2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1第一课时空间中点、直线和平面的向量表示课件（17张ppt）

(共17张PPT)
1.4.1第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量语言描述直线和平面．
2.理解直线的方向向量与平面的法向量．
3．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．
1．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念．(数学抽象)
2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．(直观想象)
3．会用待定系数法求平面的法向量．(数学运算)
4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)
我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决几何问题的关键.
我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量向量表示空间中的点、直线和平面.
我们怎么用向量把空间中的一个点表示出来？
O
P
1.点的位置向量
2．空间直线的向量表示式
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么
空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取AB＝a，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta＝OA＋tAB．
l
A
B
P
O
a
a
l
A
B
P
结论：空间任意直线由直线上一点和直线的方向向量唯一确定.
3．空间平面的向量表示式
一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
α
P
O
OP=xa+yb
点O与向量a，b不仅可以确定平面α，还可以表示出α内的任意一点，
如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP＝OA＋xAB+yAC．
B
α
A
C
P
O
a
b
上式称为空间平面 ABC 的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
4．平面的法向量
给定空间一点 A 和一条直线 l ，则过点 A 且垂直于直线 l 的平面是唯一确定的. 由此可以利用点 A 和直线 l 的方向向量来确定平面.
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．过空间点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以用集合表示为 ．
{P|a·AP=0}
α
A
P
l
a
1．空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？
能
2．一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？
不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定．
3．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(2，1，1)　　　B．(－2，2，2)
C．(－3，2，1) D．(2，1，－1)
AB＝(－1，1，1)，而与AB共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，
4．已知A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，则平面ABC的一个法向量为 (　　)
A．(0，1，－1) B．(－1，0，1)
C．(1，1，1) D．(－1，0，0)
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由AB＝(－1，0，0)，AC＝(1，－1，－1)，可得
n·AB=0
n·AC=0
取y＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝(0，1，－1)．
题型一
直线的方向向量
(1)AB＝(－1，2－y，z－3)，∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，
故设AB＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.
∴y－z＝0.
(2)在如图所示的坐标系中，ABCD A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________．
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
x
y
z
(O)
(2)∵DD1∥AA1，AA1＝(0，0，1)，
∴直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；
∵BC1∥AD1，AD1＝(0，1，1)，
∴直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)．
设B点坐标为(x，y，z)，则AB＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
题型二
求平面的法向量
例2在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为1，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，求平面GEF的一个法向量．
如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1
所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
x
y
z
E
G
F
n·GE=0
n·FE=0
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)．
由n⊥GE，n⊥FE，得
取y＝1，可得平面GEF的一个法向量为
n＝(1，1，1)．
利用待定系数法求法向量的步骤
n·AB=0
n·AC=0
列出等式
设向量
设平面法向量n=(x,y,z)
列方程组
选向量
在平面内选取两个不共线向量AB,AC
取x,y,z中一个为非零值(常取±1)
赋值
结论
得到平面的一个法向量
如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量．
A
B
C
D
E
F
A1
B1
D1
∵四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD，以A为原点，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴和z轴建立如图空间直角坐标系，
x
y
z
取z1＝1，
则n1＝(－1,1,1)．
A
B
C
D
E
F
A1
B1
D1
x
y
z
题型三
确定空间中点的位置
例3已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以AB的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1. 求点P和点Q的坐标．
x
y
z
l
B
A
P
Q
O
设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，