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专题10 切割线定理及其应用
1.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
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2.切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；
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如图PA·PB=PC·PD
3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
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PA·PB=PC·PD
4.相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
【例题1】如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则PA的长为（ ）
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A．2 B．2 C．4 D．2
【答案】B
【解析】根据切割线定理得
∵PA2＝PB PC，
PB＝2，PC＝4，
∴PA＝2．
【例题2】已知直角梯形ABCD的四 ( http: / / www.21cnjy.com )条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为 ．
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【答案】4
【解析】延长CD交⊙O于点G，
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设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，
∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB CF＝CD CG，
∵CB＝CD，
∴BF＝DG，
∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．
一、选择题
1.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D．
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∵PA PB＝PC PD，OC＝3，OP＝5，
∴x 2x＝16，
∴x＝2．
2．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵AE＝AC＝5，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13，
∴BE＝8；
∵BE2＝BD BC，
∴BD＝，
∴CD＝，
∴圆的半径是．
3．如图，Rt△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，则⊙O的直径为（ ）
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A．10 B． C．5 D．12
【答案】A
【解析】连接OD，过O作AC的垂线，设垂足为G，
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∵∠C＝90°，
∴四边形ODCG是矩形，
∵CD是切线，CEA是割线，
∴CD2＝CE CA，
∵CD＝2CE＝4，
∴AC＝8，
∴AE＝6，
∴GE＝3，
∴OD＝CG＝5，
∴⊙O的直径为10．
4．如图，点C、O在线段AB上，且AC＝CO＝OB＝5，过点A作以BC为直径的⊙O切线，D为切点，则AD的长为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．5 B．6 C． D．10
【答案】C
【解析】∵AD是⊙O的切线，ACB是⊙O的割线，
∴AD2＝AC AB，
又AC＝5，AB＝AC+CO+OB＝15，
∴AD2＝5×15＝75，
∴AD＝5．（AD＝﹣5不合题意舍去）．
5．如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB＝2cm，BC＝8cm，则PA的长等于（ ）21cnjy.com
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A．4cm B．16cm C．20cm D．2cm
【答案】D
【解析】∵PB＝2cm，BC＝8cm，
∴PC＝10cm，
∵PA2＝PB PC＝20，
∴PA＝2．
二、填空题
1．如图，PT是⊙O的切线，T为 ( http: / / www.21cnjy.com )切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝ ．www.21-cn-jy.com
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【答案】20
【解析】∵AD BD＝CD DT，
∴TD＝，
∵CD＝2，AD＝3，BD＝4，
∴TD＝6，
∵PT是⊙O的切线，PA是割线，
∴PT2＝PA PB，
∵CT为直径，
∴PT2＝PD2﹣TD2，
∴PA PB＝PD2﹣TD2，
即（PB+7）PB＝（PB+4）2﹣62，
解得PB＝20．
2．如图，AB，AC分别是⊙O的切线和割线，且∠C＝45°，∠BDA＝60°，CD＝，则切线AB的长是 ．21世纪教育网版权所有
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【答案】6
【解析】过点A作AM⊥BD与点M．
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∵AB为圆O的切线
∴∠ABD＝∠C＝45°（弦切角等于所夹弧所对的圆周角）
∵∠BDA＝60°
∴∠BAD＝75°，∠DAM＝30°，∠BAM＝45°
设AB＝x，则AM＝x，在直角△AMD中，AD＝x
由切割线定理得：AB2＝AD AC
x2＝x（x+）
解得：x1＝6，x2＝0（舍去）
故AB＝6．
3.如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A、B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，则⊙O的半径为 ．21教育网
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【答案】4
【解析】延长PO交圆于点D，
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由割线定理知，PA PB＝PC PD＝（PO﹣CO）（PO+CO），
代入数据解得，CO＝4．
4．如图，已知PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，PA＝，PB＝BC，⊙O的半径OC＝5，那么弦BC的弦心距OM＝ ．21·cn·jy·com
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【答案】4
【解析】∵PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，
∴PA2＝PB PC；
设BC＝x，则PB＝x，PC＝2x，
∴2x2＝72，
解得x＝6；
∵OM⊥BC，
在直角△OMC中，
∵OC＝5，CM＝3，
∴OM＝4．
三、解答题
1．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D是劣弧AC的中点，DE⊥AB于H，交⊙O于点E，交AC于点F．2·1·c·n·j·y
（1）图中有哪些必相等的线段？（要求：不要标注其它字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不必写出推理过程．）2-1-c-n-j-y
（2）若过C点作⊙O的切线PC交ED延长线于P点，（请补全图形），求证：PF2＝PD PE；
（3）已知AH＝1，BH＝4，求PC的长．
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【答案】见解析。
【解析】（1）AO＝BO，DH＝EH，DF＝AF，AC＝DE；
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（2）证明：连EC，AE，
则∠PFC是△ECF的一个外角，于是∠PFC＝∠ACE+∠FEC；
∵DH⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴A是DE中点，即弧AD＝弧AE，
∴∠AED＝∠ACE，
∴∠ACE+∠FEC＝∠AED+∠DEC＝∠AEC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA＝∠AEC．
∴∠PCA＝∠PFC，
∴PC＝PF．
∵PC是切线
∴PC2＝PD PE，
∴PF2＝PD PE；
（3）在⊙O中，AH HB＝DH HE＝DH2，
∴
设AF＝x，则FH＝2﹣x．
在Rt△AFH中，AH2+FH2＝AF2
∴1+（2﹣x）2＝x2，
∴x＝，即．
于是．
由（1）（2）知HE＝HD＝2，
，
解得．
∴PF＝PD+DF＝．
∴PC＝PF＝．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若，求BD的长．
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【答案】见解析。
【解析】（1）证明：连接OE，
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∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1＝∠EBC，∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CBE，∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线，
∵⊙O是△BDE的外接圆，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，
根据切割线定理：AE2＝AD×AB，
∵，
∴（）2＝2×（2+BD），
解得：BD＝4．
∴BD的长是：4．
概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
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1.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
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2.切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；
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如图PA·PB=PC·PD
3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
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PA·PB=PC·PD
4.相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
【例题1】如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则PA的长为（ ）
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A．2 B．2 C．4 D．2
【例题2】已知直角梯形ABCD的四条 ( http: / / www.21cnjy.com )边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为 ．
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一、选择题
1.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（ ）21cnjy.com
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3．如图，Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，则⊙O的直径为（ ）
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A．10 B． C．5 D．12
4．如图，点C、O在线段AB上，且AC＝CO＝OB＝5，过点A作以BC为直径的⊙O切线，D为切点，则AD的长为（ ）21教育网
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5．如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB＝2cm，BC＝8cm，则PA的长等于（ ）21·cn·jy·com
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1．如图，PT是⊙O的切线， ( http: / / www.21cnjy.com )T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝ ．www.21-cn-jy.com
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4．如图，已知PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，PA＝，PB＝BC，⊙O的半径OC＝5，那么弦BC的弦心距OM＝ ．21·世纪*教育网
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三、解答题
1．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D是劣弧AC的中点，DE⊥AB于H，交⊙O于点E，交AC于点F．www-2-1-cnjy-com
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（2）若过C点作⊙O的切线PC交ED延长线于P点，（请补全图形），求证：PF2＝PD PE；
（3）已知AH＝1，BH＝4，求PC的长．
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2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若，求BD的长．
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