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专题08 切线的判定与性质
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
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OA为⊙O的半径，BC ⊥ OA于A。则BC为⊙O的切线。
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。
2.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
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（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
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（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
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3.证切线时辅助线的添加方法
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
4.有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
5.切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
6.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
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直线l是⊙O 的切线，A是切点， 直线l ⊥OA.
说明：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.21世纪教育网版权所有
【例题1】（2021吉林长春）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用互余计算出∠ACB的度数．
∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．
【例题2】（2021广西玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．【出处：21教育名师】
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．
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【答案】见解析。
【解析】（1）连结OD，根据已知条 ( http: / / www.21cnjy.com )件可推出△DOA是等边三角形，利用∠ODA＝∠C即可证明OD∥BC，进而即可知∠DFC＝∠ODF＝90°，即可求证；【版权所有：21教育】
（2）用含有a和r的式子分别表示出BE和BF的长，根据BF＝2BE列出等式即可找到r与a的数量关系．21教育名师原创作品
【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：
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∵∠DAO＝60°，OD＝OA，
∴△DOA是等边三角形，
∴∠ODA＝∠C＝60°，
∴OD∥BC，
又∵∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
即DF是⊙O的切线；
（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，
由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r
在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，
∴CF＝，
∴BF＝a﹣，
又∵EF是⊙O的切线，
∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，
∴BF＝2BE，
∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r），
解得：a＝3r，
即r＝，
∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝．
【例题3】如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 21·cn·jy·com
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【答案】见解析。
【解析】直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直径，
∴ AC是☉O的切线.
【例题4】已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. 21*cnjy*com
【答案】见解析。
【解析】由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC(如图).
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∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
【例题5】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
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(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝，求⊙O的半径．
【答案】见解析。
【解析】(1)根据已知条 ( http: / / www.21cnjy.com )件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝，
∴AO＝1，
∴CB＝OP＝2，
∴OB＝1，即⊙O的半径为1.
一、选择题
1．（2021湖北荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）www.21-cn-jy.com
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A．30° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解析】连接OA，根据切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )得到∠PBO＝∠PAO＝90°，根据四边形的内角和等于360°得到∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：连接OA，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠BOA）＝（180°﹣110°）＝35°．
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2．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）21*cnjy*com
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A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】B
【解析】连接OA，由切线的性质可得∠OAP=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，再根据圆周角定理即可求得答案.
连接OA，如图：
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∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°-40°=50°，
∴∠B=1/2∠AOB=25°
3．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ）
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A．30° B．25° C．20° D．15°
【答案】B
【解析】∵AC为切线 ∴∠OAC=90° ∵∠C=40° ∴∠AOC=50°
∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°
∴∠ABD=∠ODB=25°.
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（ ）
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A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【解析】如答图，连接OD，
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∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD
∴∠ODC=90°
又∵∠A=30°，∴∠ABD=60°
又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形
∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．∴∠C=∠BDC=30°.∴BD=BC，②成立
∴AB=2BC，③成立
∴∠A=∠C.∴DA=DC.①成立
综上所述，①②③均成立。
5．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
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A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【解析】连接OA、OB，由切线的性质知∠O ( http: / / www.21cnjy.com )BM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．【来源：21cnj*y.co*m】
解：如图，连接、，
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与相切，
，
又，
，
，，
，
．
二、填空题
1．（2021内蒙古乌兰察布）如图，在 AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC．若OC＝AB，则 ABCD的周长为 ．2·1·c·n·j·y
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【答案】24+6．
【解析】连接OE，过点C作CF⊥A ( http: / / www.21cnjy.com )D交AD于点F，利用平行四边形的性质和切线的性质证明四边形OECF为矩形，利用勾股定理求得OC，进而求得平行四边形的周长．
解：连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，
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∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EOD+∠OEC＝180°，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∴∠OEC＝90°
∴∠EOD＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFO＝90°，
∴四边形OECF为矩形，
∴FC＝OE，
∵AD为直径，AD＝12，
∴FC＝OE＝OD＝AD＝6，
∵OC＝AB，CF⊥AD，
∴OF＝OD＝3，
在Rt△OFC中，由勾股定理得，
OC2＝OF2+FC2＝32+62＝45，
∴AB＝OC＝3，
∴ ABCD的周长为12+12+3+3＝24+6，
故答案为：24+6．
2．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，C为弧AB上一点，则∠ACB的度数为___．2-1-c-n-j-y
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【答案】125°
【解析】由切线的性质得出∠O ( http: / / www.21cnjy.com )AP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
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∵AP、BP是⊙O切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB=∠AOB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．
三、解答题
1.如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．21·世纪*教育网
【答案】见解析。
【解析】根据切线的判定定理，要证明AC是⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
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∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
2.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
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【答案】见解析。
【解析】连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,
OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2
解得 r=3，
即⊙O的半径为3.
3.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
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证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
4.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．21cnjy.com
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【答案】见解析。
【解析】证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
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∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
5．如图，圆O的直径AB＝12cm，C为AB延长线上一点，点P为中点，过点B作弦BD∥CP，连接PD．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：CP与圆O相切；
（2）若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积．
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【答案】见解析。
【解析】（1）证明：连接OP，交BD于点E，
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∵点P为的中点．
∴BD⊥OP，
∵BD∥CP，
∴∠OEB＝∠OPC＝90°
∴PC⊥OP，
∴CP与⊙O相切于点P；
（2）∵∠C＝∠D，
∵∠POB＝2∠D，
∴∠POB＝2∠C，
∵∠CPO＝90°，
∴∠C＝30°，
∵BD∥CP，
∴∠C＝∠DBA，
∴∠D＝∠DBA，
∴BC∥PD，
∴四边形BCPD是平行四边形，
∵PO＝AB＝6，
∴PC＝6，
∵∠ABD＝∠C＝30°，
∴OE＝OB＝3，
∴PE＝3，
∴四边形BCPD的面积＝PC PE＝6×3＝18．
6．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE、DE、BD，BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．21教育网
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF＝BC，求证：四边形OEDB是菱形．
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【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBC，
∵∠DBC+∠ABD＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵OE∥BD，
∴∠OEB＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵BF＝BC，∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵∠DEB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠OBE，
∴ED∥OB，
∵ED∥OB，OE∥BD，OE＝OB，
∴四边形OEDB是菱形．
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专题08 切线的判定与性质
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
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OA为⊙O的半径，BC ⊥ OA于A。则BC为⊙O的切线。
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。
2.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
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（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
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（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
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3.证切线时辅助线的添加方法
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
4.有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
5.切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
6.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
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直线l是⊙O 的切线，A是切点， 直线l ⊥OA.
说明：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.21世纪教育网版权所有
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A．35° B．45° C．55° D．65°
【例题2】（2021广西玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．
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【例题3】如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. www-2-1-cnjy-com
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【例题4】已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. 21*cnjy*com
【例题5】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.【来源：21cnj*y.co*m】
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(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝，求⊙O的半径．
一、选择题
1．（2021湖北荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）21教育网
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A．30° B．35° C．45° D．55°
2．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）www.21-cn-jy.com
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A．20° B．25° C．40° D．50°
3．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ）【出处：21教育名师】
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A．30° B．25° C．20° D．15°
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（ ）【版权所有：21教育】
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A．3 B．2 C．1 D．0
5．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
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A．40° B．50° C．60° D．70°
二、填空题
1．（2021内蒙古乌兰 ( http: / / www.21cnjy.com )察布）如图，在 ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC．若OC＝AB，则 ABCD的周长为 ．21·cn·jy·com
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2．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，C为弧AB上一点，则∠ACB的度数为___．2·1·c·n·j·y
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三、解答题
1.如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．21教育名师原创作品
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2.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
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3.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
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4.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．21*cnjy*com
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5．如图，圆O的直径AB＝12cm，C为AB延长线上一点，点P为中点，过点B作弦BD∥CP，连接PD．21·世纪*教育网
（1）求证：CP与圆O相切；
（2）若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积．
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6．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE、DE、BD，BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．2-1-c-n-j-y
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（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF＝BC，求证：四边形OEDB是菱形．
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