(共46张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
课标解读 课标要求 素养要求
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 2.通过两直线的交点和二元一次方程组的联系，认识事物之间的内在的联系. 1.数学抽象——能抽象出两直线交点和二元一次方程组的联系.
2.逻辑推理——能根据方程组的个数判定两条直线的位置关系.
已知两条直线，，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上，所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
1.若方程组有解，则两直线一定相交吗？
提示 不一定，当方程组有无数组解时，两直线重合；当方程组有一组解时，两直线相交.
提示 点在，上，由已知得且，所以，都在直线上，所以过点，两点的直线的方程是
2. 若直线和直线的交点是，则点在，上吗？由此能求出过，两点的直线的方程吗？
1.两直线的位置关系
一组 无数组 无解
一个 无数个 零个
相交 重合 平行
方程组
2.两直线的位置关系与系数的关系
探究点一 两直线相交的判定、求交点坐标
例 讨论直线，的位置关系，若相交，则求出交点的坐标.
[解析] 思路分析 联立方程，分情况讨论即可.
[答案] 联立得.
①当，即时，方程组有无穷多解，与重合；
②当，即时，方程组无解，；
③当，即时，
方程组只有一组解，为，此时与相交.
综上，时，与重合；时，；且时，与相交，交点的坐标为.
解题感悟
两直线相交的判定方法：
（1）联立方程，若该方程组有唯一解，则两直线相交；
（2）两直线的斜率都存在且不相等；
（3）两直线的斜率一个存在，另一个不存在.
[2021北京四中高二期中] 若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为( )
A. (-6,-2) B.
C. D.
C
[解析] 直线与的交点在第四象限，
，联立方程得，解得，
，解得.
探究点二 两直线相交的应用
类型1 求过交点的直线的方程
例1 求过直线和的交点，且斜率为3的直线的方程.
[答案] 联立得，解得，所以两直线的交点的坐标为(-1,0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即.
[解析] 思路分析 先求交点的坐标，再利用点斜式求解.
解题感悟
求过两直线的交点的直线的方程，一般是先解方程组求出交点的坐标，再结合其他条件写出直线的方程.
类型2 根据交点求参数的值或取值范围
例2
（1） 若三条直线，，相交于一点，则 _______.
-2
[解析] 联立得，解得，即两直线的交点的坐标为(2,-2).
又点(2,-2)也在直线上，将其代入得，解得.
（2） 直线与直线有且只有一个交点，则的取值范围是_________________ .
[解析] 当两直线与平行时，，
此时方程组无解，又两直线不重合，所以当方程组有且只有一组解时，.
解题感悟
利用交点求参数的值或取值范围的关键是求交点的坐标，然后根据交点的坐标建立方程求解.
1. 若直线经过原点，且经过两直线，的交点，则直线的方程为___________________.
[解析] 设所求直线的方程为，即，
因为过原点，所以把，代入，解得，故所求直线l的方程为.
2. 若两直线和的交点在轴上，则____________.
[解析] 在中，令，得，将代入，解得.
3. 已知直线与直线的交点位于第四象限，则的取值范围是________________.
[解析] 联立得，解得，
，
.
探究点三 点关于线、线关于线的对称问题
例 过点的光线在直线上反射后的反射光线经过点，试求入射光线和反射光线所在直线的方程.
[解析] 思路分析 先求点关于直线的对称点，再由点斜式求直线的方程.
[答案] 设点关于直线的对称点为，则，
解得，所以.
因为反射光线经过点和，
所以反射光线所在直线的方程为，即.
联立得，解得，所以反射点的坐标为，
所以入射光线所在直线的方程为.
综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为，.
解题感悟
（1）点关于直线的对称问题，一般是利用垂直关系与中点在直线上，建立方程组求解.
（2）求直线关于直线对称的直线的方程的方法是转化为点关于直线对称，在上任取两点和，求出，关于直线的对称点，再用两点式或点斜式求出的方程.
已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为
( )
A. B.
C. D.
A
1. 下列各直线中，与直线相交的是( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 直线的斜率为2，D选项中的直线的斜率为-2，两直线相交，故D正确.
2. [2021 北京新学道临川学校高二期中] 直线和直线的交点的坐标是( )
A. (-2,-1)， B. (-1,-2) C. (1,2) D. (2,1)
B
[解析] 联立得，解得，所以直线和直线的交点的坐标是(-1,-2).
3. 已知直线与直线垂直，且相交于点，则_______.
-9
[解析] 由两直线垂直得，解得.又点在两直线上，所以，，所以，，所以.
4. 已知直线，相交于点.
（1） 求点的坐标；
[答案] 联立得，解得， 两直线的交点的坐标为(-2,2).
（2） 求过点且与直线垂直的直线的方程.
[答案] 直线的斜率为，直线的斜率为-2，故所求的直线的方程为，即.
1. 直线和直线的交点的坐标为
( )
A. (-4,-3) B. (4,3) C. (-4,3) D. (3,4)
C
2. 若直线，，交于一点，则的值为
( )
A. B. C. D.
C
3. [2021安徽皖北名校高二第二次联考] 斜率为2，且过直线和直线的交点的直线方程为( )
A. B.
C. D.
A
4. 若关于，的方程组无解，则( )
A. B. C. 2 D. -2
A
5. 已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且，则直线与的交点的坐标为( )
A. (-1,2) B. (1,2) C. (2,1) D. (-2,3)
C
6. 若一束光线沿直线入射到直线上后反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
7. [2020黑龙江伊春伊美二中高二月考] 过直线和直线的交点且与直线平行的直线方程是( )
A. B.
C. D.
B
8. [2020四川凉山州西昌高二期中] 已知直线与直线，且，则直线与直线的交点的坐标是_______________.
9. 直线与的交点关于直线的对称点为，则直线的方程为______________________.
[解析] 由两直线的方程得，设直线的斜率为，则，且直线过的中点，又，则，且的中点为(1,6)，所以直线的方程为，即.
10. （多选题）已知直线与，则下列说法正确的是( )
A. 与的交点坐标是(0,-1)
B. 过与的交点且与垂直的直线的方程为
C. 、与轴围成的三角形的面积是
D. 的倾斜角是锐角
BC
[解析] 联立与，解得交点坐标为(-1,4)，所以A中说法错误；
由所求直线与直线垂直得所求直线的斜率为，由点斜式得，即，所以B中说法正确；
、与轴围成的三角形的面积，所以C中说法正确；
的斜率，所以的倾斜角是钝角，所以D中说法错误.
11. [2021安徽阜阳太和一中高二月考] 经过直线和直线的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
( )
A.
B.
C. 或
D. 或
C
[解析] 设所求直线的方程为，
即，
令，得，
令，得，
由得或，
所以所求直线的方程为或.
12. 已知直线，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为( )
A. B. (-2,2)
C. D.
C
[解析] 将直线的方程变形得.
由，得，
直线恒过点，
，，
由图可知直线的斜率的取值范围是或，
易知，
或，即或，
又时，直线仍与线段相交，
的取值范围为.
13. [2021浙江嘉兴一中高二月考] 已知直线经过直线与直线的交点，且与直线垂直.
（1） 求直线的方程；
[答案] 联立得，解得，则.
直线的斜率，设直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，
所以，解得，因为直线经过点，所以直线的方程为，即.
[答案] 直线与轴的交点为(-1,0)，与轴的交点为(0,-2)，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
（2） 求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
14. [2021四川凉山州高二期末] 如图，中，顶点，边所在直线的方程为，边的中点为.
（1） 求边所在直线的方程；
[答案] 边的中点为，
边所在直线的方程为，
即.
[答案] ，点在线段的中垂线上，
由，得，
即的坐标为(2,-1)，又点，
边所在直线的方程为，即.
（2） 若，求边所在直线的方程.(共59张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
课标解读 课标要求 素养要求
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式. 2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题. 1.数学抽象——从具体实例中抽象出平面上两点间的公式.
2.逻辑推理——会推导平面上两点间的距离公式.
3.数学运算——会求出两点间的距离.
1.两点间的距离公式：
两点间的距离公式为.
2. 利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量.
第二步：进行有关代数运算.
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
2.在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点，以方便居住在两个小区的住户的出行，如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？这个最小值如何求？
提示 .
1.已知点，点，，则、两点间的距离是多少？
提示 采用坐标法，以公路为 轴，建立平面直角坐标系，如图， ， 是两个小区，作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则公交站点 设置在 时， 到两个小区的距离之和最小，写出 ， 的坐标，求出 的坐标，利用两点间的距离公式求解.
1.用两点间的距离公式时需要注意以下几点
（1）此公式与两点的先后顺序无关，也就是说，公式也可写成.
（2）当直线平行于轴时，.
（3）当直线平行于轴时，.
2.用坐标法解决平面几何问题时，关键是结合图形的特征，建立适当的平面直角坐标系.
探究点一 求两点间的距离
例 （1） 求直线与两坐标轴的交点之间的距离；
[答案] 易知直线与轴的交点为(-1,0)，与轴的交点为，
两交点之间的距离.
（2） 求直线被两条平行直线和截得的线段的长.
[答案] 联立得，得交点坐标为(1,1)，联立得，得交点坐标为(2,2)，
所求线段的长为.
解题感悟
两点间的距离公式适用于任意两点，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷.
已知两点和，则_______________.
[解析]
探究点二 两点间距离公式的应用
类型1 求参数
例1 已知点，，，且，则的值是
( )
A. -2 B. 2 C. D.
C
[解析] 思路分析 根据平面直角坐标系上任意两点间的距离公式计算即可.
因为点，，，且，
所以，解得，故选C.
解题感悟
已知距离求参数，一般通过两点间的距离公式建立方程求解，但是求出的值需要检验.
类型2 判断三角形的形状
例2 已知点，（(-4,-3)，，求证：是等腰三角形.
[解析] 思路分析 根据已知条件及两点间的距离公式分别求出，，的值，得出，再由，，三点不共线，即可证明是等腰三角形.
，
又，，
，，三点不共线，
是等腰三角形.
[答案] 证明 ，，，
，
，
，
解题感悟
判断三角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长，再结合三角形的性质判断.
1. 已知点与点之间的距离为，则的值为__________.
9或-5
[解析] 由题意得，即，解得，.故x的值为9或-5.
2. 已知的顶点为，，.
（1） 求边上的高所在直线的方程；
[答案] 直线的斜率，边上的高所在直线的斜率，边上的高所在直线的方程为，即.
[答案] 证明：，，，
，且，
为等腰直角三角形.
（2） 证明：为等腰直角三角形.
探究点三 坐标法的应用
例 在中，是边上的中线，用坐标法求证：.
[答案] 证明 以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，设，，，其中，
则，，故.
解题感悟
用坐标法证明平面几何问题的注意事项：
（1）用坐标法证明平面几何问题时，首先要根据题设条件建立适当的平面直角坐标系，然后根据题中所给的条件，设出已知点的坐标；
（2）根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标；
（3）在证明过程中要不失一般性.
1. 用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.
[答案] 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，
设，则的中点的坐标为.
，
，
，
，即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.
2. 如图，和是在直线同侧的两个等边三角形.用坐标法证明：.
[答案] 证明 以点为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设和的边长分别为和，
则，，，，
，
.
1. 已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是(3,4)，则线段的长为( )
A. 10 B. 5 C. 8 D. 6
A
[解析] 设，，则，，即，，所以.
2. 到，两点的距离相等的动点的轨迹方程是______________________.
[解析] 设，则，即.
3. 已知点，，是以为底边的等腰三角形，点在直线上.
（1） 求边上的高所在直线的方程；
[答案] 由题意可知，为的中点，，所以，，
所以所在直线的方程为，即.
[答案] 联立得，解得，
所以.
因为，且由（1）知，
所以，
，
所以.
（2） 求的面积.
直观想象、逻辑推理——在解决距离最值问题中的应用
1. 设直线，其中，是点到直线上任意一点的距离，试问：是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
[答案] 将直线的方程变形为，
对于，此方程恒成立，则，解得，
即直线恒过直线和直线的交点.
由图可知，对于任何一条过点的直线上的一点，点到它的距离不超过，
因为过点且垂直于的直线的方程是，且无论取任何实数，直线都不能表示为，
所以，
所以不存在最大值.
[解析] 素养探究：根据直线只含一个参数，可以将其方程以参数进行整理，然后运用恒等式，求出定点，渗透了逻辑推理的素养;结合图形得，再探究是否存在最大值，渗透了直观想象的素养.
[2021重庆高二月考] 已知，，点为直线上的一个动点，则的最小值为_____________ .
[解析] 由题意知A、两点在直线的同侧.
设关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，，
关于直线的对称点的坐标为(-1,-2)，故当点C为直线和
直线的交点时，取得最小值，为.
1. [2021安徽蚌埠田家炳中学、蚌埠五中高二期中联考] 已知三角形的三个顶点为，，，则过点的中线的长为( )
A. B. C. D.
B
2. [2021北京新学道临川学校高二期中] 已知点，，且，则实数等于( )
A. 1 B. 3 C. 1或3 D. -1或3
C
3. [2021天津师大附中高二第一次月考] 已知过点，的直线的斜率为，则等于( )
A. 10 B. 180 C. D.
D
4. 已知两点和之间的距离大于，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. 或 D.
B
5. [2021江苏南京高二期中] 已知，，则的最大值为( )
A. B. 2 C. 4 D.
B
6. [2021福建厦门大同中学高二期中] 以点，，为顶点的三角形是( )
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形 D. 直角三角形
D
7. 在直线上取一点，使它到点，的距离相等，则点的坐标为_______________.
8. 已知在正方形中，，分别是，的中点，，相交于点，用坐标法求证：.
[答案] 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则，，，，，.
易得直线的方程为，
直线的方程为，
联立得，
解得，，
即点，
所以.
9. （多选题）已知点，，到，的距离相等，则下列说法正确的是( )
A.
B. 直线的方程是
C. 直线的方程是
D. 满足条件
AD
[解析] 因为，，所以，所以A中说法正确；
直线的方程为，即，所以、C中说法错误；
由点到，的距离相等可知，即，所以D中说法正确.
10. [2021云南丽江一中高二月考] 已知点，，直线，在直线上找一点，使得的值最小，则这个最小值为
( )
A. B. C. D.
B
[解析] 设关于直线的对称点为，
则，
，
.
11. [2021天津武清天和城实验中学高二期中] 已知，则的最小值是________.
-10
[解析] 可转化为点到点，的距离之差，当，，三点不共线时，有，当，，三点共线时，有，
故，即，当且仅当点为直线与轴的交点时，取得最小值-10，即原式取得最小值-10.
12. 已知直线恒过定点.
（1） 求点的坐标；
[答案] 将整理为，
令，故点A的坐标为(2,1).
[答案] 点与点关于轴对称，
点的坐标为(-2,1)，
点是直线上一动点，
设，
，故当时，取得最小值，为.
（2） 若点与点关于轴对称，点是直线上一动点，求的最小值.
13. [2021山东潍坊高二期中] 某工厂（看作一点）位于两条高速公路（看作两条直线）与之间.已知，，以为坐标原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
[解析] 命题分析 本题考查了直线方程、中点坐标公式、两点间的距离公式以及运算求解的能力.
答题要领
（1）求出直线的斜率，即可写出直线的方程;
（2）根据中点坐标公式求出的坐标，即可计算的长.
（1） 求直线的方程；
[答案] 因为，所以直线的斜率，
所以直线的方程为.
[答案] 设，，
因为为线段的中点，且在上，
（2） 现紧贴工厂修建一条公路（看作直线）连接高速公路和，与的连接点为，与的连接点为，且恰为线段的中点，求线段的长.
所以，解得，
所以.
解题感悟 利用两点间的距离公式解决实际问题，关键是先求出两点的坐标，再根据两点间的距离公式求解.(共68张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
课标解读 课标要求 素养要求
1.会用向量推导点到直线的距离公式. 2.探索并掌握点到直线的距离公式,能用点到直线的距离公式解决有关的距离问题. 3.会求两条平行直线间的距离. 1.数学抽象——能理解点到直线的距离公式.
2.逻辑推理——能推导出点到直线的距离公式.
3.直观想象——能够直观想象几何中的距离问题.
1.点到直线的距离公式：
点到直线的距离，就是从点到直线的垂线段的长度，其中是垂足.因此，点到直线：的距离.
2.两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.求两条平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离.
1.点到直线的距离是多少？能用点到直线的距离公式求解吗？
能用，由已知得直线为，所以.
提示 如图，易知点到直线的距离为.
2.找出下图中的公垂线段，并结合图形说明什么是公垂线段.
提示，公垂线段就是和两条平行直线都垂直、相交的线段.
1.用点到直线的距离公式时应注意以下两点
（1）直线的方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
（2）当点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
（1）点到轴的距离；
（2）点到轴的距离；
（3）点到直线的距离；
（4）点到直线的距离.
2.几种点到特殊直线的距离
（1）利用“化归”法将两条平行直线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
（2）直接利用两条平行直线间的距离公式，当直线：，：，且时，；当直线：，：，且时，.
3.求两条平行直线间的距离的两种思路
探究点一 求点到直线的距离
例（1） [2021广东佛山一中高二期中] 已知，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 易知直线的斜率，故直线的方程为，即，所以点到直线的距离为，故选B.
（2） （原创题）点到直线的距离为______.
5
[解析] 由已知得，
所以点到直线的距离为.
[解析] 思路分析
（1）先利用题中所给的点求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式求得结果；（2）先把直线方程变为一般式，再根据点到直线的距离公式直接求解即可.
变式 把本例（2）改为求点到直线的距离的最大值.
[答案] 点到直线的距离
，
所以当时，.
故所求距离的最大值为.
解题感悟
点到直线距离的求解方法：（1）求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）求距离的最值常用函数的性质或基本不等式求解.
[2021黑龙江哈尔滨师大附中高二开学考] 已知的顶点为，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.
（1） 求顶点，的坐标；
[答案] 设点（），则点，
由已知得
故点B的坐标为(-1,-3).
设，由已知得
则点的坐标为(4,3).
（2） 求的面积.
[答案] 由（1）知、，
，
且，
直线的方程为，即，
边上的高，
故.
探究点二 点到直线的距离公式的应用
类型1 求参数的值或取值范围
例1
（1） [2021山东德州夏津一中高二月考] 已知点到直线：的距离为，则_______.
[解析] 由点到直线的距离公式得，解得.
（2） 已知点到直线的距离不大于3，则的取值范围是_________.
[解析] 点到直线的距离为.
又，
所以，
解得，
所以的取值范围是.
解题感悟
求参数的值或取值范围的方法：利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程（组）或不等式，通过解方程（组）或不等式求解.
类型2 求直线的方程
例2 [2021福建厦门二中高二月考] 已知直线恒过定点.若直线经过点，且坐标原点到的距离等于2，求的方程.
[答案] 易知直线恒过定点，因为直线经过点，所以当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又坐标原点到直线的距离等于2，所以成立.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则坐标原点(0,0)到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
解题感悟
求直线方程的问题，先巧设直线的方程，再利用点到直线的距离公式建立方程求解，但要注意讨论斜率是否存在.
1. 点到直线的距离大于3，则实数的取值范围为 ( )
A. B.
C. 或 D. 或
C
[解析] 根据题意得，即，解得或，故选C.
2. 过点，且与点，的距离相等的直线的方程是
( )
A. B.
C. 或 D. 或
C
[解析] 由题意得满足条件的直线的斜率存在，所以可设所求直线的方程为，即，因为该直线与点，的距离相等，
所以，所以，所以或，
所以所求直线的方程为或.
3. 若点到直线的距离等于4，则的值为____________.
2或
[解析] 由题意得或.
探究点三 两条平行直线间的距离
例 已知两条平行直线：与直线：，求与间的距离.
[解析] 思路分析 先根据两条直线平行求出的方程，再根据两平行直线间的距离公式求解，也可以转化为点到直线的距离求解.
[答案] 解法一：因为，所以，解得，所以的方程为，根据题意把的方程化为，
所以与间的距离.
解法二：由解法一知的方程为，在直线：上取点(1,0)，
则与间的距离.
解题感悟
求两条平行直线间的距离的方法：（1）直接利用两条平行直线间的距离公式；（2）若转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，则取点一般要特殊化，如直线与坐标轴的交点，坐标为整点.
1. 直线与直线的距离为，则的值为___________.
-9或11
[解析] 由两条平行直线间的距离公式得，解得或.
2. [2021山东济南高二期末改编] 已知动点在直线：上运动，动点在直线：上运动，且，则的最小值为__________.
[解析] 因为，所以，解得，
所以：，设间的距离为，则，
由平行线的性质知的最小值为.
1. 点到直线：的距离是( )
A. 3 B. C. 1 D.
B
[解析] 点到直线的距离，选B.
2. 直线与直线的距离为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 可变形为，则两直线平行，两直线间的距离.
3. 两直线和平行，则它们之间的距离为______.
[解析] 由题意得，将变形为，
由两条平行直线间的距离公式得距离.
4. 已知直线在两坐标轴上的截距相等且不为零，点到直线的距离为，求直线的方程.
[答案] 设所求直线的方程为.
由题意知，解得或，所以所求直线的方程为或.
直观想象、数学运算——在平面图形面积问题中的应用
1. [2021四川成都石室中学高二月考] 如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为3，宽为2，边分别在轴，轴的正半轴上，点与坐标原点重合.将该矩形折叠，使点落在线段上，已知折痕所在直线的斜率为.
[答案] 设折痕所在直线的方程为，折叠后点落在线段上的点处，其中，连接交于点，则，
解得
折痕所在直线的方程为.
（1） 求折痕所在直线的方程；
（2） 若点为的中点，求的面积.
[答案] 由（1）知，折痕所在直线的方程为，
，
.
点为的中点，，
点到折痕的距离，
的面积.
素养探究：
（1）设折痕所在直线的方程，折叠后点落在线段上的点处，其中，由折痕垂直平分可列出关于和的方程组求解，渗透了直观想象、数学运算的素养.（2）由两点间的距离公式求得线段的长，再由点到直线的距离公式求得点到折痕的距离，最后代入面积公式计算即可，渗透了数学运算的素养.
[2021北京八一学校高二期中] 已知平行四边形的两条对角线交于点，其中，.
[答案] 设，由题意可得是的中点，
解得，
则点的坐标为，
所在直线的方程为，即.
（1） 求点的坐标及所在直线的方程；
[答案] 由（1）及题意可得，
点到直线的距离为，
平行四边形的面积为.
（2） 求平行四边形的面积.
1. [2021北京怀柔一中高二期中] 两条平行直线：与：之间的距离为( )
A. B. 1 C. D.
A
2. [2021北京怀柔一中高二期中] 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是( )
A. 1 B. C. 2 D.
B
3. [2021河北张家口尚义一中高二期中] 若点到直线：的距离为2，则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
C
4. [2021北京一零一中学高二期中] 点(0,1)到直线的距离的最大值是( )
A. 1 B. C. D. 2
D
5. [2020四川内江高二期末] 已知点到直线：的距离等于1，则实数等于( )
A. B. C. D.
D
6. [2021四川南充阆中中学高二期中] 若直线与直线平行，则它们之间的距离为( )
A. 1 B. C. D.
D
7. [2021安徽马鞍山二中高二段考] 已知直线：过定点，则点到直线：的距离是
( )
A. 4 B. C. 2 D.
B
8. [2021江西南昌南铁一中高二期中] 若两条平行直线：与：间的距离为，则等于( )
A. 0或40 B. 10或30 C. -20或10 D. -20或40
B
9. [2020山西大同平城一中高二期中] 已知直线：和点，.若点，到直线的距离相等，则实数的值为______________.
-2或
10. [2021山东滕州一中高二月考] （多选题）已知平面上一点，若直线上存在点使得，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )
A. B.
C. D.
BC
[解析] 点到直线的距离，故A中直线不是；点到直线的距离，故B中直线是；点到直线的距离，故C中直线是；点到直线的距离，故D中直线不是.故选BC.
11. [2021安徽亳州高二月考] 正方形的中心为点，边所在直线的方程是，则边所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 点到直线的距离，
设与边平行的边所在直线的方程是，
则点到直线的距离，
解得（舍去）或，所以边所在直线的方程是.
12. [2021江苏泰州姜堰二中高二期中] （多选题）如图，直线相交于点，点是平面内的任意一点，若分别表示点到的距离，则称为点的“距离坐标”，则下列说法正确的是( )
A. 距离坐标为(0,0)的点有1个
ABC
B. 距离坐标为(0,1)的点有2个
C. 距离坐标为(1,2)的点有4个
D. 距离坐标为的点在一条直线上
[解析] 若距离坐标为(0,0)，即到两条直线的距离都为0，则为两直线的交点，即距离坐标为(0,0)的点只有1个，故A中说法正确；若距离坐标为(0,1)，即到直线的距离为0，到直线的距离为1，则点在直线上，且到直线的距离为1，符合条件的点有2个，故B中说法正确；若距离坐标为(1,2)，即到直线的距离为1，到直线的距离为2，则有4个符合条件的点，即与直线相距为1的两条平行直线和与直线相距为2的两条平行直线的交点，故C中说法正确；若距离坐标为，即到两条直线的距离相等，则距离坐标为的点在2条相互垂直的直线上，故D中说法错误.
13. 已知在中，，，点在直线上，若的面积为10，则点的坐标为__________________.
(-1,0)或
[解析] 设点到直线的距离为，
由题意知，
，
易知直线的方程为，即.
点在直线上，
设，
，
，或，
点的坐标为(-1,0)或.
14. [2021四川简阳阳安中学高二月考] 如图所示，已知是以为底边的等腰三角形，点，，点在直线上.
[答案] 因为是以为底边的等腰三角形，，所以为的中点，所以，因为，所以，所以边上的高所在直线方程为，即.
（1） 求边上的高所在直线的方程；
[答案] 联立得解得所以，
所以直线的方程为，即，
因为，所以点到直线的距离，
又，所以.
（2） 设直线与轴交于点，求的面积.
15. 如图，已知点，，直线过原点，且两点位于直线的两侧，过作直线的垂线，分别交于两点.
[解析] 命题分析 本题考查了直线方程的求法，考查了直线与直线垂直的性质、点到直线的距离公式等基础知识以及方程思想和运算求解的能力.
答题要领
（1）求出直线的斜率，由可求得直线的斜率，进而可求得直线的方程.
（2）设直线的方程为，利用点到直线的距离公式结合可求得的值，进而可求得的值，利用勾股定理可求得的值，由此可求得.
（1） 当重合时，求直线的方程；
[答案] 当重合时，，
由题意得直线AB的斜率，直线的斜率，
故直线l的方程为.
[答案] 设直线的方程为，
则，，
由可得，解得，
，
由勾股定理可得，，
.
（2） 当时，求线段的长.
解题感悟 解决此类问题时一般用数形结合求解.
