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专题15 圆问题涉及长度的计算
1.圆的半径、直径的计算
2.弧长的计算
3.弦长的计算
4.弦心距的计算
5.切线长的计算
【例题1】（2021广西贵港）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
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A．2 B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，根据圆内接四边形的性质得∠DAE＝80°，根据对称以及圆周角定理可得∠BOD＝∠BOE＝80°，由点C是的中点可得∠BOC＝∠COD＝40°，∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．21*cnjy*com
解：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，
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∵∠DCE＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，
∵点D关于AB对称的点为E，
∴∠BAD＝∠BAE＝40°，
∴∠BOD＝∠BOE＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC＝∠COD＝40°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OE＝OC，OH⊥CE，
∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，
∵直径AB＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴EH＝CH＝，
∴CE＝2．
【例题2】（2020 凉山州）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为 ．【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】3．
【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，列式计算就可．【出处：21教育名师】
【解析】连接OC、OD、CD．
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∵△COD和△CBD等底等高，
∴S△COD＝S△BCD．
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD＝180°÷3＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形COD，
∵阴影部分的面积是π，
∴π，
∴r＝3，
【例题3】（2020 金华）如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求的长．
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【答案】见解析。
【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长；
（2）根据∠AOC＝60°，可以得到∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【解析】（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA sin60°＝2，
∴AB＝2AC＝2；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的长是：．
【例题4】（2020 攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝ ．【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】1．
【解析】连接OB和OC，
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∵△ABC内接于半径为2的⊙O，∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，OB＝OC＝2，
∵OD⊥BC，OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴ODOB＝1
【例题5】（2020 泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（ ）21cnjy.com
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A．4 B．4 C． D．2
【答案】B
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到 ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．2-1-c-n-j-y
【解析】连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，
∵AD＝8，∴CDAD＝4，
∴AC4，
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【例题6】如图，已知：⊙O与△ABC的边AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，若AB＝4，AC＝5，AD＝1，则BC＝________．21教育名师原创作品
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【答案】7
【解析】由切线长定理得AD=AE，BD=BF，CE=CF，根据已知条件，先求出BD，即BF的长，再求出CE=4，即CF的长，求和即可．21*cnjy*com
∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，
∴AD=AE，BD=BF，CE=CF，
∵AB=4，AC=5，AD=1，
∴AE=1，BD=3，CE=CF=4，
∴BC=BF+CF=3+4=7．
一、选择题（共50小题）
1．（2021湖北黄冈）如图，⊙O是Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，则FC的长是（ ）
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A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【解析】由题知，AC为直径，得OD∥BC，且OD是△ABC的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
解：由题知，AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵OE⊥AB，
∴OD∥BC，
∵OA＝OC，
∴OD为三角形ABC的中位线，
∴AD＝AB＝，
又∵OD＝3，
∴OA＝＝＝2，
∴OE＝OA＝5，
∵OE∥CF，点O是AC中点，
∴OE是三角形ACF的中位线，
∴CF＝2OE＝3×5＝10．
2．（2020 滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案．
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如图所示：∵直径AB＝15，
∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∴DC6，
∴DE＝2DC＝12．
3．（2020 黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
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A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【解析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．2·1·c·n·j·y
连接OA，
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∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM8，
∴AB＝2AM＝16．
4．（2020 武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（ ）21·世纪*教育网
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A． B．3 C．3 D．4
【答案】D
【解析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OFBCDF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．21教育网
连接OD，交AC于F，
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∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，∴OFBC，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OFDF，
∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC4，
5．（2020 武威）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．2 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】先根据圆周角得：∠BAC＝∠D＝90°，根据勾股定理即可得结论．
∵点D在⊙O上且平分，
∴，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠D＝90°，
∵AC＝2，AB＝4，
∴BC2，
Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，
∴2DC2＝20，
∴DC
二、填空题
1．（2020 湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．www-2-1-cnjy-com
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【答案】3．
【解析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DHCD＝4，
在Rt△OCH中，OH3，
所以CD与AB之间的距离是3．
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2．（2020 甘孜州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为 ．【版权所有：21教育】
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【答案】3．
【解析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CHCD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．
连接OC，
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∵CD⊥AB，∴CH＝DHCD8＝4，
∵直径AB＝10，∴OC＝5，
在Rt△OCH中，OH3
三、解答题
1．（2020 湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．www.21-cn-jy.com
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．
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【答案】见解析。
【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；
（2）由圆周角定理可得，由弧长公式可求解．
【解析】（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴的长π×6π．
2．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．
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（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCD＝∠AEC，
∴AE∥OC，
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAE．
（2）作CF⊥AB于F．
在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5，
∴CD＝4，
∵ OC CD＝ OD CF，
∴CF＝，
∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD，
∴CE＝CF＝．
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3．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE＝CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A＝35°，求的长．
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（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE＝CE，
∴AB⊥CD，
∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∴CD∥BF；
（2）解：连接OD、OC，
∵∠A＝35°，
∴∠BOD＝2∠A＝70°，
∴∠COD＝2∠BOD＝140°，
∴的长＝＝．
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4．已知，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，过D作DE⊥BD交AB于E，经过B，D，E三点作⊙O．21·cn·jy·com
（1）求证：AC与⊙O相切．
（2）若AD＝15，AE＝9，求⊙O的半径．
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（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠2，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OD∥BC，
而∠C＝90°，
∴OD⊥AD，
∴AC与⊙O相切于D点；
（2）解：∵OD⊥AD，
∴在RT△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
又∵AD＝15，AE＝9，设半径为r，
∴（r+9）2＝152+r2，
解方程得，r＝8，
即⊙O的半径为8．
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概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
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1.圆的半径、直径的计算
2.弧长的计算
3.弦长的计算
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5.切线长的计算
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A．2 B．2 C． D．1
【例题2】（2020 凉山州）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为 ．21世纪教育网版权所有
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【例题3】（2020 金华）如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求的长．
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【例题4】（2020 攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝ ．21教育网
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【例题5】（2020 泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（ ）21·cn·jy·com
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【例题6】如图，已知：⊙O与△ABC的边AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，若AB＝4，AC＝5，AD＝1，则BC＝________．www.21-cn-jy.com
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一、选择题（共50小题）
1．（2021湖北黄冈）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，则FC的长是（ ）21cnjy.com
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A．10 B．8 C．6 D．4
2．（2020 滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（ ）2·1·c·n·j·y
A．6 B．9 C．12 D．15
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3．（2020 黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．8 B．12 C．16 D．2
4．（2020 武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（ ）21·世纪*教育网
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5．（2020 武威）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．2 B． C．2 D．
二、填空题
1．（2020 湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．21*cnjy*com
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三、解答题
1．（2020 湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．【出处：21教育名师】
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的长．
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2．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．
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3．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE＝CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A＝35°，求的长．
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4．已知，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，过D作DE⊥BD交AB于E，经过B，D，E三点作⊙O．www-2-1-cnjy-com
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（2）若AD＝15，AE＝9，求⊙O的半径．
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