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专题11 正多边形和圆
一、正多边形和圆
1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。21·cn·jy·com
二、正多边形的对称性
1.正多边形的轴对称性。正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。www.21-cn-jy.com
2.正多边形的中心对称性。边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3.正多边形的画法。先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
三、正多边形的性质
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.
(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.
(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于
四、正多边形的有关计算
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(1)正n边形的中心角怎么计算？
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(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
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(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
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特别重要：圆内接正多边形的辅助线
(1)连半径，得中心角；
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(2)作边心距，构造直角三角形.
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【例题1】(2021贵州贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（ ）21教育网
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A．144° B．130° C．129° D．108°
【例题2】（2021南京）如图，是五边形的外接圆的切线，则______．
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【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )
A． 30° B．35° C．45° D． 60°
【例题4】如图，正六边形ABCDEF的边长为，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？ 21世纪教育网版权所有
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一、选择题
1．（2021江苏连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．3 B．4 C．5 D．6
2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（ ）
A．12mm B．12mm C．6mm D． 6mm
3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
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A．2， B．2，π C． ， D． 2，
4．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
二、填空题
1.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm．【来源：21·世纪·教育·网】
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2．（2020 徐州）如图，A、B、C、 ( http: / / www.21cnjy.com )D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 ．21·世纪*教育网
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3．（2020 南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为 cm2．2-1-c-n-j-y
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4．（2020 成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线FA1B1C1D1E1F1的长度是 ．21*cnjy*com
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5．（2020 贵阳）如图，△ABC是⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 度．21cnjy.com
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6．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．www-2-1-cnjy-com
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7．（2020 连云港）如图，正六边形A1 ( http: / / www.21cnjy.com )A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝ °．
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概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
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专题11 正多边形和圆
一、正多边形和圆
1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。21教育网
二、正多边形的对称性
1.正多边形的轴对称性。正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。21·世纪*教育网
2.正多边形的中心对称性。边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3.正多边形的画法。先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
三、正多边形的性质
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.
(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.
(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于
四、正多边形的有关计算
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(1)正n边形的中心角怎么计算？
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(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
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(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
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特别重要：圆内接正多边形的辅助线
(1)连半径，得中心角；
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(2)作边心距，构造直角三角形.
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【例题1】(2021贵州贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．144° B．130° C．129° D．108°
【答案】A
【解析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．www-2-1-cnjy-com
正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．
【例题2】（2021南京）如图，是五边形的外接圆的切线，则______．
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【答案】
【解析】由切线性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．如图：过圆心连接五边形的各顶点，【来源：21cnj*y.co*m】
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则
．
【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ） 【来源：21·世纪·教育·网】
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A． 30° B．35° C．45° D． 60°
【答案】A
【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．【版权所有：21教育】
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连接OB，AD，BD，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴AD为外接圆的直径，
∠AOB==60°，
∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．
∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．
【例题4】如图，正六边形ABCDEF的边长为，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？ 21*cnjy*com
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【答案】18
【解析】过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
一、选择题
1．（2021江苏连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）【出处：21教育名师】
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A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由正方形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1、CM、N为所求点，
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理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+6为最小，
则A′A＝＝2，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝8．
2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（ ）
A．12mm B．12mm C．6mm D． 6mm
【答案】A
【解析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．
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已知圆内接半径r为12mm，
则OB=12，
∴BD=OB sin30°=12×=6，
则BC=2×6=12，
可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．
3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
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A．2， B．2，π C． ， D． 2，
【答案】D
【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．连接OB， 21·cn·jy·com
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∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，故选D．
4．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
正六边形的面积为：，
六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，
所以阴影部分的面积为：．
二、填空题
1.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm．www.21-cn-jy.com
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【答案】50．
【解析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．21教育名师原创作品
如图，设圆心为O， 连接AO，CO
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∵直线l是它的对称轴，
∴CM=30，AN=40，
∵CM2+OM2=AN2+ON2，
∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，
解得：OM=40，
∴OC==50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．
2．（2020 徐州）如图，A、B、C、D ( http: / / www.21cnjy.com )为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 ．
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【答案】10．
【解析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．
连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数10
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3．（2020 南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为 cm2．
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【答案】2．
【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．
连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T
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∵ABCDEF是正六边形，
∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，
∴S△PEF＝S△BEF，
∵AT⊥BE，AB＝AF，
∴BT＝FT，∠BAT＝∠FAT＝60°，
∴BT＝FT＝AB sin60°，
∴BF＝2BT＝2，
∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，
∴∠BFE＝90°，
∴S△PEF＝S△BEF EF BF22
4．（2020 成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线FA1B1C1D1E1F1的长度是 ．21世纪教育网版权所有
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【答案】7π．
【解析】利用弧长公式计算即可解决问题．
的长，
的长，
的长，
的长，
的长，
的长，
∴曲线FA1B1C1D1E1F1的长度7π，
5．（2020 贵阳）如图，△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 度．2-1-c-n-j-y
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【答案】120．
【分析】连接OA，OB，根据已知条 ( http: / / www.21cnjy.com )件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．
【解析】连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°
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6．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．21cnjy.com
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【答案】6
【解析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．
∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，
设正六边形的边长为r，∴，
解得r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：
7．（2020 连云港）如图，正六边形A ( http: / / www.21cnjy.com )1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝ °．
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【答案】48．
【分析】延长A1A2交A4A3的延长线 ( http: / / www.21cnjy.com )于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60°，则∠C＝60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，则∠EDC＝72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．21*cnjy*com
【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：
∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4120°，
∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B2B3B4108°，
∵A3A4∥B3B4，
∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，
∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，
∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°
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