中小学教育资源及组卷应用平台
专题12 弧长和扇形面积
1.与弧长相关的计算
扇形的弧长l=；
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
2.与扇形面积相关的计算
（1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）扇形的面积S==．扇形的面积与圆心角、半径有关.
3.弓形的面积公式
( http: / / www.21cnjy.com )
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
【例题1】（2021甘肃威武定西平凉）如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 dm2．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com )
【例题2】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
【例题3】如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
【例题4】如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
一、选择题
1．（2021贵州毕节）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．8πm B．4πm C．πm D．πm
2．（2021成都）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4π B．6π C．8π D．12π
3．如图，⊙O的直径AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣ D．
4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C．+ D．
5．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
6．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
二、填空题
1．（2021湖北荆门）如图，正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2021湖北宜昌）“莱洛三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 平方厘米．（圆周率用π表示）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
3．（2021湖南怀化）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
4．（2021四川凉山）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．www-2-1-cnjy-com
5．（2020 武威）若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为 cm（结果保留π）．【来源：21cnj*y.co*m】
6．（2021哈尔滨）一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是 cm．
7．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，扇形AEF的半径为2，圆心角为60°，则阴影部分的面【出处：21教育名师】
积是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
8．如图，四边形是正方形，曲线是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为；的圆心为点B，半径为；的圆心为点C，半径为；的圆心为点D，半径为；…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形的边长为1，则的长是_________．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题
1．(2021贵州贵阳)如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
2.一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r= ( http: / / www.21cnjy.com )10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14）？
( http: / / www.21cnjy.com )
概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题12 弧长和扇形面积
1.与弧长相关的计算
扇形的弧长l=；
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
2.与扇形面积相关的计算
（1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）扇形的面积S==．扇形的面积与圆心角、半径有关.
3.弓形的面积公式
( http: / / www.21cnjy.com )
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
【例题1】（2021甘肃威武定西平凉）如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 dm2．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】2π．
【解析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．21cnjy.com
连接AC,
( http: / / www.21cnjy.com )
∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，
∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2＝22，
∴AB＝BC＝2dm，
∴阴影部分的面积是＝2π（dm2）．
【例题2】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】管道的展直长度为2970mm．
【解析】由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
【例题3】如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】见解析．
【解析】∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
( http: / / www.21cnjy.com )
扇形的周长为
( http: / / www.21cnjy.com )
【例题4】如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】见解析．
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
一、选择题
1．（2021贵州毕节）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．8πm B．4πm C．πm D．πm
【答案】C
【解析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．
∵OC＝12m，AC＝4m，
∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），
∵∠AOB＝120°，
∴弯道外边缘的长为：＝（m）．
2．（2021成都）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4π B．6π C．8π D．12π
【答案】D
【解析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
∵正六边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，
∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，
∵正六边形的边长为6，
∴S阴影＝＝12π．
3．如图，⊙O的直径AB＝2，C是 ( http: / / www.21cnjy.com )弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣ D．
【答案】A
【解析】∵⊙O的直径AB＝2，
∴∠C＝90°，
∵C是弧AB的中点，
∴，
∴AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠EAB＝∠EBA＝22.5°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAC+∠CBA）＝135°，
连接EO，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠EAB＝∠EBA，
∴EA＝EB，
∵OA＝OB，
∴EO⊥AB，
∴EO为Rt△ABC内切圆半径，
∴S△ABC＝（AB+AC+BC） EO＝AC BC，∴EO＝﹣1，
∴AE2＝AO2+EO2＝12+（﹣1）2＝4﹣2，
∴扇形EAB的面积＝＝（2﹣），△ABE的面积＝AB EO＝﹣1，
∴弓形AB的面积＝扇形EAB的面积﹣△ABE的面积＝，
∴阴影部分的面积＝⊙O的面积﹣弓形AB的面积＝﹣（﹣）＝﹣4．
4．如图，在扇形AOB中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C．+ D．
【答案】C
【解析】连接OE、AE，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE＝＝π，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
＝﹣﹣（π﹣×1×）
＝π﹣π+
＝+．
5．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
【答案】A
【解析】连接OC，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，＝，
∴∠COD＝45°，
∴OD＝CD，
∴OC＝＝4，
∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△ODC的面积
＝﹣×（2）2＝2π﹣4．
6．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先证明是等边三角形，求解，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．
如图，连接， 是等边三角形，
( http: / / www.21cnjy.com )
所以则图中摆盘的面积
．
二、填空题
1．（2021湖北荆门）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】2﹣．
【解析】连接PB、PC，作PF⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC于F，根据等边三角形的性质得到∠PBC＝60°，解直角三角形求出BF、PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB cos60°＝PB＝1，PF＝PB sin60°＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案为：2﹣．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2021湖北宜昌）“莱洛 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 平方厘米．（圆周率用π表示）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（2π﹣2）．
【解析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【来源：21cnj*y.co*m】
过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，
∴△ABC的面积为BC AD＝（厘米2），
S扇形BAC＝＝π（厘米2），
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2.
( http: / / www.21cnjy.com )
3．（2021湖南怀化）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】π﹣．
【解析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．【版权所有：21教育】
∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣．
( http: / / www.21cnjy.com )
4．（2021四川凉山）如图，将△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】。
【解析】根据图形可以得出AB扫 ( http: / / www.21cnjy.com )过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC＝S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′求出其值即可．21教育名师原创作品
解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝120°．
∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积＝﹣＝。
5．（2020 武威）若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为 cm（结果保留π）．21*cnjy*com
【答案】．
【解析】首先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积lR，即可得出弧长．
设扇形的半径为R，弧长为l，
根据扇形面积公式得；，
解得：R＝1，
∵扇形的面积lR，
解得：lπ．
6．（2021哈尔滨）一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是 cm．
【答案】10．
【分析】根据弧长计算公式列方程求解即可．
【解答】解：设扇形的半径为rcm，由题意得，
＝8π，
解得r＝10（cm）．
7．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，扇形AEF的半径为2，圆心角为60°，则阴影部分的面
积是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】﹣．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，
∴∠BCD＝∠DAB＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，
∴△ABC、△ADC都是等边三角形，∴AC＝AD＝2，
∵AB＝2，
∴△ADC的高为，AC＝2，
∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，
∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，
∴∠3＝∠4，
设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G，
在△ADH和△ACG中，
，
∴△ADH≌△ACG（ASA），
∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形AEF﹣S△ACD＝﹣×2×＝﹣.
( http: / / www.21cnjy.com )
8．如图，四边形是正方形，曲线是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为；的圆心为点B，半径为；的圆心为点C，半径为；的圆心为点D，半径为；…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形的边长为1，则的长是_________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．
曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到，，再计算弧长．
由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，
，，……，
，，
故的半径为，
的弧长=．故答案为：．
三、解答题
1．(2021贵州贵阳)如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】见解析。
【解析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根据题意得到＝，进一步得到＝；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
( http: / / www.21cnjy.com )
2.一滑轮起重机装置（如图）， ( http: / / www.21cnjy.com )滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14）？
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】约为90°.
【解析】设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°.
解得 n≈90°
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
