2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.3.2空间向量运算的坐标表示课件（17张ppt）

(共17张PPT)
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示． 1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)
2.掌握空间向量的数量积的坐标表示．
在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为 .
若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分别是多少吗？
一　空间向量的坐标运算
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a＋b=a1 i +a2 j +a3 k+b1 i +b2 j +b3 k
=（a1+b1）i +（a2+b2）j +（a3 +b3）k
=(a1+b1,a2+b2,a3 +b3)
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
λa＝(λa1，λa2，λa3)
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
加法
减法
数乘
数量积
1.空间向量运算法则
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) , 则AB=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
二　空间向量的相关结论
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a∥b, a＝λb(b≠0), a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b, a·b＝0 , a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
1．空间向量的平行、垂直及模和夹角
模
夹角
2.空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．
(1)P1P2＝(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
题型一
空间向量的坐标运算
例1 (1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________；
(2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，则cos〈a，b〉＝________．
(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，
b＝(0，2，－1)，
a·b＝0－2－1＝－3，
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；
(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．　　
1．已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且AB＝2a，则点B的坐标为 (　　)
A．(－7，10，24)　 B．(7，－10，－24)
C．(－6，8，24) D．(－5，6，24)
2．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________．
a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3)．∴(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.
题型二
利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题
例2如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ ，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF.
B
A
C
D
E
F
M
(1)如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，
x
y
z
N
∴NE＝AM.又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE，∴AM∥平面BDE.
∴AM⊥DF，即AM⊥DF.
同理，AM⊥BF，即AM⊥BF.又DF∩BF＝F，且DF 平面BDF，
BF 平面BDF，∴AM⊥平面BDF.
c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
判断空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行．
(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．
(2)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的数量积是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)
题型三
向量夹角与长度的计算
例3如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面
，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝2.
(1)求M，N两点之间的距离；
(2)求直线PA与MN所成的角．
B
A
C
D
P
M
N
　(1)以A为原点，建立空间直角坐标系，如图所示．则A(0，0，0)，B(0，2，0)，D(－2，0，0)，C(－2，2，0)，P(0，0，2)，
所以M(0，1，0)，N(－1，1，1)，
x
y
z
直线PA与MN所成的角为45°.
如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
A
B
C
A1
B1
C1
N
x
y
z
建立如图所示的空间直角坐标
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
BA1＝(1，－1，2)，CB1＝(0，1，2)，∴BA1·CB1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
∴cos〈BA1，CB1〉＝
BA1·CB1
BA1
CB1
·
1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．　　　　
1．(2021·河南安阳高二检测)已知a＝(2，3，－1)，b＝(－2，1，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．
a·b＝(2，3，－1)·(－2，1，3)＝－4＋3－3＝－4，
所以平行四边形的面积为S＝|a||b|sin 〈a，b〉
2．已知空间直角坐标系中点P(1，2，3)，现在z轴上取一点Q，使得|PQ|最小，则Q点的坐标为(　　)
A．(0，0，1) B．(0，0，2)
C．(0，0，3) D．(0，1，0)