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专题14 圆的切线的证明
1.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
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（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
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（3） 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
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2.证切线时添加辅助线的解题方法有两种：
(1)有公共点，连半径，证垂直；
(2)无公共点，作垂直，证半径；
有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直.
【例题1】（2021湖北黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC21世纪教育网版权所有
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
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【答案】见解析。
【解析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；
（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．
【解答】（1）证明：
连接OE，OF，
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∵BO是∠ABC的平分线，
∴OD═OE，OE是圆的一条半径，
∴AB是⊙O的切线，
故：AB是⊙O的切线．
（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE═OF═EC═FC═1，
∴BC═BE+EC═4，又AC═3，
∴S阴影═（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）
═×（）
═﹣．
故图中阴影部分的面积是：﹣．
【例题2】如图，在△ABC中，∠C＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由。21cnjy.com
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【答案】见解析。
【解析】连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可。
BC与⊙O相切，
理由：连接OD，
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∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，
∵OD为半径，∴BC是⊙O切线。
【例题3】如图，AB是⊙O的直径 ( http: / / www.21cnjy.com )，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．求证：CD是⊙O的切线；
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【答案】见解析。
【解析】连接OC，根据圆周角定理得到∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，得到结论。21·cn·jy·com
证明：连接OC，
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∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切线.
1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线。2·1·c·n·j·y
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【答案】见解析。
【解析】连接OD，由等腰三角形的性质及角平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案。【来源：21·世纪·教育·网】
连接OD，如图：
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∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，
∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线。
2．如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．试证明DE是⊙O的切线。www-2-1-cnjy-com
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【答案】见解析。
【解析】连接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；2-1-c-n-j-y
证明：连接OD、BD，
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∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，∴D为AC中点，
∵OA＝OB，∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，
∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线。
3．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．www.21-cn-jy.com
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【答案】见解析。
【解析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论。
证明：连接OD，
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∵，
∴∠BOD180°＝60°，
∵，∴∠EAD＝∠DABBOD＝30°，
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线。
4．如图，点C在以AB为直径的⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．求证：直线DH是⊙O的切线；
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【答案】见解析。
【解析】连接OD，根据圆周角定理得到∠AODAOB＝90°，根据平行线的性质得到∠ODH＝90°，于是得到结论。21·世纪*教育网
证明：连接OD，
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∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，
∴∠AODAOB＝90°，
∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，
∴直线DH是⊙O的切线。
5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．21*cnjy*com
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【答案】见解析。
【解析】如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线。【来源：21cnj*y.co*m】
如图，连接OC，
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∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又OC是⊙O的半径，
∴DC为⊙O的切线。
6．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由。【出处：21教育名师】
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【答案】见解析。
【解析】根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切。21*cnjy*com
CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
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∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，
在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，∴CB与⊙O相切。
7．如图，在平行四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．求证：DE与⊙A相切。
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【答案】见解析。
【解析】证明：连接AE，根据平行四边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论。
证明：连接AE，
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∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（AAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切。
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°， ( http: / / www.21cnjy.com )AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由。21教育网
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【答案】见解析。
【解析】连接OD，求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可。
证明：连接OD，如图：
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∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，
即BC⊥OD，
又∵OD为⊙O的半径，
∴直线BC是⊙O的切线。
9．（2020 湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．21教育名师原创作品
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
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【答案】见解析。
【分析】（1）AB为⊙O的直径得AD⊥BC，结合AB＝AC，用HL证明全等三角形；
（2）由△ABD≌△ACD得BD＝BC，结合AO＝BO得OD为△ABC的中位线，由DE⊥AC得OD⊥DE，可得直线DE为⊙O切线．
【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）；
（2）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图所示：
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由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，
又∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．求证：MN是⊙O的切线。【版权所有：21教育】
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【答案】见解析。
【解析】连接OM，求出OM∥BD，求出OM⊥MN，根据切线的判定推出即可。
证明：连接OM，如图1，
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∵OC＝OD，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CDAB＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，∴OM⊥MN，
∵OM过O，∴MN是⊙O的切线。
11．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
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【答案】见解析。
【解析】证明：（1）连接AD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
又∵DC＝BD，
∴AD是BC的中垂线．
∴AB＝AC．
（2）连接OD；
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC．
∴∠0DE＝∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°．
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
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概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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1.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
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（3） 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
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2.证切线时添加辅助线的解题方法有两种：
(1)有公共点，连半径，证垂直；
(2)无公共点，作垂直，证半径；
有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直.
【例题1】（2021湖北黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC21世纪教育网版权所有
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（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
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【例题2】如图，在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由。21教育网
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【例题3】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．求证：CD是⊙O的切线；
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1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线。21cnjy.com
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2．如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．试证明DE是⊙O的切线。21·cn·jy·com
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3．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．www.21-cn-jy.com
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4．如图，点C在以AB为直径的⊙O上， ( http: / / www.21cnjy.com )点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．求证：直线DH是⊙O的切线；
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5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．2·1·c·n·j·y
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6．如图，AB是⊙O的弦，C是 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由。【来源：21·世纪·教育·网】
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7．如图，在平行四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．求证：DE与⊙A相切。
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9．（2020 湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．www-2-1-cnjy-com
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（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
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