，则|OA||OB|＝|AB| h，
所以，
而，所以．
当直线l的斜率不存在时，设A（x1，y1），则有kOA＝±1，不妨设kOA＝1，则x1＝y1，
代入椭圆方程得，所以，
所以．
综上．
