2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算课件(23张ppt)

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名称 2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算课件(23张ppt)
格式 ppt
文件大小 1.7MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-01-11 06:23:36

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文档简介

(共23张PPT)
1.1.2 空间向量的 数量积运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的数量积. 1.数学抽象:空间向量的夹角及数量积的定义.
2.能运用向量的数量积判断两向量的垂直及平行. 2.数学运算、逻辑推理:空间向量数量积的性质及运算律.
知识点一 空间向量的夹角
什么是平面向量的夹角?你能类比平面向量,给出空间向量夹角的概念吗?
平面向量的夹角
两个非零向量a,b,在平面内任取一点O,做 OA=a ,
OB=b ,则∠AOB叫做向量
a,b的夹角,记作〈a,b〉,规定0 ≤〈a,b〉≤ π.
.
O
α
A
B
a
b
如果〈a,b〉= ,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b .
π
2
空间向量的夹角
a
b
.
O
A
B
两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,做 OA=a ,
OB=b ,则∠AOB叫做向量
a,b的夹角,记作〈a,b〉,规定0 ≤〈a,b〉≤ π.
如果〈a,b〉= ,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b .
π
2
平面向量的数量积是什么?你能类比平面向量,给出空间向量数量积的运算吗?
知识点二 空间向量的数量积
(1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b=_______,λ∈R
交换律 a·b=____
分配律 (a+b)·c=_________
λ(a·b)
b·a
a·c+b·c
(3). 空间向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质 ①若a,b是非零向量,则a⊥b _______
②若a与b同向,则a·b=______;若反向,则a·b=________.
③特别地,a·a=____
④若〈a,b〉为a,b的夹角,则cos〈a,b〉=_______
⑤|a·b|≤|a|·|b|
a·b=0
|a|·|b|
-|a|·|b|
|a|2
知识点三 投影向量及直线与平面所成的角
1.投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先将向量a与向量b平移到同一平面α内,如图①向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
α
a
b
a
c
a
(2)向量a在直线l上的投影
如图②向量c称为向量a在直线l上的投影.
α
a
a
c
l
(3)向量a在平面β上的投影
如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A′,B′,则向量A′B′(a′)称为向量a在平面β上的投影向量.
β
a
a
A
B
A′
B′
a′
2.直线与平面所成的角
β
A
a
B
a
A′
B′
a′
如图向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
2. 如图所示,直线l⊥平面α,若m,n α且向量i,j,k分别是直线l,m,n的方向向量,则i·j=________,i·k=________.
l
j
k
i
α
m
n
0
0
探究点1 空间向量数量积的运算
例1.如图所示,在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:
A
B
C
D
E
F
=cos 60°-cos 60°=0.
A
B
C
D
E
F
计算空间向量数量积的2种方法
(1)利用定义:利用a·b=|a||b|cos 〈a,b〉并结合运算律进行计算.
(2)利用图形:计算两个向量的数量积时,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. 
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1 的边长为1,求:
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
=0.
探究点2 利用空间向量的数量积求夹角
A
B
C
D
A
B
C
D
不一定.α=β或α+β=π.
2.如何利用数量积求直线的夹角或夹角的余弦值?
E
A1
A
B
C
B1
C1
因为A1A⊥平面ABC,所以A1A⊥AB,A1A⊥AC.
又BC=2AE=2,所以E为BC的中点,
即异面直线AE,A1C所成的角是60°.
利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
取向量
根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量
求余弦
角转化
把异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
利用数量积求余弦值或角的大小
异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量的
夹角求余弦值应加上绝对值
定结果
如图,在正方ABCD A1B1C1D1中,
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
探究点3 利用向量的数量积判断或证明垂直问题
例3:如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
G
( )
又因为OG∩BD=O,OG 平面GBD,BD 平面GBD,
所以A1O⊥平面GBD.
已知在空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,
求证:OG⊥BC.
A
B
C
O
M
N
G
利用向量数量积判断或证明线线、线面垂直的思路
(1)由数量积的性质a⊥b a·b=0(a,b≠0)可知,要证两直线垂直,可分别构造与两直线平行的向量,只要证明这两个向量的数量积为0即可.
(2)用向量法证明线面垂直,离不开线面垂直的判定定理,需将线面垂直转化为线线垂直,然后利用向量数量积证明线线垂直即可. 
探究点4 利用向量的数量积求两点间的距离
例4:正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,求EF的长.
A1
A
B
C
B1
C1
F
E

1
4
如图,在三棱锥A BCD中,底面边长与侧棱长均为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM, 求MN的长.
A
B
C
D
M
N