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专题09 切线长定理
1.切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
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2.切线长与切线的区别
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
3切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
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几何语言:PA、PB分别切☉O于A、B，则PA = PB， ∠OPA=∠OPB
注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
4.三角形的内切圆及作法
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
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（1）与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
（2）三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
（3）这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
5.三角形的内心的性质
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（1）三角形的内心在三角形的角平分线上.
（2）三角形的内心到三角形的三边距离相等.
6.解决本专题问题辅助线连接技巧
（1）分别连接圆心和切点；
（2）连接两切点；
（3）连接圆心和圆外一点.
注意：运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
【例题1】（2021四川凉山）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q．则PQ的最小值为______.21世纪教育网版权所有
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【解析】连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，根据等边三角形的性质得到AB＝CB＝4,∠BCH＝ACB＝60°＝30°,根据直角三角形的性质得到BH＝AB＝4,CH＝BC＝×4＝2，由切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝＝，推出当点P运动到H点时，CP最小，于是得到结论。
解：连接CP、CQ，如图，
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴AB＝CB＝4,∠BCH＝60°＝30°,
∴BH＝AB＝6BC＝，
∵PQ为⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
在Rt△CPQ中，PQ＝＝，
∵点P是AB边上一动点，
∴当点P运动到H点时，CP最小，
即CP的最小值为2，
∴PQ的最小值为＝3,
故答案为：3．
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【例题2】已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
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【答案】见解析。
【解析】证明：∵PA切☉O于点A，
∴ OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
【例题3】已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.
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【答案】见解析。
【解析】证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H，
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH
∴AB+CD=AD+BC
【例题4】 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数.21教育网
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【答案】见解析。
【解析】连接IB，IC.
∵点I是△ABC的内心，
∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线，
在△IBC中，
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【例题5】如图所示，已知在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.21cnjy.com
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【答案】见解析。
【解析】证明：连接OD，
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∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，
OD＝OB ，OC＝OC
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，
∴DE∥OC．
方法二：
证明：连接BD，
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∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB.
∴OC⊥BD.
∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD.
∴DE∥OC．
一、单选题
1．（2021四川泸州） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．想办法求出C，D两点坐标，构建一次函数，利用方程组确定交点坐标即可．www.21-cn-jy.com
如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．
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∵AB是直径，AB＝8，
∴OA＝OB＝4，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴∠DAB＝∠ABH＝∠DHB＝90°，DA＝DE，CE＝CB，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD＝BH，AB＝DH＝8，
∴CH＝＝＝6，
设AD＝DE＝BH＝x，则EC＝CB＝x+6，
∴x+x+6＝10，
∴x＝2，
∴D（2，4），C（8，﹣4），B（0，﹣4），
∴直线OC的解析式为y＝﹣x，直线AD的解析式为y＝4x﹣4，
由，解得，
∴F（，﹣），
∴BF＝＝，
故选：A．
2．（2021山东临沂）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．110° B．120° C．125° D．130°
【答案】C
【解析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理可求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
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∵AP、BP是⊙O切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
3．如图，△ABC是一张周长 ( http: / / www.21cnjy.com )为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为( )【来源：21·世纪·教育·网】
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A．12 cm B．7 cm C．6 cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】B
【解析】设E、F分别是⊙O的切点，
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是一张三角形的纸片， ⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，
则
故
4．等边三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为（ ）
A． B．1：2 C． D．1：3
【答案】B
【解析】连接OD、OE，根据切线长定理和等边三角形的性质证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30°，即可求出OD、OA的比．21·世纪*教育网
如图，连接OD、OE；
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∵AB、AC切圆O于E、D，
所以，；且OA平分∠BAC，
又为等边三角形，
，
，
：：2．
5．如图，P为⊙O外一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（ ）
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A．5，（90°+∠P） B．7，90°+
C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P
【答案】C
【解析】∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA，即△PCD的周长＝2PA＝10，；
如图，连接OA、OE、OB．
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由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，
∵AO＝OE＝OB，
易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB，
∴∠AOB＝180°﹣∠P，
∴∠COD＝90°﹣∠P．
二、填空题
1．如图，P为⊙O外一点，P ( http: / / www.21cnjy.com )A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C、D，若△PCD的周长为24，⊙O的半径是5，则点P到圆心O的距离_____．
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【答案】13
【解析】如图，连接OB、OP，根据切线 ( http: / / www.21cnjy.com )长定理可得AC=CE，ED=BD，PA=PB，根据△PCD的周长可求出PB的长，根据切线的性质可得OB⊥PB，利用勾股定理求出OP的长即可.
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如图，连接OB、OP，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C、D，
∴AC=CE，ED=BD，PA=PB，
∵△PCD的周长为24，
∴PC+CE+ED+PD=24，
∴PA+PB=24，
∴PB=12，
∵PB是⊙O的切线，OB是⊙O半径，
∴OB⊥PB，
∴OP===13.
2.直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为________（以含a、b、c的代数式表示r）.www-2-1-cnjy-com
【答案】见解析。
【解析】过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
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则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
所以a-r+b-r=c,
3．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为 ．2-1-c-n-j-y
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【答案】44
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，BC＝5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为 ．
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【答案】30
【解析】连接OE、OF，
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设AD＝x，由切线长定理得AF＝x，
∵⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，
∵r＝2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BE＝3，
∴由勾股定理得，（x+2）2+52＝（x+3）2，
解得，x＝10，
∴△ABC的周长为12+5+13＝30．
三、解答题
1.如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面 ( http: / / www.21cnjy.com )为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.21*cnjy*com
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【答案】见解析。
【解析】该木模可以抽象为如下几何图形.
如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
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∵圆O是△ABC的内切圆,
∵ △ABC是等边三角形,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD=AB/2=1.5(cm)
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2.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
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【答案】见解析。
【解析】证明：连接BI.
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∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
3．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC＝90°，
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB＝3，OC＝4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．
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【答案】见解析。
【解析】（1）∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
又BE与BF为圆O的切线，
∴BO为∠EBF的平分线，
∴∠OBC＝∠OBF，
同理可得∠OCB＝∠OCG，
∴∠OBF+∠OCG＝90°，
∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+∠OCG＝180°，
即∠ABF+∠DCF＝180°，
∴AB∥CD；
（2）连接OE，OF，OG，如图所示：
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由BE和BF为圆的切线，
可得OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB＝∠OFB＝90°，
∴BE＝BF，又OB＝OB，
∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），
∴∠BOE＝∠BOF，S△OEB＝S△OFB，
∴S扇形OEM＝S扇形OFM，
∴S△OEB﹣S扇形OEM＝S△OFB﹣S扇形OFM，
即S阴影BEM＝S阴影BFM，
同理S阴影NFC＝S阴影NCG，
由∠BOC＝90°，OB＝3，OC＝4，
根据勾股定理得：BC＝5，
∵BC为圆的切线，∴OF⊥BC，
∴OB OC＝BC OF，即OF＝，
∴S△BOC＝OB OC＝6，
S扇形OMN＝＝，
则阴影部分面积S＝2（S阴影BFM+S阴影NFC）
＝2（S△BOC﹣S扇形OMN）＝12﹣．
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典例解析 掌握方法
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专题09 切线长定理
1.切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
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2.切线长与切线的区别
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
3切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
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几何语言:PA、PB分别切☉O于A、B，则PA = PB， ∠OPA=∠OPB
注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
4.三角形的内切圆及作法
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
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（1）与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
（2）三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
（3）这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
5.三角形的内心的性质
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（1）三角形的内心在三角形的角平分线上.
（2）三角形的内心到三角形的三边距离相等.
6.解决本专题问题辅助线连接技巧
（1）分别连接圆心和切点；
（2）连接两切点；
（3）连接圆心和圆外一点.
注意：运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
【例题1】（2021四川凉山）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q．则PQ的最小值为______.21世纪教育网版权所有
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【例题2】已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
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【例题3】已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.
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【例题4】如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数.
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【例题5】如图所示，已知在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.21教育网
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一、单选题
1．（2021四川泸州）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
2．（2021山东临沂）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．110° B．120° C．125° D．130°
3．如图，△ABC是一张 ( http: / / www.21cnjy.com )周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为( )2·1·c·n·j·y
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A．12 cm B．7 cm C．6 cm D．随直线MN的变化而变化
4．等边三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为（ ）
A． B．1：2 C． D．1：3
5．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分 ( http: / / www.21cnjy.com )别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．5，（90°+∠P） B．7，90°+
C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P
二、填空题
1．如图，P为⊙O外一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C、D，若△PCD的周长为24，⊙O的半径是5，则点P到圆心O的距离_____．
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2.直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为________（以含a、b、c的代数式表示r）.21·世纪*教育网
3．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为 ．www-2-1-cnjy-com
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4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，BC＝5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为 ．
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三、解答题
1.如图，一个木模的上部是圆柱 ( http: / / www.21cnjy.com )，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.21cnjy.com
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2.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
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3．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC＝90°，
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB＝3，OC＝4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．
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