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第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
课标解读 课标要求 素养要求
1.掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线方程. 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系. 3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 1.数学抽象——会从直线的斜截式方程中发现直线的斜截 式方程与一次函数的关系.
2.逻辑推理——会推导直线的点斜式和斜截式方程.
3.直观想象——会利用直线的点斜式和斜截式方程求直线 方程.
要点一 点斜式
1.定义：方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称①______________.
点斜式
2.特殊的直线方程：
直线过定点，
（1）当直线的倾斜角为时，，即，这时直线与轴平行或重合，直线的方程是，即②_______________.
（2）当直线的倾斜角为时，由于无意义，直线没有斜率，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，即_______________.
1.直线过的定点是什么
2.当直线与轴重合时，直线的斜率是多少 直线的方程是什么
提示 当直线与轴重合时，的斜率为0.的方程是.
提示 把方程转化为，根据点斜式方程可知定点是(1,-2).
要点二 斜截式
1.定义：我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距.这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称④_____________.
2.的几何意义：是直线的⑤______________，是直线在轴上的⑥______________.
3.根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直：
对于直线：，：.
（1），且；（2）.
截距
斜截式
斜率
_______
________________
4.直线：，直线：，若，，则的值是多少
3.截距一定是正数吗
提示 不一定，因为纵坐标可正、可负、可为0，所以截距可正、可负、可为0.
提示 若，则解得.
1.经过点的直线可以分为两类
（1）斜率存在的直线的方程为；
（2）斜率不存在的直线的方程为，即.
（1）为直线在轴上的截距，不是距离，截距可以取任意实数，即可以为正数、零、负数；
（2）斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；
（3）当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式；
（4）斜截式是点斜式的特殊情况，斜截式的前提是直线的斜率存在，斜截式不能表示平行于轴的直线，即斜率不存在的直线.
2.斜截式方程的诠释
探究点一 利用点斜式求直线的方程
类型1 求点斜式方程
例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程.
（1） 过点，斜率；
[答案] 直线过点，斜率，直线的点斜式方程为.
（2） 过点，且与轴垂直；
[答案] 与轴垂直的直线，其斜率不存在，直线的方程为.
（3） 过点，倾斜角是.
[答案] 直线的倾斜角是，，
又直线过点，直线的点斜式方程为.
解题感悟
（1）求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率，所以已知直线上一点的坐标及直线的斜率或已知直线上两点的坐标，均可直接利用点斜式求直线的方程.（2）斜率不存在时，可直接写出过点的直线的方程为.
类型2 直线过定点问题
例2 已知直线：.求证：直线恒过一个定点.
[答案] 证明 由得.
由直线的点斜式方程可知，直线恒过定点(-2,1).
解题感悟
判断或求直线过定点问题，常将直线方程转化为点斜式的形式求定点.
1. 直线必过定点，则该定点的坐标是__________.
(2,3)
[解析] 将直线的方程转化为点斜式得，所以该直线过定点(2,3).
2.（1） 求过点，倾斜角为的直线的点斜式方程；
[答案] 因为直线的倾斜角为，
所以直线的斜率，
所以所求直线的点斜式方程为.
（2） 求过点，平行于轴的直线的点斜式方程.
[答案] 因为直线平行于轴，所以直线的斜率，所以所求直线的方程为.
探究点二 求直线的斜截式方程
例 求下列直线的斜截式方程.
[解析] 思路分析 找出斜率和截距，直接代入斜截式方程，即可求解.
（1） 斜率为-4，在轴上的截距为7；
[答案] 由题意及直线的斜截式方程知，所求直线的斜截式方程为.
（2） 在轴上的截距为2，且与轴平行；
[答案] 由题意及直线的斜截式方程知，所求直线的方程为.
（3） 倾斜角为，与轴的交点到原点的距离为3.
[答案] 因为直线的倾斜角为，所以斜率为，因为直线与轴的交点到原点的距离为3，所以在轴上的截距或，故所求直线的斜截式方程为或.
解题感悟
（1）直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在.（2）直线的斜截式方程中只有两个参数，因此要确定直线的斜截式方程，只需知道参数，的值即可.
倾斜角为，在轴上的截距为-1的直线的方程是( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 倾斜角为，，直线的斜截式方程为.
探究点三 斜截式的平行、垂直问题
例（1） 当为何值时，直线：与直线：平行？
[答案] 由题意可知，，
解得.
故当时，直线：与直线：平行.
（2） 当为何值时，直线：与直线：垂直？
[答案] 由题意可知，，，，解得.
故当时，直线：与直线：垂直.
解题感悟
已知含参数的两条直线平行或垂直求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系也要注意考虑.
1. 若直线过点(3,4)，且平行于过点和的直线，则直线的斜截式方程为___________________.
[解析] 由于直线，且直线的斜率为，所以直线的斜率为.又直线过点(3,4)，所以直线的方程为，即.
2. [2020江西南昌高二月考] 已知直线：，若与：垂直，则__________.
[解析] 的方程为，它的斜率为，与：垂直，，解得.
1. 方程表示( )
A. 过点(-2,0)的所有直线
B. 过点(2,0)的所有直线
C. 过点(2,0)且不垂直于轴的所有直线
D. 过点(2,0)且除去轴的所有直线
C
2. 过点(-3,2)，倾斜角为的直线的点斜式方程为( )
A. B.
C. D.
C
3. 已知直线过点且与直线：垂直，则的点斜式方程为_________________________.
4. [2021北京昌平新学道临川学校高二期中] 求倾斜角为直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点(-4,1)；
（2）在轴上的截距为-10.
[答案] 由于直线的斜率为-1，且倾斜角，所以其倾斜角为.由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率.
（1）由于直线经过点(-4,1)，所以由直线的点斜式方程得.
[答案]（2）因为直线在轴上的截距为-10，所以由直线的斜截式方程得.
直观想象、逻辑推理、数学运算——平面图形中的有关直线方程的问题
[2021四川眉山彭山一中高二月考] 如图，在平行四边形中，点，点.
[解析] 素养探究：
（1）由已知及题图得，求出，渗透了直观想象的素养；利用点斜式即可求出所在直线的方程，渗透了数学运算的素养.（2）根据当两直线垂直时，斜率之间的关系，求出，渗透了逻辑推理的素养；利用点斜式即可求出所在直线的方程，渗透了数学运算的素养.
（1） 求所在直线的方程；
[答案] 四边形是平行四边形，，
所在直线的斜率，
所在直线的方程为.
（2） 过点作，交于点，求所在直线的方程.
[答案] 由（1）知，，
所在直线的斜率，
所在直线的方程为.
[2020四川雅安中学高二月考] 如图，在中，点的坐标为(-1,1)，点的坐标为(4,6)，点在轴上，线段与轴相交于点，且.
（1） 求直线的方程（写成斜截式）；
[答案] 在中，点的坐标为(-1,1)，点的坐标为(4,6)，
直线的斜率，
直线的方程为，即.
（2） 求点的坐标.
[答案] 由（1）知，，，，
直线的方程为，令，得，
点的坐标为(2,0).
1. [2021山东临沂高二期中] 过点(2,-1)且方向向量为(1,2)的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
C
2. [2021山东滨州高二期末] 倾斜角为，在轴上的截距是-2的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
B
3. [2020北京高二学业水平合格考] 已知直线：，：，且，那么实数的值是( )
A. -2 B. C. D. 2
A
4. 若，则直线不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
B
5. [2021山西太原高二期中] 已知，，直线过点(2,0)且和直线平行，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
6. 设，如果直线：与直线：平行，那么( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. -2或1
D
7. 直线与垂直，则直线过点( )
A. (-1,2) B. (2,1) C. (1,-2) D. (1,2)
C
8. [2021河北邯郸鸡泽一中高二开学考] 的三个顶点为，，，则下列不是该三角形各边上的中线所在直线的方程的是( )
A. B.
C. D.
C
9. 已知等边三角形的两个顶点为，，且第三个顶点在第四象限，则边所在直线的方程是______________________.
10. 过点作直线与过，两点的直线垂直，则直线的方程为___________________.
11. （多选题）下列说法正确的有( )
A. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限
B. 直线过定点(3,2)
C. 过点(2,-1)且斜率为的直线的点斜式方程为
D. 斜率为-2，在轴上的截距为3的直线的方程为
BC
[解析] 因为直线经过一、二、四象限，所以直线的斜率，截距，故点在第二象限，所以A中说法错误；由整理得，所以无论取何值，(3,2)都满足方程，所以B中说法正确；由点斜式方程可知过点(2,-1)且斜率为的直线的方程为，所以C中说法正确；由斜截式方程可知斜率为-2，在轴上的截距为3的直线的方程为，所以D中说法错误.
12. 在同一平面直角坐标系中，直线总是在直线的上方，则实数的取值应该满足的条件是( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 因为直线之间的关系只有平行和相交，若两直线相交，则一定不满足题意，所以直线与直线平行，则.
又直线总是在直线的上方，所以直线在轴上的截距必大于直线在轴上的截距，即.
13. 的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
C
[解析] 因为，所以当时，，当时，，故A，，D均错误，C符合题意.
14. [2021山西大同一中高二期中] 若点关于直线的对称点是，则直线在轴上的截距是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
[解析] 点关于直线的对称点是，由中点坐标公式得和的中点的坐标为(-1,2)，代入得①，
直线的斜率为，直线的斜率，代入①得.
直线在轴上的截距是4.
15. [2021天津高二期中] 已知的顶点为，，.
（1） 求边上的中线所在直线的方程；
[答案] 由题意知AB的中点的坐标是(1,1)，
，中线所在直线的方程是，即.
[答案] ，，
高线所在直线的方程为，即.
（2） 求边上的高线所在直线的方程.
16. [2021山东济宁嘉祥一中高二期中] 已知在平面直角坐标系中的两点，.
（1） 求线段的中垂线的方程；
[答案] 易知线段的中点的坐标为(5,-2)，
又，线段的中垂线的斜率为，
由直线的点斜式方程可得线段的中垂线的方程为，
即.
[答案] 由已知得直线的斜率为，由直线的点斜式方程得直线的方程为，即.
（3） 一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在直线的方程.
（2） 求以向量为方向向量且过点的直线的方程；
[答案] 设关于轴的对称点为，易知的坐标为(-2,2)，
，则直线的方程为，即反射光线所在直线的方程为.
[解析] 命题分析 本题考查了直线方程的求解，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力.
答题要领 （1）先根据中点坐标公式得到线段的中点的坐标，再根据斜率公式求出，进而可得中垂线的斜率，然后根据点斜式求解.（2）易知直线的斜率为，利用点斜式求出方程即可.（3）根据对称知识可得点关于轴的对称点的坐标，进而可求出反射光线所在直线的方程.
解题感悟 本题解题的关键是利用直线的点斜式方程.(共47张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.2 直线的两点式方程
课标解读 课标要求 素养要求
1.掌握直线的两点式方程和截距式方程. 2.会选择适当的方程形式求直线的方程. 3.能用直线的两点式方程与截距式方程解决有关问题. 1.数学运算——会用直线的两点式方程与截距式方程求直线方
程.
2.直观想象——会利用图形理解截距的几何意义.
1.两点式的定义：
经过两点的直线的方程为，我们把它叫做直线的两点式方程，简称①_______.
两点式
2.截距式的定义：
直线：，我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是.方程由直线在两条坐标轴上的截距与确定，我们把方程叫做直线的截距式方程，简称②_________.
截距式
1.两点式方程与，的顺序有关吗？
2.若截距相等，则还成立吗？
提示 无关.
提示 不一定成立，截距相等有两种情况.若，则直线的方程为，故不成立；若，则直线的方程为，故成立.
1.在用两点式求直线的方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，在得到的方程中，包含了或的情况，故此转化过程不是一个等价的转化过程，不能忽略由和是否相等引起的讨论.若要避免讨论，则可以直接设成两点式的整式形式.
2.直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况，由直线的截距式方程可以直接知道直线在轴和轴上的截距，所以在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时，使用截距式非常方便.
探究点一 利用两点式求直线的方程
例 已知的三个顶点分别为.
（1） 求所在直线的方程；
[答案] 由，可得所在直线的两点式方程为，即.
（2） 求边上的中线所在直线的方程；
[答案] 设边上的中点为，由中点坐标公式可得，所以所在直线的两点式方程为，即.
（3） 求经过和的中点的直线的方程.
[答案] 易知的中点的坐标为的中点的坐标为(-4,2)，
所以所求直线的方程为，即.
解题感悟
当已知两点的坐标求过这两点的直线的方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件.若满足，则考虑用两点式求方程.
求过两点的直线的方程.
[答案] ①当时，直线的方程为；
②当时，直线的方程为，即.
当时，满足上式，
直线的方程为.
探究点二 求直线的截距式方程
例 [2021四川西昌高二期中] 已知直线过点(1,2)，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
C
[解析] 思路分析 设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，分情况讨论，利用直线的截距式方程可得结果.
设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为.
当时，直线经过原点，其方程为，即；
当时，设直线的方程为，因为直线过点(1,2)，
所以代入(1,2)得，解得，所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或，故选C.
变式 将本例条件变为在两坐标轴上的截距相等，其他条件不变，如何求解？
[答案] 当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线的方程为，代入(1,2)得，此时直线的方程为；
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为，把(1,2)代入得，即.
综上，所求直线的方程为或.
解题感悟
用截距式方程时需要注意以下三点：（1）若问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直.
（3）要注意截距式方程的逆向应用.
求过点(4,-3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程.
[答案] 设直线在轴，轴上的截距分别为.
①当时，设的方程为.
点(4,-3)在直线上，，
若，则，直线的方程为.
若，则，此时直线的方程为.
②当时，直线过原点，设直线的方程为，
直线过点(4,-3)，
代入(4,-3)得，即直线的方程为.
综上，所求直线的方程为或或.
探究点三 截距式方程的应用
例 （改编题）宜昌大剧院和宜昌奥体中心将是人们健康生活的最佳场所，若两处在同一平面直角坐标系中对应的点分别为，.假设至喜长江大桥所在的直线为：.
[解析] 思路分析 （1）根据题意，画出平面直角坐标系，求出点关于轴的对称点，根据两点之间线段最短，结合直线的方程，即可求解.
（2）写出所在直线的方程，利用基本不等式求解.
（1） 若，现为方便大家出行，计划在至喜长江大桥上的点处新增一出口通往两地，要使从处到两地的总路程最短，求点的坐标；
[答案] 如图，
点关于轴的对称点为，连接交轴于，此时从处到两地的总路程最短，为，此时所在直线的方程为，即.取，得，所以点的坐标为.
（2） 若的延长线交直线于点，求直线与两坐标轴围成的面积的最小值.
[答案] 由题意知所在直线的方程为，
因为点在上，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以.
解题感悟
求解与直线的方程有关的最值问题，一般先设出直线的方程，建立目标函数，再利用函数的性质、基本不等式求最值.
直线过点(4,1)，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求面积的最小值.
[答案] 设直线的方程为，
因为直线过点(4,1)，所以.又，则，当且仅当，即时取等号，所以.
1. 经过两点的直线的方程是( )
A. B.
C. D.
C
2. 若点在过点，的直线上，则( )
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
D
3. 过点(-1,1)和(3,9)的直线在轴上的截距为____________.
4. [2021四川成都为明学校高二月考] 已知在中，，，.
（1） 求边所在直线的方程；
[答案] 由两点式得，即，故BC边所在直线的方程是.
[答案] 设的中点为，
则，所以，又边上的中线过点，
所以，即，
所以边上的中线所在直线的方程为.
（2） 求边上的中线所在直线的方程.
1. 经过与两点的直线的方程为( )
A. B. C. D.
B
2. 若直线过第一、三、四象限，则( )
A. B.
C. D.
B
3. 已知直线的两点式方程为，则的斜率为( )
A. B. C. D.
A
4. 过点(-2,0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的方程是( )
A.
B.
C.
D. 或
D
5. 已知，则的边上的中线所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
C
6. 一条光线从点射到点后被轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
B
7. [2021山东德州夏津一中高二月考] （多选题）下列关于直线的方程，叙述不正确的是( )
A. 经过定点的直线都可以用方程表示
B. 经过任意两个不同点的直线都可以用方程表示
C. 不经过原点的直线都可以用方程表示
D. 经过定点的直线都可以用方程表示
ACD
8. [2021江西南昌新建一中高二月考] 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
D
9. 过点的直线分别与两坐标轴交于，两点，若为线段的中点，则直线的截距式方程是_________________.
10. 直线过原点且平分平行四边形的面积，若平行四边形的两个顶点为，，则直线的方程为_______________.
[解析] 由题意可知线段BD的中点的坐标为(3,2)，所以由两点式可得直线的方程为，即.
11. （多选题）下列说法正确的是( )
A. 点(2,0)关于直线的对称点为(-1,3)
B. 过两点的直线方程为
C. 经过点(1,1)且在轴和轴上的截距相等的直线的方程为或
D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
ACD
[解析] 点(2,0)与(-1,3)所连线段的中点的坐标为，满足，并且两点连线的斜率为-1，所以点(2,0)关于直线的对称点为(-1,3)，所以A中说法正确；当时，过两点的直线的方程为，所以B中说法不正确；经过点(1,1)且在轴和轴上的截距相等的直线的方程为或，所以C中说法正确；在中，当时，，当时，，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，所以D中说法正确.
12. [2021四川泸州泸县四中高二开学考] 已知直线过点，且与轴的正半轴分别交于，两点.若的面积为12（为坐标原点），则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 设直线的方程为，
则的面积为①.
因为直线过点，所以②.
联立①②，解得，故直线l的方程为，
即.
13. [2021吉林长春高二月考] 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
D
[解析] ①当直线过原点时，由题意可得直线的斜率为，故直线的方程为；
②当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点得，解得，故直线方程为.综上，所求直线的方程为或.
14. [2020安徽高二联考] 已知，若点在线段（不含端点）上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
A
[解析] 由可得直线的方程为，即，
因为点在线段（不含端点）上，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立.
15. 已知的三个顶点为.
（1） 求边所在直线的方程；
[答案] 因为，，
所以由直线的两点式方程可得边所在直线的方程为，即.
（2） 求边上的中线所在直线的方程.
[答案] 设的中点为，由，得的中点的坐标为，即，则边上的中线所在直线的方程为，即.
16. [2021安徽滁州定远重点中学高二月考] 已知直线：和点，点为第一象限内的点且在直线上，直线交轴的正半轴于点为坐标原点.
[解析] 命题分析 本题主要考查了直线方程的求法以及三角形面积的最值问题，还考查了转化思想、运算求解的能力.
答题要领 （1）先根据得到，再根据直线过点求解.（2）设点的坐标为，点的坐标为，当直线的斜率不存在时，，可得的面积；当直线的斜率存在时，根据共线得到，然后由三角形的面积公式求解.
（1） 当时，求直线的方程；
[答案] 点，
又.
直线过点，直线的方程为，即.
[答案] 设点的坐标为，点的坐标为，
当直线的斜率不存在时，，
此时的面积；
当直线的斜率存在时，，
解得，故点B的坐标为，
故的面积，
（2） 求面积的最小值，并求当面积取最小值时，点的坐标.
即.①
由题意可得方程有解，
故，，
故的最小值为40，此时①为，解得，.
综上可得，面积的最小值为40，当的面积取最小值时，点的坐标为(10,0).
解题感悟 求直线的方程时方程形式的选择技巧：（1）已知一个点的坐标，求过该点的直线的方程时，通常选用点斜式方程；（2）已知直线的斜率和在y轴上的截距时，通常选用斜截式方程；（3）已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程；（4）已知直线上的两点时，通常选用两点式方程.(共54张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
课标解读 课标要求 素养要求
1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化. 3.能用直线的一般式方程解决有关问题. 1.数学抽象——根据一般式方程与二元一次方程抽象出两者的关系.
2.逻辑推理——能够通过推理，进行直线的一般式方程与特殊形式的转化.
定义：关于的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于的二元一次方程（其中不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称____________.
一般式
当或或时，方程分别表示什么样的直线？
提示 若，则，表示与轴垂直的一条直线；若，则，表示与轴垂直的一条直线；若，则，表示过原点的一条直线.
1.直线的一般式方程的结构特征
（1）方程是关于的二元一次方程.
（2）方程中等号的左侧自左向右一般按，常数的顺序排列.
（3）的系数一般不为分数和负数.
（4）虽然直线的一般式方程有三个参数，但是只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
2.直线的一般式方程与特殊形式的互化
（1）若且（或）.
（2）若.
3.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线：（不同时为0），直线：（不同时为0）.
4.与已知直线平行和垂直的直线方程的求法
（1）与直线（，不同时为0）平行的直线的方程可设为.
（2）与直线（，不同时为0）垂直的直线的方程可设为.
探究点一 求简单的一般式方程
例 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.
[解析] 思路分析 根据已知条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程.
（1） 斜率是，且经过点；
[答案] 由点斜式方程得，即.
（2） 斜率为4，在轴上的截距为-2；
[答案] 由斜截式方程得，即.
（3） 在轴上的截距为3，且平行于轴；
[答案] 由题意得，即.
（4） 经过两点；
[答案] 由两点式方程得，
即.
（5） 在轴上的截距分别是-3、-1.
[答案] 由截距式方程得，即.
解题感悟
在求直线方程时，直接求一般式方程有时并不简单，常用的还是先根据给定条件选用特殊形式求方程，然后转化为一般式.
提醒：在利用直线方程的特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件.
分别写出符合下列条件的直线方程，并且化成一般式.
（1） 经过点(2,-4)，且与直线平行；
[答案] 设与直线平行的直线的方程为，将点(2,-4)代入得，所以.故所求直线的一般式为.
（2） 经过点(3,2)，且与直线垂直.
[答案] 设与直线垂直的直线的方程为，将点(3,2)代入得，解得.故所求直线的一般式为.
探究点二 含参数的一般式方程
例 设直线的方程为.
（1） 若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
[答案] 当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距都为零，显然相等，
则，
，即的方程为；
当直线不过原点，即时，其方程可化为，由在两坐标轴上的截距相等得，即，，即的方程为.
综上，的方程为或.
（2） 若不经过第二象限，求实数的取值范围.
[答案] 将的方程化为，
欲使不经过第二象限，当且仅当或
.
综上可知，的取值范围是.
[答案] 由整理得，
因为恒成立，所以解得
所以直线恒过定点(1,-3).
变式本例条件不变，试问：直线恒过哪个定点？
解题感悟
（1）在已知条件中出现“截距相等”“截距互为相反数”或“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考虑，不要漏掉过原点的情况.（2）由直线的一般式方程（不同时为0）求直线在两坐标轴上的截距时，令，得纵截距；令，得横截距.由两截距的位置可知直线的位置.
设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值.
（1） 直线的斜率为-1；
[答案] 直线的斜率存在，直线的方程可化为.
由题意得，解得.
（2） 直线在轴，轴上的截距之和等于0.
[答案] 直线的方程可化为，由题意得，解得.
探究点三 用一般式方程解决两直线平行或垂直问题
例 已知直线：与：.
（1） 若这两条直线垂直，求的值；
[答案] 根据题意得，解得，
若这两条直线垂直，则.
（2） 若这两条直线平行，求的值.
[答案] 根据题意得，解得或.经检验，均符合题意，
若这两条直线平行，则或.
1. [2021山东济宁高二期末] 已知直线与直线平行，则实数的值为( )
A. B. C. 6 D. -6
D
[解析] 因为直线与直线平行，所以，解得.
2. 当直线：与直线：互相垂直时，____________.
[解析] 由题意知直线，解得，
将代入方程，均满足题意.
故当或时，.
1. 如果表示的直线是轴，那么系数，，应满足的条件是( )
A. B.
C. 且 D. 且
D
[解析] 易知轴用方程表示为，所以应满足的条件为.
2. [2021湖北武汉华科附联考体高二期中] 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
A
[解析] 化为斜截式方程为，可知该直线的斜率，因为，所以.
3. 直线与直线互相垂直，则实数的值为_______.
12
[解析] 两条直线互相垂直，，解得.
4. [2021山西太原高二期中] 已知直线经过点，在两坐标轴上的截距相等且不为0.
（1） 求直线的方程（写成一般式）；
[答案] 设直线的方程为，代入点得，
解得，
所以直线的方程为，即.
（2） 若直线，且过点，求直线的方程（写成一般式）.
[答案] 由（1）知直线的斜率为-1，
由得直线的斜率.又直线过点，
则直线的方程，即.
直观想象、数学运算——在直线方程中的应用
1. [2021辽宁抚顺高二期末] 已知直线的方向向量为.
[解析] 素养探究：（1）由直线的方向向量为可得直线的斜率为2，渗透了直观想象的素养；设直线的倾斜角为，则，然后利用二倍角的正切公式可求出直线的斜率，从而可求出直线的斜截式方程，渗透了数学运算的素养.（2）由题意可得直线的斜率为，从而可求出直线的方程，渗透了数学运算的素养.
（1） 求过点且倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线的斜截式方程；
[答案] 因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为2.设直线的倾斜角为，则，
设直线的斜率为，则.
因为直线过点，所以直线的斜截式方程为.
[答案] 因为直线，所以直线的斜率为，
因为直线过点，所以直线的方程为，即，
所以直线的一般式方程为.
（2） 求过点且与直线垂直的直线的一般式方程.
已知中，点的坐标为(1,2).
（1） 若过点的中线所在直线的方程为，平行于边的中位线所在直线的方程为，求点的坐标及过点且与边平行的直线的方程；
[答案] 因为过点的中线所在直线的方程为，所以可设，
因为，所以的中点的坐标为，又该中点在直线上，
所以，解得，即的坐标为(4,6)，
所以过点且与边平行的直线的方程为，即.
（2） 若平行于边的中位线所在直线的方向向量为，求过点且与该中位线垂直的直线的方程.
[答案] 由已知得中位线所在直线的斜率为-2，所以直线的斜率为，又该直线过点，所以直线的方程为，
即.
1. 直线恒过一定点，则此定点为( )
A. (-2,1) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,1)
A
2. [2021四川内江资中二中高二月考] 已知直线：的横截距与纵截距相等，则的值为( )
A. 1 B. -1 C. -1或2 D. 2
C
3. [2021山东济南回民中学高二期中] 斜率为-3，且在轴上的截距为2的直线的一般式方程是( )
A. B.
C. D.
C
4. [2021山东临沂高二期中] （多选题）下列说法正确的是( )
A. 直线必过定点(2,1)
B. 直线在轴上的截距为-2
C. 直线的倾斜角为
D. 若将直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后回到原来的位置，则直线的斜率为
ACD
5. [2021贵州遵义航天中学高二月考] 过点，且垂直于直线的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
B
6. [2021北京育英学校高二期末] 已知直线与直线平行，则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
[解析] 因为直线与直线平行，所以，解得，满足题意，故.
7. [2020浙江6月学业水平适应性考试] 过点，且与直线平行的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
8. [2021湖北宜昌秭归一中高二期中] 已知直线过定点，直线过定点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
A
9. 已知直线，则该直线过定点___________；若该直线不经过第一象限，则的取值范围是________________.
(0,-6)
10. [2021上海金山中学高二期中] 设直线：，其倾斜角为，若，则的取值范围为______________________.
或
11. 已知直线：与两坐标轴交于，两点，且点是线段的中点，则实数的值为( )
A. B. 0 C. D. 2
B
[解析] 设，将直线的方程化为，由得直线过定点(-1,-2)，即点在直线上，又为线段的中点，由中点坐标公式可得，将点代入直线的方程得，.
12. 设，则“”是“直线和直线平行”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
[解析] 当时，两条直线的方程分别是和，此时两条直线平行成立，反之，当两条直线平行时，有且，即或（舍去），故，所以“”是“直线和直线平行”的充要条件.
13. 设，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 由得，又的横坐标为2，且，为线段AB中垂线上的点，故.又直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，两直线的斜率互为相反数，故直线的斜率，直线的方程为，即.
14. 设直线的方程为，根据下列条件分别求的值.
（1） 直线在轴上的截距为1；
[答案] 易知直线过点，解得或.
时，直线的方程为，不符合题意，.
（2） 直线的斜率为1.
[答案] 由斜率为1得
解得.
15. [2021福建厦门一中高二月考] 已知的三个顶点是.
（1） 求过点且与垂直的直线的方程；
[答案] 因为，且直线与垂直，
所以直线的斜率，
所以直线的方程是，即.
（2） 若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程.
[答案] 因为直线过点，且点，到直线的距离相等，
所以直线与平行或过的中点.
当直线与平行时，因为，所以直线的方程是，即.
当直线过的中点时，因为的中点的坐标为(0,2)，
所以，所以直线的方程是，即.
综上，直线的方程是或.
16. [2021北京教师进修学校附属实验学校高二期中] 已知直线：，直线交轴于点，交轴于点，坐标原点为.
[解析] 命题分析 本题考查了直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题，第二问主要利用基本不等式求出最值，第三问的关键是将问题转化为两函数图象的交点问题，从而利用数形结合的方式求出.
答题要领 （1）把的方程化为，根据恒等式的性质建立方程组求定点；（2）分别求出直线在轴和轴上的截距，写出面积，利用基本不等式求出最值；（3）根据的表达式，将待求问题转化为直线与曲线的交点个数问题，利用图象求解.
（1） 证明：直线过定点；
[答案] 证明：直线的方程可变形为，由得直线过定点(-2,1).
[答案] 当时，；当时，，
，
由题意知解得，则，
（2） 若直线在轴上的截距小于0，在轴上的截距大于0.设的面积为，求的最小值及此时直线的方程；
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为4，此时直线的方程为.
（3） 直接写出的面积在不同取值范围下的直线的条数.
[答案] 由（2）可知，
令，则直线的条数等价于曲线与直线的交点个数，
画出函数图象，由图可知，当时，直线有2条；
当时，直线有3条；
当时，直线有4条.
解题感悟 （1）直线过定点问题常根据恒等式转化为方程求解，也可以转化为点斜式求解.（2）涉及面积的最值问题，一般先确定目标函数，再利用基本不等式或函数的性质求解.
