(共44张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
课标解读 课标要求 素养要求
1.在平面直角坐标系中，结合具体图 形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3.掌握倾斜角和斜率之间的关系. 4.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 1.数学抽象——能抽象出直线的倾斜角与斜率的概念.
2.逻辑推理——能够推导倾斜角与斜率的关系.
3.数学运算——会计算直线的斜率.
要点一 直线的倾斜角
1.定义：
当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向
之间所成的角叫做直线的①_______________.
倾斜角
2.倾斜角的范围：
当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为②_______. 因此，直线的倾斜角的取值范围为
要点二 直线的斜率与方向向量
1.斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的③_______. 斜率常用小写字母表示，即④____________.
2.斜率与两点坐标的关系：
如果直线经过两点，那么直线的斜率公式为⑤_____________________.
斜率
3.直线的方向向量：
直线上的向量以及与它平行的非零向量都是直线有⑥_______________. 直线的方向向量的坐标为.
4.直线的斜率与方向向量的坐标之前的关系：
若基线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则.
方向
向量
1.下图中标的倾斜角对不对？
提示 都不对.
2.直线倾斜角的取值范围是，那么每一条直线都对应一个确定的倾斜角吗？
提示 都对应，无论直线怎样旋转，其倾斜角的取值范围都是，因此每一条直线都对应一个确实的倾斜角.
3.当直线的倾斜角的正切值不存在时，直线有斜率吗？直线有倾斜角吗？
4.若直线的斜率为，则直线的一上方向向量可以是吗？
提示 没有斜率. 有倾斜角，其值为.
提示 可以.
1.倾斜角定义的关键
（1）轴正向.
（2）直线向上的方向.
（3）小于的非负角.
2.运用斜率公式的前提是，即直线不与轴垂直.
3.斜率公式与在直线上的位置无关，在直线上任取两点，得到的斜率是相同的.
4.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序，也可以写成，即上、下标的顺序要一致.
探究点一 直线的倾斜角
例（1） 设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按顺时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为( )
A. B.
C. D. 或
D
[解析] 根据题意画出图形，如图所示：
如图1，当时，的倾斜角为；
如图2，当时，的倾斜角为. 故选D.
（2） 设直线过原点，其倾斜角，直线与的交点为，且与向上的方向之间所成的角为，则直线的倾斜角为__________.
[解析] 设直线的倾斜角为，则，所以直线的倾斜角为.
解题感悟
直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据题意分类讨论.
如图，已知直线的倾斜角是，，垂足为，与轴分别相交于点，平分，则的倾斜角为____________.
[解析] 因为直线的倾斜角为，所以，所以的倾斜角为.
探究点二 直线的斜率
类型1 求斜率
例1 已知.
（1） 求直线和的斜率；
[答案] 由斜率公式得，即直线和直线的斜率分别为0和.
（2） 若点在线段上移动，求直线的斜率的取值范围.
[答案] 设直线的斜率为，当斜率变化时，直线绕点旋转，当直线由逆时针旋转到时，直线与恒有交点，即在线段上，此时由增大到，又，所以的取值范围为.
类型2 直线的方向向量
例2 已知直线的倾斜角的取值范围为，直线的方向向量为，求的取值范围.
[答案] 易知，画出正切函数的图象，如图所示.
当时，，由题意知，
所以或，
解得或，
所以的取值范围为.
[解析] 思路分析 先根据直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围，再由直线的方向向量与斜率的关系得的取值范围.
解题感悟
（1）直线的方向向量与直线上任意两点对应的向量平行，利用直线的方向向量与斜率的关系可以解决求值的问题.（2）已知倾斜角的取值范围，求该角正切值的取值范围，可以结合正切函数的图象求解.
1. 经过两点的直线的斜率为，则实数的值为
( )
A. 1 B. 3 C. 0或1 D. 1或3
D
[解析] 直线的斜率，整理得，解得或.
2. 过，两点的直线的方向向量为(1,2)，则 ______.
2
[解析] 由已知条件可知，直线的方向向量为，即. 又(1,2)是直线的一个方向向量，则，解得.
探究点三 直线的倾斜角和斜率的综合应用
例 [2021山东潍坊寿光现代中学高二期中] 已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 设直线的倾斜角为，则直线的斜率，又，则的取值范围为，即的取值范围为，又，则.
解题感悟
（1）直线的倾斜角α与斜率的关系是. 由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率也能求倾斜角，需注意倾斜角的取值范围为. （2）在范围内，，且随着的增大而增大；在范围内，，且随着的增大而增大，但在范围内，并不是随着的增大而增大的.
如图，直线的倾斜角，，求的斜率.
[答案] 直线的倾斜角，
直线的倾斜角，
.
的斜率分别为.
1. 若图中直线的斜率分别为，则( )
A. B.
C. D.
D
2. 若直线的一个方向向量为，则此直线的倾斜角为 __________.
3. 直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的取值范围是_____________.
当直线在的位置时，；当直线在的位置时，. 故直线l的斜率的取值范围是.
[解析] 如图，
1. [2020北京高二学业水平测试] 已知直线经过两点，那么直线的倾斜角的大小是( )
A. B. C. D.
C
2. （多选题）下列说法中正确的是( )
A. 若直线的斜率为，则它的倾斜角为
B. 若，则直线的倾斜角为
C. 若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为，则这条直线必过点(3,4)
D. 若直线的斜率为，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点
ABC
3. （原创题）直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
B
4. 设为轴上的一点，，，若直线的斜率是直线的斜率的两倍，则点的坐标为( )
A. (-2,0) B. (-5,0) C. (2,0) D. (5,0)
B
5. [2021天津武清天和城实验中学高二月考] 若，，三点在同一条直线上，则实数等于( )
A. 2 B. 3 C. 9 D. -9
D
6. [2021安徽亳州育萃中学高二月考] 设直线的斜率和倾斜角分别为和，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
D
7. 已知直线的一个方向向量为(1,3)，倾斜角为，则
( )
A. B. C. D.
A
8. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
C
9. [2021天津静海瀛海学校高二月考] 过两点的直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 2
B
10. 已知直线经过点和点，则( )
A. 直线的斜率为定值，倾斜角不确定
B. 直线的倾斜角为定值，斜率不确定
C. 直线的斜率与倾斜角都不确定
D. 直线的斜率为-1，倾斜角为
D
11. 已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为
( )
A. (-3,-4) B.
C. D.
D
[解析] 由题意得直线l的一个方向向量为，则，因此直线的单位方向向量为.
12. [2021浙江丽水五校共同体高二段考] 已知，，直线过点，若直线与线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______________，倾斜角的取值范围是______________.
[解析] 如图，
若直线与线段总有公共点，则，
，
，
，即.
13. 已知.
（1） 当为何值时，直线的倾斜角为锐角？
[答案] 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即，解得，即当时，直线的倾斜角为锐角.
（2） 当为何值时，直线的倾斜角为钝角？
[答案] 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即，解得，即当时，直线的倾斜角为钝角.
（3） 直线的倾斜角可能为直角吗？
[答案] 当直线垂直于轴时，直线的倾斜角为直角，此时，因为此方程无解，所以直线的倾斜角不可能为直角.
14.
[解析] 命题分析 本题主要考查了直线的倾斜角和斜率及其关系、二倍角公式的应用以及斜率的应用.
答题要领 （1）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，根据直线的方向向量为，得到直线的斜率为，然后用二倍角公式求解. （2）根据斜率的几何意义，数形结合求解.
（1） 已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线的斜率；
[答案] 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为，所以直线的斜率为.
[答案] 如图所示，由点满足关系式，且可知，点在线段上移动，由已知可得，.
因为的几何意义是直线的斜率，且，所以的最大值为2，最小值为.
（2） 已知实数满足，且，求的最大值和最小值.
解题感悟 第一问解题关键是根据直线的方向向量求出直线的斜率.第二问解题关键是明确斜率的几何意义，将待求问题转化为斜率的最值问题求解.(共59张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解两条直线平行与垂直的条件. 2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 3.能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题. 1.逻辑推理——能根据斜率推导两条直线平行或垂直.
2.直观想象——能够掌握直线斜率的几何意义.
1.两条直线平行：
对于斜率分别为的两条直线，有①____________.
2.两条直线垂直：
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于
-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直. 即②_________________.
1.两条直线平行，斜率一定相等吗？
提示 不一定，也可能两条直线的斜率都不存在.
提示 不一定，若两条直线的斜率都存在，则它们垂直时斜率之积是-1；当两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在.
2.若两条直线垂直，则它们的斜率之积一定等于-1吗？
1.当两条直线的斜率都不存在时，与的倾斜角都是，.
2.若没有指明不重合，则或与重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论.
3.在利用以上结论判定两条直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题的过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论.
探究点一 两条直线平行的判定
例 根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行.
[解析] 思路分析 根据所给的条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况.
（1） 经过点，经过点；
[答案] ，与不平行.
（2） 经过点，经过点；
[答案] 与都与轴垂直，且与不重合，
（3） 平行于轴，经过点.
[答案] 由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，
变式 若将本例（3）改为平行于轴，经过点，且，求的值.
[答案] 由已知得，因为，所以，解得.
解题感悟
是针对斜率都存在且不生命的两直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用数形结合求解.
1. 经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线的位置关系为( )
A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 无法确定
A
[解析] ，
，
又，
与不重合，与平行.
2. 已知过点和点的直线与过点和点的直线平行，则的值是_______.
-1
[解析] 因为，且直线与直线平行，所以，解得.
探究点二 两条直线垂直的判定
类型1 两条直线垂直的判定
例1 根据下列给定的条件，分别判断直线与是否垂直.
[解析] 思路分析 根据已知条件求出两条直线的斜率，然后根据垂直关系判断.
（1） 经过点，经过点；
[答案] 由题意知，因为，所以.
（2） 经过点，经过点；
[答案] 由题意知的斜率不存在，的斜率为0，所以.
（3） 经过点，的方向向量为(5,1).
[答案] 由题意知，因为，所以与不垂直.
解题感悟
判断两条直线是否垂直的依据是在这两条直线都有斜率的前提下，只需要看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与轴垂直，另一条直线与轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
类型2 根据两条直线垂直求参数
例2 已知直线经过点，直线经过点，如果，求的值.
[解析] 思路分析 根据两条直线垂直，列方程求解.
[答案] 因为直线经过点，所以的斜率存在，设为.当时，则，即，则，显然直线的斜率不存在，满足；
当时，，即，显然的斜率存在，设为.
若要满足题意，则，所以，解得.
综上可知，的值为5或2.
解题感悟
若已知点的坐标中含有参数，利用两条直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况.
1. 已知直线经过两点，直线的倾斜角为，那么与( )
A. 垂直 B. 平行
C. 重合 D. 相交但不垂直
A
[解析] 直线经过，两点，
直线的斜率.
直线的倾斜角为，
直线的斜率，
，
.
2. [2021四川宜宾叙州二中高二开学考] 在平面直角坐标系内有两个点，，-2)，若在轴上存在点，使，则点的坐标是( )
A. (3,0) B. (0,0)
C. (5,0) D. (0,0)或(5,0)
D
[解析] 设，则.
，
，
，
则，
解得或，
点的坐标为(0,0)或(5,0).
探究点三 两条直线平行与垂直的综合应用
例 已知点，点在轴上，分别求满足下列条件的点的坐标.
[解析] 思路分析 （1）根据两角相等，判断与的关系，然后转化为斜率的关系求解. （2）根据是直角，得出，然后转化为斜率之积为-1求解.
（1） （是坐标原点）；
[答案] 因为，所以，所以.设，又，
所以，所以，即点的坐标为(7,0).
[答案] 因为为直角，所以，
根据题意知的斜率均存在，
所以.
设，则，
所以，
解得或，即点的坐标为(1,0)或(6,0).
（2） 是直角.
解题感悟
（1）利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，再利用直线的斜率关系进行判定. （2）由图形的形状求参数（一般是点的坐标）时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情况.
已知三点，若，且，求点的坐标.
[答案] 设，则.
因为，
所以，
所以解得
所以点的坐标为(0,1).
1. 若直线的倾斜角为，直线经过点，则直线与的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 平行或重合
D
2. 若直线经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
A
3. [2021浙江宁波慈溪高二期末] 已知两条不重合的直线，则“”是“的斜率相等”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
4. 已知点，点在轴上，且，求点的坐标.
[答案] 设，由知，
，
解得，
所以点的坐标是(0,-11).
直观想象、逻辑推理——判断平面图形的形状
1. 已知四点，若顺次连接，，，四点，试判断图形的形状.
[答案] ，，，四点在平面直角坐标系中的位置如图：
由斜率公式可得
，
，由图可知与不重合，
.
，与不平行. 又.
故四边形ABCD为直角梯形.
素养探究：根据点画出图形，渗透了直观想象的素养；根据斜率判断图形的形状，渗透了逻辑推理的素养.
已知四点，试判断由此四点构成的图形的形状.
[答案] 由题意得，
因为，且与，与不重合，所以，所以四边形为平行四边形.
又因为，所以，
所以四边形为矩形.
1. 满足下列条件的直线与中，的是( )
①的斜率为2，过点、；
②经过点，平行于轴，但不经过点；
③经过点，经过点.
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
B
2. 下列两条直线不垂直的是( )
A. 的倾斜角为，过点
B. 的斜率为，过点
C. 的倾斜角为，过点
D. 过点，过点
C
3. 若直线的斜率分别为，且，则实数等于
( )
A. 1 B. -1 C. D.
D
4. 已知直线的倾斜角为，直线，直线，则直线与的倾斜角分别是( )
A. B. C. D.
A
[解析] 如图，
因为，所以的倾斜角为，
因为，所以的倾斜角为.
5. [2020宁夏银川一中高二月考] 已知过，-3)两点的直线与过两点的直线互相垂直，则点有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个
D
6. （多选题）下列命题中正确的有( )
A. 若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行
B. 若两直线平行，则它们的斜率相等
C. 若两直线的斜率之积为-1，则它们垂直
D. 若两直线垂直，则它们的斜率之积为-1
AC
7. 已知的顶点为，，其垂心为，则其顶点的坐标为( )
A. (-19,-62) B. (19,-62) C. (-19,62) D. (19,62)
A
[解析] 为的垂心，，又，直线的斜率存在且. 设，则解得点的坐标为(-19,-62).
8. （多选题）若，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
AD
[解析] ，且不在直线上，，故A中结论正确；
，
，故B中结论错误；
，
，与CD不垂直，故C中结论错误；
，
，故D中结论正确.
9. 已知直线经过点和点，直线经过点和点，若，且与没有公共点，则实数的值为_______.
-6
10. [2021江西南昌十中高二月考] 已知，且直线与平行，则的值为( )
A. 1 B. 0或1 C. 2 D. 1或2
B
[解析] 当直线与的斜率均不存在时，可得，
此时，符合题意；
当直线与的斜率均存在时，，
此时，所以，解得，
此时，符合题意.
综上，的值为0或1.
11. 在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，则下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点的坐标是( )
A. (-3,1) B. (4,1) C. (-2,1) D. (2,-1)
A
[解析] 设第四个顶点为. 当点的坐标为(-3,1)时，.
，
四边形不是平行四边形；
当点的坐标为(4,1)时，，
且，
四边形是平行四边形；
当点的坐标为(-2,1)时，，
且，
四边形是平行四边形；
当点的坐标为(2,-1)时，，
且，
四边形是平行四边形. 故选A.
12. （多选题）设点，则下面四个结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
AD
[解析] 由斜率公式知，
所以，又，
所以直线与不垂直，
所以、D正确.
13. [2020黑龙江伊春伊美二中高二期末] 已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数_________.
0或1
[解析] ，
当时，，直线的斜率不存在，此时两条直线相互垂直；
当时，，两条直线相互垂直，
，解得.
综上可知，或.
14. [2020山东泰安一中高二月考] 已知四边形的顶点为、、、，若四边形为直角梯形，求和的值.
[答案] ①如图，当时，
四边形为直角梯形，，且.
.
②如图，当时，
四边形为直角梯形，
，且，
.
解得.
综上所述，或.
15. [2020甘肃平凉静宁一中期末] 已知.
[解析] 命题分析 本题主要考查了直线的斜率以及与倾斜角的关系，熟练掌握斜率公式是解题的关键.
答题要领 （1）设，根据得出，由得出，解方程组即可求出的坐标.（2）设，由得出，解方程求出的坐标，即可得出结果.
（1） 若点满足，求点的坐标；
[答案] 设，由已知得，又，即①，
由已知得，又，
，即②，
联立①②，解得.
（2） 若点在轴上，且，求直线的倾斜角.
[答案] 设，
，又，
，
解得，
又轴，
故直线的倾斜角为.
解题感悟 利用平行、垂直的关系求参数的关键是求出斜率，再利用平行、垂直判断斜率之间的关系，列方程求解.
