2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系课件（20张ppt）

(共20张PPT)
1.3.1空间直角坐标系
新课程标准解读 核心素养
1.了解空间直角坐标系 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(直观想象)
2．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(直观想象)
3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(直观想象)
2.会用空间直角坐标系刻画点的位置．
空间向量基本定理
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
|i|＝|j|＝|k|＝1.且i·j＝j·k＝i·k＝0，这是其他一般基底所没有的．
　　如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，
p＝xa＋yb＋zc．
1.空间直角坐标系 (1)定义
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
x
y
z
O
j
i
k
点O叫做原点，向量 都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面， Oyz平面， Oxz平面。它们把空间分成八个部分
x
y
z
O
(2)画法
①画轴 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.
②建系 建立右手直角坐标系.
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
O
x
y
z
2.点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA，且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk.
在单位正交基底{i, j, k} 下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中
x叫做点A的横坐标,
y叫做点A的纵坐标,
z叫做点A的竖坐标.
x
y
z
O
A(x,y,z)
i
j
k
3.向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z).
这样在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
x
y
z
O
i
j
k
A(x,y,z)
1、在空间坐标系Oxyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则AB的坐标为 ，点B的坐标为 。
2、点M（2,-3,-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，
关于x轴的对称点为 ，
关于y轴的对称点为 ，
关于z轴的对称点为 ，
(1,-2,-3)
不确定
（2,-3,0）
（2,0,-4）
（0,-3,-4）
（-2, 3,4）
（2, 3, 4）
（-2,-3,4）
（-2,3,-4）
在坐标平面的正投影，缺哪个轴，则该值为0.
关于哪个轴对称，则该值不变，其余互为相反数.
题型一
求空间点的坐标
例1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．
C
(D)
A1
B1
C1
D1
A
B
如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz．所以D(0,0,0)．
O
x
y
z
同理：C(0,5,0)，D1(0,0,4)．
点B在x轴，y轴，z轴射影分别为A，C，O，它们在坐标轴上的坐标分别为3,5,0，所以点B的坐标为(3,5,0)．
同理得A1(3,0,4)，C1(0,5,4)．
由B1在Oxy平面内的射影为B(3,5,0)，
所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，
因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，
所以B1的竖坐标为4，所以点B1的坐标为(3,5,4)．
C
(D)
A1
B1
C1
D1
A
B
O
x
y
z
如图所示，四棱锥D OABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中点，求点M的坐标．
A
B
C
O
D
M
z
x
y
法一：点M在x轴，y轴，z轴上的射影分别为M1，M2，M3，它们在坐标轴上的坐标分别为2，3，1，所以点M的坐标是(2，3，1)．
如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为________．
B
A
C
D
P
x
y
z
M
O
点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，O，M2，
题型二
求空间向量的坐标
x
y
z
O
A
B
B1
A1
O1
D
( )
用坐标表示空间向量的步骤
观图形
充分观察图形特征
用运算
建坐标系
根据图形特征建立空间直角坐标系
综合利用向量的加减及数乘运算
将所求的向量用已知的基向量表示出来，确定坐标
定结果
A
B
C
D
M
N
因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示．
x
y
z
题型三
空间向量的坐标应用
角度1　对称问题
在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，
在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(－2，1，－4)．
点M为线段PP1的中点，由中点坐标公式，可得P1(6，－3，－12)．
角度2　距离问题
如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，
点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
N
M
如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
x
y
z
由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，因为|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，所以C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，所以M(1,1,2)．