中小学教育资源及组卷应用平台
专题16 圆单元系统总结与复习
一、与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦:连结圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4.劣弧:小于半圆周的圆弧.
5.优弧:大于半圆周的圆弧.
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.
注意：
(1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.21cnjy.com
10.三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.
注意：(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
11.三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心.
注意：(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的.
12.正多边形的相关概念
(1) 正多边形的中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
(2) 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3) 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
(4) 正多边形的中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．
设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r 点P在圆内；
d=r 点P在圆上；
d＞r 点P在圆外.
注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．www.21-cn-jy.com
2.直线与圆的位置关系
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
( http: / / www.21cnjy.com )
三、 圆的基本性质
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质.
(1)在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【来源：21·世纪·教育·网】
四、 有关定理及其推论
1.垂径定理
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
注意： ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
2.圆周角定理
(1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.
注意： “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．21·cn·jy·com
(3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径.
(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
3.与切线相关的定理
(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.2-1-c-n-j-y
五、 圆中的计算问题
1.弧长公式
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长
2.扇形面积公式
半径为R，圆心角为n°的扇形面积
3.弓形面积公式
( http: / / www.21cnjy.com )
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
4.圆锥的侧面积
(1)圆锥的侧面展开图是一个扇形。
(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为.
(3)圆锥的侧面积为.
(4)圆锥的全面积为
5.圆内接正多边形的计算
(1)正n边形的中心角为
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
( http: / / www.21cnjy.com )
其中l为正n边形的周长.
考点一： 圆周角定理
【例题1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AD上一点，若∠BOC＝70°，则∠BED的度数为 °．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】35°．
【解析】∵直径AB⊥CD，
∴B是 的中点；
∴∠BED＝∠BOC＝35°．
考点二： 垂径定理
【例题2】（2021四川自贡）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．9.6 B．4 C．5 D．10
【答案】A
【解析】根据垂径定理求出AE可得AC的长度，利用△AEO∽△AFC，求出CF，即可求解．
∵OE⊥AC于点E．
∴AE＝EC．
∵OE＝3，OB＝5．
∴AE＝．
∴AC＝8．
∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC．
∴△AEO∽△AFC．
∴，即：．
∴．
∵CD⊥AB．
∴CD＝2CF＝＝9.6．
【例题3】工程上常用钢珠来测量零 ( http: / / www.21cnjy.com )件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】8
【解析】设圆心为O，连接AO, ( http: / / www.21cnjy.com )作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.21教育网
考点三： 与圆有关的位置关系
（1）证切线时添加辅助线的 ( http: / / www.21cnjy.com )解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；
（2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
【例题4】如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求证：CD与☉O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求☉O的半径
【答案】见解析
【解析】(1)证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BC与☉O相切于点M, ∴ ∠OMC=90 °, ∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上.
∴AC是∠BCD的角平分线，
∴ON=OM，
∴ CD与☉O相切. .
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
考点四： 圆中的计算问题
【例题5】（2021四川雅安）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．45° B．60° C．72° D．36°
【答案】B
【解析】根据圆内接四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD，根据菱形的性质得到∠BOD＝∠BCD，计算即可．www-2-1-cnjy-com
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°．
【例题6】如图所示，在正方形ABCD内有一 ( http: / / www.21cnjy.com )条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积. 21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】见解析
【解析】将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.
∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8
在Rt△AC'C中，得
∴正方形ABCD外接圆的半径为
∴正方形ABCD的边长为
当图中出现圆的直径时，一般方法 ( http: / / www.21cnjy.com )是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于 ”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.
【例题7】（2021四川资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cmcm以点B为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 cm2．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】(6﹣﹣π)．
【解析】连接BE．首先证明∠EBC＝30°，根据S阴＝S矩形ABCD﹣S△EBC﹣S扇形AEB计算即可．【出处：21教育名师】
如图，连接BE．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝cm，CD∥AB，
在Rt△BCE中，
∵AE＝BE＝2cm，BC＝，
∴EC＝＝6cm，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠BEC＝60°,
∴S阴＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S扇形AEB,
＝2﹣×1×﹣8,
＝(2﹣﹣π)cm ．
故答案为:(6﹣﹣π)．
考点五 与圆有关的作图
【例题8】如何作圆内接正五边形怎么作？
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】见解析
【解析】（1）用量角器作72°的中心角，得圆的五等分点；
（2）依次连接各等分点，得圆的内接正五边形.
( http: / / www.21cnjy.com )
【例题9】（2021南京）如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】答案见解析．
【解析】方法一：作出OP的垂直平分线，交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．【版权所有：21教育】
方法二：作出以OP为底边的等腰三角形BPO，再作出∠OBP的角平分线交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
【详解】解： ( http: / / www.21cnjy.com )
作法：连结PO，分别以P、O为圆心，大于PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A；以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com )
作法：连结PO，分别以P、O为圆心，以大于PO的长度为半径画弧交PO上方于点B，连结BP、BO；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BP、BO于C、D两点，分别以于C、D两点为圆心，大于CD的长度为半径画弧交于一点，连结该点与B点，并将其反向延长交PQ于点A，以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21*cnjy*com
概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题16 圆单元系统总结与复习
一、与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦:连结圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4.劣弧:小于半圆周的圆弧.
5.优弧:大于半圆周的圆弧.
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.
注意：
(1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.21世纪教育网版权所有
10.三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.
注意：(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
11.三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心.
注意：(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的.
12.正多边形的相关概念
(1) 正多边形的中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
(2) 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3) 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
(4) 正多边形的中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．
设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r 点P在圆内；
d=r 点P在圆上；
d＞r 点P在圆外.
注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．21教育网
2.直线与圆的位置关系
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
( http: / / www.21cnjy.com )
三、 圆的基本性质
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质.
(1)在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.21·cn·jy·com
四、 有关定理及其推论
1.垂径定理
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
注意： ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
2.圆周角定理
(1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.
注意： “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．www.21-cn-jy.com
(3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径.
(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
3.与切线相关的定理
(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.2·1·c·n·j·y
五、 圆中的计算问题
1.弧长公式
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长
2.扇形面积公式
半径为R，圆心角为n°的扇形面积
3.弓形面积公式
( http: / / www.21cnjy.com )
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
4.圆锥的侧面积
(1)圆锥的侧面展开图是一个扇形。
(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为.
(3)圆锥的侧面积为.
(4)圆锥的全面积为
5.圆内接正多边形的计算
(1)正n边形的中心角为
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
( http: / / www.21cnjy.com )
其中l为正n边形的周长.
考点一： 圆周角定理
【例题1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AD上一点，若∠BOC＝70°，则∠BED的度数为 °．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
考点二： 垂径定理
【例题2】（2021四川自贡）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．9.6 B．4 C．5 D．10
【例题3】工程上常用钢珠来测量零件上小 ( http: / / www.21cnjy.com )圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm
( http: / / www.21cnjy.com )
考点三： 与圆有关的位置关系
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ( http: / / www.21cnjy.com ) ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；
（2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
【例题4】如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求证：CD与☉O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求☉O的半径
考点四： 圆中的计算问题
【例题5】（2021四川雅安）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．45° B．60° C．72° D．36°
【例题6】如图所示，在正方形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积. www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
【例题7】（2021四川资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cmcm以点B为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 cm2．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
考点五 与圆有关的作图
【例题8】如何作圆内接正五边形怎么作？
( http: / / www.21cnjy.com )
【例题9】（2021南京）如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
( http: / / www.21cnjy.com )
概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
