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专题13 圆锥的侧面积和全面积
1.圆锥及相关概念
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（1）圆锥的母线：:我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． 21世纪教育网版权所有
（2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：r2+h2=l 221cnjy.com
2.圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是扇形。
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（1） 其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
（2）侧面展开图扇形的弧长=底面周长
（3）圆锥的侧面积计算公式(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
（4）圆锥的全面积计算公式
总结：圆锥与侧面展开图问题
1.圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2.若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
3.圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．21·cn·jy·com
4.在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
【例题1】（2021广西贵港）如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 （结果保留π）．21教育网
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【例题2】（2020 无锡）已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为＝ cm2．【来源：21·世纪·教育·网】
【例题3】一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.www.21-cn-jy.com
一、选择题
1．（2020 常德）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．100π B．200π C．100π D．200π
2．（2020 聊城）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．m B．m C．m D．m
二、填空题
1．（2021湖南永州）某同学在 ( http: / / www.21cnjy.com )数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．21·世纪*教育网
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2. （2021广西来宾）如图，从一块边长为2，的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上阴影部分，且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是______ ．www-2-1-cnjy-com
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3．（2021贵州黔东南）如图，要用一个 ( http: / / www.21cnjy.com )扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是 度．2-1-c-n-j-y
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4. （2021齐齐哈尔）一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．21*cnjy*com
5．（2020 绥化）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 度．【来源：21cnj*y.co*m】
6．（2020 连云港）用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 cm．【出处：21教育名师】
7．（2020 徐州）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．
8．（2020 德州）若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 度．【版权所有：21教育】
9．（2020 广东）如图，从一块半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m．
三、解答题
1.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组 ( http: / / www.21cnjy.com )成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？
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概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
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专题13 圆锥的侧面积和全面积
1.圆锥及相关概念
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（1）圆锥的母线：:我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． 21世纪教育网版权所有
（2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：r2+h2=l 221教育网
2.圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是扇形。
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（1） 其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
（2）侧面展开图扇形的弧长=底面周长
（3）圆锥的侧面积计算公式(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
（4）圆锥的全面积计算公式
总结：圆锥与侧面展开图问题
1.圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2.若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
3.圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．21cnjy.com
4.在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
【例题1】（2021广西贵港）如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 （结果保留π）．21·cn·jy·com
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【答案】6π．
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据题意得：2πr＝，解得：l＝3r，然后根据高为4，利用勾股定理得r2+42＝（3r）2，从而求得底面半径和母线长，利用侧面积公式求得答案即可．www.21-cn-jy.com
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
根据题意得：2πr＝，
解得：l＝3r，
∵高为4，
∴r2+42＝（3r）2，
解得：r＝，
∴母线长为3，
∴圆锥的侧面积为πrl＝π××3＝6π．
【例题2】（2020 无锡）已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为＝ cm2．2·1·c·n·j·y
【答案】2π．
【解析】先利用勾股定理求出圆锥的母线l的长，再利用圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl计算即可．
根据题意可知，圆锥的底面半径r＝1cm，高hcm，
∴圆锥的母线l2，
∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．
【例题3】一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】10．30
【解析】设该圆锥的底面的半径为r，母线长为a.
可得r=10
可得a=30
一、选择题
1．（2020 常德）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．100π B．200π C．100π D．200π
【答案】C
【解析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
这个圆锥的母线长10，
这个圆锥的侧面积2π×10×10100π．
2．（2020 聊城）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．m B．m C．m D．m
【答案】C
【解析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．
设底面半径为rm，则2πr，
解得：r，
所以其高为：m，
二、填空题
1．（2021湖南永州）某同学在数学实践活动 ( http: / / www.21cnjy.com )中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．21*cnjy*com
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【答案】10
【解析】设此圆锥的母线长为l，利用扇形的面积公式得到×2π×6×l＝60π，然后解方程即可．
设此圆锥的母线长为l，
根据题意得×2π×6×l＝60π，解得l＝10，
所以此圆锥的母线长为10．
2. （2021广西来宾）如图，从一块边长为2，的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上阴影部分，且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是______ ．【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】
【解析】连接AC、AE，如图，
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四边形ABCD为菱形，
，，
为等边三角形，
圆弧与BC相切于E，
，
，
，
设圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得，解得，
即圆锥的底面圆半径为．
3．（2021贵州黔东南）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是 度．【出处：21教育名师】
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【答案】150
【解析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．
设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆周长为20πcm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm，
由题意得：×20π×l＝240π，
解得：l＝24，
则＝20π，
解得，n＝150，即扇形的圆心角为150°．
4. （2021齐齐哈尔）一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．21·世纪*教育网
【答案】9．
【解析】求得圆锥底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长：
∵圆锥的底面周长为：2π×6=12π，
∴圆锥侧面展开图的弧长为12π.
设圆锥的母线长为R，
∴，解得R=9cm．
5．（2020 绥化）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 度．www-2-1-cnjy-com
【答案】100．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式得到2π 2.5，再解关于n的方程即可．【版权所有：21教育】
【解析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π 2.5，解得n＝100，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为100°．
6．（2020 连云港）用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 cm．21教育名师原创作品
【答案】5．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr，然后解关于r的方程即可．
【解析】设这个圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr，
解得r＝5（cm）．
7．（2020 徐州）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．
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【答案】15π．
【解析】运用公式s＝πlr（其中勾股定理求解得到的母线长l为5）求解．
由已知得，母线长l＝5，底面圆的半径r为3，
∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×3×π＝15π．
8．（2020 德州）若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 度．21*cnjy*com
【答案】120．
【解析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），
设圆心角的度数是n度．则4π，
解得：n＝120．
9．（2020 广东）如图，从 ( http: / / www.21cnjy.com )一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m．
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【答案】．
【解析】求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．
由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，
则扇形的弧长为：，
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
2πr，
解得，r
三、解答题
1.蒙古包可以近似地看作由 ( http: / / www.21cnjy.com )圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？
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【答案】见解析。
【解析】如图是一个蒙古包示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为35m2，高为1.5m；上部圆锥的高为3.5－1.5=2（m）．
圆柱的底面积半径为
侧面积为2π×3.34×1.5≈31.46（平方米），
圆锥的母线长为
侧面展开扇形的弧长为
圆锥的侧面积为
20×（31.46+40.81）≈1446（平方米）．
概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
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