(共61张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
课标解读 课标要求 素养要求
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程. 2. 能根据所给条件求圆的标准方程. 3. 判断点与圆的位置关系，并能解决相关问题. 1. 数学抽象——能够抽象、概括出圆的标准方程.
2. 逻辑推理——会推导出圆的标准方程.
3. 数学建模——能利用圆的标准方程解决实际问题.
圆心为 ，半径为的圆的标准方程是________________________________________________.
把天空看作一个平面，月亮当作一个圆心，以圆心为圆点建立平面直角坐标系，若圆的半径为，则圆的方程如何表示？此时的值是多少？
提示 .
1.圆心与坐标原点重合时，，圆的标准方程就是；圆心在轴上时，；圆与轴相切时，；圆与轴相切时，；圆与坐标轴相切时，；圆过原点时，.
2.圆的标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要这三个独立参数，因此求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
3.相同的圆，建立的平面直角坐标系不同，圆心的坐标不同，导致圆的方程
不同，但半径是不变的.
4.设点到圆心的距离为，半径为，则点与圆的位置关系如下：（1）点在圆内；（2）点在圆上；（3）点在圆外.
探究点一 求圆的标准
例 求满足下列条件的圆的标准方程.
（1） 圆心为(3,4)，半径等于；
[答案] 圆的标准方程为.
[答案] 由两点间的距离公式可得圆的半径，
故圆的标准方程为.
（2） 圆心为，经过点(-3,-1)；
（3） 圆心在直线上，且与轴交于点，.
[答案] 因为圆与轴交于点，，所以圆心在直线上.
又圆心在直线上，所以圆心的坐标为(2,-3)，所以圆的半径，故圆的标准方程为.
解题感悟 直接法求圆的标准方程，先根据已知条件求出圆心的坐标和半径，再写出圆的标准方程.
1. 若圆的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线对称，则圆的标准方程为________________________.
[解析] 因为圆的圆心与点(1,0)关于直线对称，所以圆心的坐标为(0,1)，故圆C的标准方程为.
2. 已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为____________________________.
[解析] 易知线段的中点的坐标即为圆心的坐标，所以圆心的坐标为(1,-3)，又圆的半径，所以所求圆的标准方程为.
探究点二 点与圆的位置关系
类型1 判断点与圆的位置关系
例1 （1） 点与圆的位置关系是( )
A. 在圆上 B. 在圆内 C. 在圆外 D. 不能确定
C
[解析] 因为，所以点在圆外，故选C.
[解析] 思路分析 （1）直接利用点与圆心的距离与半径的大小关系判断.
（2） 点与圆：的位置关系是
( )
A. 点在圆内 B. 点在圆上
C. 点在圆外 D. 不能确定
C
[解析] 根据题意得圆C的圆心为，半径为1，则，则点在圆C外，故选C.
[解析] 思路分析（2）根据题意得出圆C的圆心与半径，求出的值，与半径比较大小即可得答案.
解题感悟
1.点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外.
2.判断点与圆的位置关系有两种方法：一是用圆心到该点的距离与半径作比较，二是代入圆的标准方程与作比较.
类型2 利用点与圆的位置关系求参数的取值范围
例2 [2021安徽六安一中高二段考] 已知点在圆外，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 思路分析 首先根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点与圆心的距离大于半径，最后解不等式即可得出结果.
圆，即，所以圆心为，半径，因为点在圆外，所以点到圆心的距离大于半径，即，解得.
解题感悟 通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数的值或参数的取值范围.
1. [2021湖北宜昌秭归一中高二期中] 已知点，圆：，则( )
A. ，都在内
B. 在外，在内
C. ，都在外
D. 在内，在外
D
[解析] 由题意得，所以在内，在外.
2. 若点在圆内，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. (0,5) D. ，
A
[解析] 由题意得，即，又，所以.
探究点三 圆的最值问题
例 已知和满足.
（1） 求的最值；
[答案] 由题意知表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应的取得最大值和最小值.易知圆的圆心的坐标为(-1,0)，半径为，所以原点(0,0)到圆心(-1,0)的距离，故圆上的点到坐标原点的最远距离为，最近距离为，因此的最大值和最小值分别为和.
[答案] 由（1）知圆心的坐标为(-1,0)，半径为，则点到圆心的距离为，所以点到圆的最远距离为.
（2） 试求点到圆的最远距离.
解题感悟 与圆有关的最值问题的求解策略：（1）将最值问题转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决.（2）涉及与圆有关的最值问题时可借助图形的性质，利用数形结合求解.
1. 已知满足，求的最大值与最小值.
[答案] 易知点是圆：上的任意一点，且圆的圆心为，半径，因此表示点与该圆上的点的距离.
因为，所以点在圆外.如图所示.
又，所以的最大值为，最小值为.
1. 圆的周长是( )
A. B. C. D.
B
[解析] 由题意知该圆的半径，所以周长为，故选B.
2. 点与圆的位置关系是( )
A. 在圆外 B. 在圆上
C. 在圆内 D. 与的值有关
A
[解析] 因为，所以点在圆外.
3. 与圆同圆心，且过点的圆的标准方程为_______________________________.
[解析] 因为已知圆的圆心为，所以所求圆的圆心为，所以所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为.
4. 已知三条直线：，：，：两两相交，求过这三个交点的圆的标准方程.
[答案] 易知：平行于轴，：与：互相垂直，设与交于点，分别与交于点，则三个交点，，构成直角三角形，所以经过，，三点的圆就是以线段为直径的圆.
联立得解得所以点的坐标是(-2,-1)，
联立得解得所以点的坐标是，
所以线段的中点的坐标是，又，
所以所求圆的标准方程是.
数学运算、逻辑推理——巧用圆的几何性质，妙解题
1. [2021甘肃武威民勤一中高二期中] 已知圆经过点和，且圆心在直线上.
（1） 求圆的标准方程；
[答案] 依题意知，所求圆的圆心C为线段的垂直平分线和直线的交点.
由题意得线段AB的中点的坐标为(1,2)，直线的斜率为1，的垂直平分线的方程为，即.
联立得解得
即圆心为，半径，故所求圆C的标准方程为.
（2） 设点在圆上，求的面积.
[答案] 点在圆上，代入圆的标准方程得或（舍去），，故，直线的方程为，
点到直线的距离为4，的面积.
素养探究：
（1）先求出线段的垂直平分线和直线的交点坐标即为圆心的坐标，再利用两点间的距离公式求出半径，即可求解，渗透了数学运算的素养.
（2）根据已知条件求出点的坐标，渗透了逻辑推理的素养；利用点到直线的距离公式求出高的值，然后代入面积公式求解，渗透了数学运算的素养.
1. [2021四川绵阳南山中学高二月考] 已知以点（，且）为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点（，异于原点）.
[答案] 证明：由题意可得，圆的标准方程为，化简得，圆与两坐标轴的交点分别为，
，故的面积为定值.
（1） 求证：的面积为定值；
（2） 设直线与圆交于点两点，若，求圆的标准方程.
[答案] ，原点在线段的垂直平分线上，设线段的中点为，则三点共线，易知的斜率，解得，
圆心为或(-2,-1).
当圆心为时，该直线与圆C相离，不符合题意；当圆心为时，满足题意.
综上所述，圆的标准方程是.
1. [2021浙江湖州高二期中联考] 已知圆的标准方程为，则圆心的坐标为( )
A. (-2,3) B. (2,-3) C. (2,3) D. (-2,-3)
B
2. 圆关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
B
3. [2021北京汇文中学高二期中] 圆心为(-3,2)，且过点的圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
D
4. （原创题）点到圆的距离的最大值为
( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 11
D
5. [2021河北承德一中高二第二次月考] 设圆的标准方程为，直线的方程为，点的坐标为(2,1)，那么
( )
A. 点在直线上，但不在圆上
B. 点在圆上，但不在直线上
C. 点既在圆上，又在直线上
D. 点既不在圆上，又不在直线上
C
6. [2021四川成都第七中学高二期中] 如果实数满足，那么的最小值是( )
A. B. C. D.
C
7. [2021辽宁六校协作体高二期中联考] 若为任意实数，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的标准方程为
( )
A. B.
C. D.
C
8. [2021江西宜春高二期末] 已知圆与直线及直线都相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 由题意可知直线与直线平行，且两直线都与直线垂直，由此可得圆的直径为两直线与间的距离，且三条直线的交点组成的线段的中点为圆心，所以，故，
由解得由解得
所以圆心坐标为，即(1,1)，所以圆的标准方程为.
9. （多选题）设圆：，则下列说法正确的是( )
A. 无论如何变化，圆心都在一条直线上
B. 所有圆均不经过点(3,0)
C. 经过点(2,2)的圆有且只有一个
D. 所有圆的面积均为
ABD
[解析] 易知圆心在直线上，中说法正确；
令，化简得，方程无解，中说法正确；
由化简得，
有两个不相等的实数根，
经过点(2,2)的圆有两个，故C中说法错误；
易知圆的半径为2，
圆的面积为，
中说法正确.
10. （多选题）已知的三个顶点分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 外接圆的面积为
B. 直线的方程为
C. 为直角三角形
D. 外接圆的标准方程为
BC
[解析] 易知的垂直平分线的方程为，线段的中点为(2,1)，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为2，的垂直平分线的方程为，与联立，得外接圆的圆心为，易得，所以外接圆的标准方程为，面积为，所以D中说法错误，A中说法错误；
依题意得直线AC的方程为，即，所以B中说法正确；因为，所以是直角三角形，所以C中说法正确.
11. [2021天津武清天和城实验中学高二期中] 圆关于直线对称的圆的标准方程是____________________________.
[解析] 易知圆的圆心为(1,0)，半径为.
设(1,0)关于直线对称的点的坐标为，则
解得故所求圆的标准方程为.
12. [2021重庆一中高二月考] 圆过点，，且圆心在直线：上，则圆的标准方程为__________________________.
[解析] 易知直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为1.
易知线段的中点的横坐标和纵坐标分别为，
所以直线的方程为，即.又圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点.
联立得解得
所以圆心为.
又半径，所以所求圆的标准方程是.
13. （原创题）在平面直角坐标系中，点在直线：上，，以线段为直径的圆（为圆心）与直线相交于另一个点，.
（1） 求圆的标准方程；
[答案] 易知，
设，则，解得，
在中，，为线段的中点，，
设，圆的半径为，
则，
解得或.
①当时，，圆心为(4,7)，此时圆的标准方程为；
②当时，，圆心为(3,0)，此时圆的标准方程为.
综上，圆的标准方程为或.
（2） 若点不在第一象限内，求的最小值.
[答案] 由题意及（1）知，圆C的标准方程为.
表示圆上的点到原点的距离的平方，(共51张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
课标要求 素养要求
课标解读 1. 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程. 2. 能根据圆的一般方程解决与圆有关的轨迹方程问题. 1. 逻辑推理——能进行圆的一般方程与标准方程的互化.
2. 数学运算——会求圆的一般方程.
对方程（ *）讲行配方，得①__________________.
（1）当时，方程（ *）表示以为圆心，步为半径的圆；
（2）当时，方程（* ）只有实数解，，它表示一个点；
（3）当时，方程（*）没有实数解，它不表示任何图形.因此，当时，方程（*）表示一个圆.我们把方程（*）叫做②_________________.
圆的一般方程
1.方程表示圆吗？方程也表示圆吗？
提示 表示圆，因为 ，所以它表示圆. 不表示圆，因为 ，所以它不表示圆.
1.二元二次方程要想表示圆，需满足和的系数相同且不为0，没有xy这样的项.
2.几个常见的圆的一般方程
（1）过原点的圆的一般方程：；
（2）圆心在轴上的圆的一般方程：；
（3）圆心在轴上的圆的一般方程：；
（4）圆心在轴上且过原点的圆的一般方程：；
（5）圆心在轴上且过原点的圆的一般方程：.
探究点一 对圆的一般方程的认识
例 已知方程表示一个圆.
（1） 求实数的取值范围；
[答案] 根据圆的一般方程得，化简得，解得.
[答案] 易得，当且仅当时，该圆的半径取得最大值，为.
（2） 求该圆的半径的最大值.
解题感悟 判断方程是否表示圆，关键是判断的正负.
1. 圆的面积为( )
A. B. C. D.
C
[解析] 原方程可化为，
半径，该圆的面积.
2. 已知圆的圆心在直线上，则该圆的周长为________.
[解析] ，即圆心为，半径，
圆心在直线上，，即，
圆的半径，故圆的周长为.
探究点二 求圆的一般方程
类型1 已知三点求圆的一般方程
例1 已知的三个顶点分别为，，，求：
[解析] 思路分析 （1）根据题意求出直线AB的斜率，由垂直关系得到边上的高所在直线的斜率，根据点斜式写出边上的高所在直线的方程.（2）设出外接圆的一般方程，代入三点的坐标即可求得对应的系数，即可得到所求圆的一般方程.
（1） 边上的高所在直线的方程；
[答案] 由题意可知直线AB的斜率，所以边上的高所在直线的斜率，所以边上的高所在直线的方程为，即.
[答案] 设的外接圆的一般方程为，
由题意得解得
所以的外接圆的一般方程为.
（2） 的外接圆的一般方程.
解题感悟 已知三点求圆的一般方程一般用待定系数法，设出圆的一般方程，列出关于，，的方程组，解三元一次方程组，求出，，的值，并把它们代入所设的方程中即可.
类型2 已知圆心求圆的一般方程
例2 已知直线在轴上的截距为-2，且与直线垂直.
（1） 求直线的方程；
[答案] 根据题意，设直线l的方程为.因为直线的斜率为，所以直线的斜率，所以直线的方程为.
[解析] 思路分析 （1）根据题意，设直线l的方程为，由垂直关系得到直线的斜率，进而可得直线的方程.（2）求出，B两点的坐标，由题意知线段AB的中点是圆心，是圆的直径，由此可求得圆的一般方程.
[答案] 由题意知是直角三角形，所以圆的圆心是线段的中点，半径为.由（1）知，所以，所以，
所以圆的标准方程为，故圆C的一般方程为.
（2） 设直线与两坐标轴分别交于两点，内接于圆，求圆的一般方程.
解题感悟 求圆的一般方程时，先确定圆心的坐标和半径，由圆心的坐标、半径求出圆的标准方程，再化为圆的一般方程.
1. 经过点和，且圆心在轴上的圆的一般方程为
( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 设所求圆的一般方程为，
因为圆心在轴上，所以，即.
又圆经过点和，，
所以
解得故所求圆的一般方程为.
2. 经过三点(2,-1)，(5,0)，(6,1)的圆的一般方程为________________________________.
[解析] 设所求圆的一般方程为，
因为圆经过点(2,-1)，(5,0)，(6,1)，
所以
解得，所以所求圆的一般方程为.
探究点三 直接法求点的轨迹方程
例 [2021四川成都高二期中] 如图，已知圆：，，是圆上两个动点，点，求矩形的顶点的轨迹方程.
[答案] 设点，如图，连接交于，
由四边形是矩形可知为的中点，
则，
且，
连接，在中，，
则
即整理得
所以顶点的轨迹方程是.
解题感悟 直接法求点的轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的平面直角坐标系，设出动点的坐标为；
（2）列出动点满足的条件；
（3）用坐标表示上述条件，列出方程；
（4）将上述方程化简；
（5）检验化简后的方程就是点的轨迹方程.
1. 已知两定点，，若动点满足，则点的轨迹为( )
A. 直线 B. 线段 C. 圆 D. 半圆
C
[解析] 设点的坐标为，，动点满足，，两边平方得，即，点的轨迹为圆.
1. [2021山东滨州博兴三中高二月考] 圆的圆心和半径分别是( )
A. (-1,3)，2 B. (-1,2)，
C. (-1,3)， D. (-1,3)，
D
2. 已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则的方程是( )
A. B.
C. D.
D
3. [2021北京怀柔一中高二期中] 已知方程表示圆，则实数的取值范围是___________.
(-1,1)
[答案] 设所求圆的一般方程为，
则解得
所以圆的一般方程为.
4. [2021宁夏青铜峡高级中学高二期中] 若圆经过点，，，求圆的一般方程.
1. （多选题）若方程表示圆，则下列叙述正确的是( )
A. 圆心在直线上 B. 圆心在轴上
C. 圆过原点 D. 圆的半径为
AC
2. 已知直线与圆：相交于，两点，弦的中点为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
C
3. [2021天津和平汇文中学高二质检] 若方程表示一个圆，则实数的取值范围为( )
A. B. (-2,2)
C. (-4,4) D.
A
4. [2021安徽马鞍山二中高二段考] 已知直线过圆：的圆心，且倾斜角为，则的方程为( )
A. B.
C. D.
B
5. 已知圆：的圆心和圆上两点，构成等边三角形，则线段的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
D
6. 已知圆经过两点，，且圆心在直线：上，则圆的一般方程为( )
A. B.
C. D.
C
7. [2020浙江宁波诺丁汉大学附属中学高二期中] 过三点的圆的一般方程是( )
A. B.
C. D.
A
8. [2021四川泸县第二中学高二月考] 已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
C
9. 已知，是圆：上的两点，且，若以线段为直径的圆恰好经过点，则圆的一般方程是______________________________.
10. [2021天津河东高二期中] 已知圆过点，则点与圆上的点的最小距离为____________.
[解析] 设圆的一般方程为，
因为圆过点，
所以解得，
所以圆的一般方程为，整理可得，
所以圆的圆心为(-1,2)，半径，
所以点与圆上的点的最小距离为.
11. 若圆上所有的点都在第二象限，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 由得，其圆心的坐标为，半径为2，由题意知
解得，故选D.
12. 若直线：始终平分圆：，则的最小值为______.
5
[解析] 易知圆的圆心为(-2.-1)，由题意得直线l过圆心，则，
所以，所以的最小值为5.
13. 已知圆，，在圆上，点，且，则线段的中点的轨迹方程是_____________________________.
[解析] 如图所示，设，则，
因为，所以，
在中，，
由勾股定理得，整理得，所以线段的中点的轨迹方程为.
14. 如图，已知矩形的四个顶点分别为，，，.
[答案] 由两点式可知，对角线所在直线的方程为，整理得.
（1） 求对角线所在直线的方程；
[答案] 设为该矩形外接圆的圆心，则为线段的中点，，即.
设为该矩形外接圆的半径，则，
该矩形外接圆的方程为，即.
（2） 求矩形外接圆的一般方程；
[答案] 设点的坐标为，线段的中点的坐标为，则，
.
为外接圆上一点，，整理得，
该轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为.
（3） 若动点为外接圆上一点，点为定点，试问：线段的中点的轨迹是什么？并求出该点的轨迹方程.
15. [2021北京昌平一中高二期中] 在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：
①线段的最小覆盖圆就是以为直径的圆;
②锐角的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知曲线：为曲线上不同的四点.
[解析] 命题分析 本题考查了新定义问题、待定系数法求圆的一般方程、标准方程以及方程的思想和运算求解能力.
答题要领 （1）求出点的坐标，设的外接圆的一般方程为，将，，的坐标代入求解.
（2）根据线段的最小覆盖圆是以为直径的圆，然后验证点，在圆内即可.
（3）设，则，然后根据函数的性质求解.
（1） 求实数的值及的最小覆盖圆的一般方程；
[答案] 因为点在曲线：上，所以，解得或（舍去），所以，
设的外接圆的一般方程为，则解得
所以的外接圆的一般方程为.
易知是锐角三角形，
所以的最小覆盖圆的一般方程是.
（2） 求四边形的最小覆盖圆的方程；
[答案] 因为线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，所以线段的最小覆盖圆的方程为，又因为，所以点，在圆内，所以四边形的最小覆盖圆的方程是.
[答案] 因为曲线：是中心对称图形，所以设，则，
当时，，
所以曲线的最小覆盖圆的方程是.
（3） 求曲线的最小覆盖圆的方程.
解题感悟 解题的关键是由最小覆盖圆的性质转化为求平面图形最小覆盖圆的方程.
