(共64张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
课标解读 课标要求 素养要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 1.数学抽象——能够抽象出直线与圆的位置关系.
2.逻辑推理——能够通过推理判断直线与圆的位置关系.
3.数学建模——能够利用直线和圆的方程解决实际问题.
直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有①___________公共点；
（2）直线与圆相切，只有②____________公共点；
（3）直线与圆相离，③____________公共点.
两个
一个
没有
1.在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采.这个过程中，若将月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，则月亮上升的过程中体现了直线与圆的几种位置关系？
提示 三种，相交、相切和相离.
2.观察下图，图中直线与圆是什么位置关系？有几个交点，切点与圆心的连线与有什么位置关系？
提示 题图中的直线 与圆相切.有且仅有一个交点，切点与圆心的连线与 垂直.
1.直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法
2.圆的弦长的求法
（1）几何法，设直线的方程为，圆的方程为，圆的半径为，弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）为，弦长为，则；
（2）代数法，设直线的方程为，圆的方程为，直线与圆相交于，联立直线与圆的方程得消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.
探究点一 直线与圆位置关系的判断
例 [2021黑龙江绥化青冈一中高二开学考] 已知两条平行直线，之间的距离等于坐标原点到直线：的距离的一半.
[解析] 思路分析 （1）根据两条平行直线的距离与点到直线的距离的关系，求出的值.（2）先求出圆心到直线的距离，再比较的大小，即可求解.
（1） 求的值；
[答案] 将化为，两条平行直线的距离为.
又原点到直线：的距离为，由题意得，
，又.
（2） 判断直线与圆：的位置关系.
[答案] 易知圆：的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，，
直线与圆相切.
变式若本例改为直线：与圆：相交，求的取值范围.
[答案] 由题意知，解得.
解题感悟
判断直线与圆的位置关系的两种方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断；（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
1. [2020浙江嘉兴七校高二期中] 已知圆的方程为，圆心的坐标为(-2,1)，且过点(0,3).
（1） 求的值；
[答案] 由得.
圆心的坐标为(-2,1)，
，
又圆过点(0,3),
.
（2） 判断直线与圆的位置关系.
[答案] 由（1）知，圆的标准方程为，则半径，
圆心到直线的距离，
直线与圆相离.
探究点二 切线与弦长问题
类型1 求弦长
例1 已知直线：与圆：.
（1） 若直线经过圆心，求实数的值；
[答案] 由圆：得圆心的坐标为(-2,2)，半径为，
若直线经过圆心，则，解得.
（2） 当时，判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长.
[答案] 当时，直线的方程为，圆心到直线的距离，
直线与圆相交.
此时弦长为.
解题感悟
求弦长的方法：（1）交点法：将直线方程与圆的方程联立，交点的坐标易求的，用两点间的距离公式求解；交点的坐标不易求的，用弦长公式求解.（2）由半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，用勾股定理求解.
类型2 求切线方程
例2 过点作圆的切线，求切线的方程.
[答案] ，点在圆外.
当切线的斜率不存在时，切线的方程是，不满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线的斜率为，则切线的方程为，即，
圆心(2,3)到切线的距离为，解得或.
综上，切线的方程为或.
[解析] 思路分析 设出切线的方程（注意讨论斜率是否存在），利用点到切线的距离等于圆的半径建立方程求解.
解题感悟
（1）过圆上一点的切线方程只有1个，先求切点与圆心连线的斜率，再由垂直关系求得切线的斜率，利用点斜式可求得切线方程；
（2）过圆外一点的切线方程有2个，设切线方程为，由圆心到切线的距离等于圆的半径建立方程求出的值，即可求得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为（注意在上面解法中不包括斜率不存在的情况）.
1. 已知直线与圆相切，则_____________.
[解析] 已知圆的圆心为，半径，则到已知直线的距离.由已知得，即，解得.
2. 已知直线：，圆：.
（1） 判断直线与圆的位置关系；
[答案] 圆的方程为，即.
圆心为(-2,1)，半径，故圆心到直线l的距离，
直线与圆相交.
（2） 若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线的最短距离.
[答案] 易知弦长为.
探究点三 直线与圆的位置关系的应用
例 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发径直驶向位于海监船正北的处岛屿，船速为.通过建立适当的平面直角坐标系，计算这艘外籍轮船能被海监船监测到的时长.
[答案] 建立如图所示的平面直角坐标系，圆 ： ，记从 处开始被监测，到 处监测结束，所以直线 的方程为 ，即 ，因为到的距离，
所以，
所以该轮船被监测的时间为.
解题感悟
用直线与圆的方程解决实际问题的四个步骤：（1）认真审题，明确题意.（2）建立适当的平面直角坐标系，在实际问题中建立直线与圆的方程.（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解.（4）用代数结果解释实际问题.
[2021山东日照高二期中] 台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，若城市在地正东处，则城市处于危险地区内的时间为( )
A. B. C. D.
B
1. 直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断
B
2. 直线被圆截得的弦长等于( )
A. 4 B. 2 C. D.
C
3. 如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高，则拱桥的直径为.
4. 过点(1,-7)，且与圆相切的切线方程是__________________________________________.
或
数学运算、逻辑推理——利用直线与圆解决面积问题
1. [2021北京一零一中学高二期中] 已知圆：，是轴上的动点，分别与圆相切于，两点.
[答案] 圆：的圆心为(0,2)，半径为1，
当过的切线的斜率不存在时，切线方程为，与圆相切，符合题意；
当过的切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心(0,2)到切线的距离，解得，
切线方程为.
综上，切线方程为或.
（1） 若，求切线方程；
（2） 求四边形面积的最小值；
[答案] 由题意得四边形的面积，
当轴时，取得最小值，为2，
四边形面积的最小值为.
[答案] 由题意得圆心到弦的距离为，
设，，则，
又，
解得，
或，
直线的方程为或.
（3） 若，求直线的方程.
[解析] 素养探究：（1）利用点到直线的距离等于圆的半径（注意讨论切线的斜率是否存在），建立方程求切线方程，渗透了数学运算的素养.（2）将条件转化为，求出的最小值即可得解，渗透了逻辑推理、数学运算的素养.（3）设，由切线长定理及勾股定理可得，渗透了逻辑推理的素养.
1. 已知圆过两点，且圆心在上.
（1） 求圆的方程；
[答案] 设圆的方程为，
根据题意得
故圆的方程为.
（2） 设是直线上的动点，是圆的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值.
[答案] 如图，连接，易知四边形 的面积 ，
即，
又，
所以，
易知，
即.
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，
故的最小值即为点到直线的距离，
所以，
故四边形面积的最小值为.
1. [2020吉林学业水平考试] 已知直线：和圆：，则直线和圆的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
A
2. 已知直线：与圆：交于两点，则( )
A. 2 B. C. 4 D.
B
3. 已知直线：和圆：，若直线与圆相切，则( )
A. 0 B. C. 或0 D. 或0
D
4. 已知圆：和直线：，当直线被圆截得的弦长为时，等于( )
A. B. C. D.
C
5. [2021黑龙江哈尔滨师大附中高二期中] 当过点(1,2)的直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程是( )
A. B.
C. D.
A
6. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
D
7. [2021福建厦门外国语学校高二期中] 若直线：与曲线：相交于，两点，为坐标原点，当的面积取得最大值时，实数的值为( )
A. 0 B. C. -1 D.
D
[解析] 曲线表示圆心为原点，半径为1的圆的上半圆弧，
若直线与曲线相交于，两点，则直线的斜率，
则点到的距离，又，当且仅当，即时，取得最大值，所以，解得或（舍去）.
8. 已知圆：和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
B
[解析] 由题意得圆C的圆心为，半径，如图所示，
由图可知，当和与圆相切时，最大，若要使圆上存在两点，使得，则，
，
即，
解得.
9. [2021江西南昌第十中学高二期中] 点是直线上一动点，是圆：的两条切线，，是切点，若四边形面积的最小值为2，则的值为____________.
[解析] 易知圆的圆心为，半径为1，因为是圆的两条切线，，是切点，所以，当最小时，四边形的面积最小，而的最小值即点到直线的距离，所以.
10. [2021山东肥城高二期中] （多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆C，则下列说法正确的是()
圆的方程是
B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为
D. 在直线上存在异于，的两点，，使得
ABD
[解析] 设点，因为，，点满足，
所以，
化简得，即，故A中说法正确；
设两条切线的夹角为，易知，圆的半径，所以
，则，解得，故B中说法正确；易知直线l的斜率存在，设直线的方程为，即，因为圆上恰有三个点到直线的距离为2，所以圆心(4,2)到直线的距离，解得，故C中说法错误；
假设存在异于，的两点，，则，
化简得，因为点的轨迹方程为，所以解得或（舍去），故存在，所以D中说法正确.
11. [2021四川江油一中高二期中] 若圆：关于直线对称，由点向该圆引切线，则切线长的最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B
[解析] 由题意得圆C的标准方程为，所以圆心为(-1,2)，半径为，因为圆 关于直线 对称，
所以圆心位于该直线上，所以 ，即点 在直线 ： 上，
设 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，
则 ，
要使 最小，则只需 最小，所以 的最小值即过点 作直线 ： 的垂线，
此时 ，所以 .
12. （多选题）过作圆：的切线，切点为，B，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 直线的方程为
D.
AC
[解析] 如图所示，连接交直线于，连接，在中，，则，，
，故A中说法正确，B中说法错误.
易知，，
，
，
设直线的方程为，即，
，（负值舍去），故，中说法正确.
，中说法错误.
13. 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心处向东走是储备基地的边界上的点，接着向东再走到达公路上的点；从基地中心向正北走到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由通往公路的专用线，用坐标法求线段的最短距离.
[答案] 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，
则圆的方程为，，，所以直线的方程为 ，即 .
当点 是与直线 平行的直线（距 较近的一条）和圆 相切所成的切点时， 为最短距离，此时 的最小值为
.
14. [2021江西南昌第二中学高二期中] 已知圆：，直线：.
[解析] 命题分析 本题考查了直线与圆的位置关系，用几何法求弦长.
答题要领 （1）确定直线过定点，且定点在圆内，则易得直线与圆相交.（2）当时，弦长最短，由此可计算出最短弦长和直线的方程.
（1） 判断直线与圆的位置关系；
[答案] 将直线的方程变形为，
解得所以直线恒过定点.
，
点在圆内，
无论取何值，直线与圆都相交.
（2） 求直线被圆截得的线段的最短长度及此时的方程.
[答案] 设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，如图所示，
当直线与直线不垂直时，；当时，，所以
，即当时，取得最大值，.
易知直线的斜率，又，所以直线的斜率，
此时直线的方程为，即.
直线被圆截得的弦长的最小值.
解题感悟
利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程，解析几何的有关知识并结合图形分析.(共52张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
课标解读 课标要求 素养要求
1.掌握圆与圆的位置关系. 2.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 1.数学抽象——能够抽象出圆与圆的位置关系.
2.逻辑推理——能够通过推理判断圆与圆的位置关系.
3.数学建模——能够利用圆的方程解决实际问题.
两个圆之间存在以下三种位置关系：
（1）两圆相交，有①_________________公共点；
（2）两圆相切，包括②_________________与③________________，只有一个公共点；
（3）两圆相离，包含外离与内含，④_________________公共点.
两个
外切
内切
没有
下面生活中常见的一些图形蕴含了两个圆之间的哪些位置关系？
提示 相离、相切、相交.
圆与圆位置关系的判断
（1）几何法：若两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
（2）代数法：联立两圆的方程组成方程组，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆公共点的个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含
探究点一 圆与圆位置关系的判断
例 已知两圆：，：.试判断两圆的位置关系.
[答案] 解法一：将两个圆的方程联立得两式相减得，代入得，
因为，所以有两个不相等的实数根，即方程组有两组解，所以两圆相交.
解法二：由题意知圆的圆心为(1,0)，半径为2，圆的圆心为(3,-1)，半径为3，
所以两圆的圆心距，因为，所以两圆相交.
解题感悟
判断两圆位置关系的两种方法：（1）几何法：利用两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；（2）代数法：把两圆位置关系的判断问题转化为方程组的解的组数问题.
1. [2021吉林洮南一中高二期中] 已知两圆：，：
（1） 取何值时，两圆外切？
[答案] 易知两圆的标准方程分别为，，所以圆心分别为，半径分别为，圆心距.
当两圆外切时，，即，解得.
（2） 取何值时，两圆内切？
[答案] 当两圆内切时，因为圆的半径小于圆心距，所以该圆为小圆，即，解得.
探究点二 两圆的相交问题
例 已知圆：与圆：相交于两点.
（1） 求圆和圆的公共弦所在直线的方程；
[答案] 联立两个圆的方程得两式相减得，所以公共弦所在直线的方程为.
（2） 求公共弦的长.
[答案] 易知圆心的坐标为(-1,-1)，半径，
所以到直线的距离，故.
解题感悟
（1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆的方程相减，即可得两圆的公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆的方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.（2）求两圆的公共弦长的方法：一是先联立两圆的方程求出交点的坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再利用半径、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
[2021山东济南高二期末] （多选题）已知圆：和圆：相交于，两点，则( )
A.
B. 直线的方程是
C.
D.
ABD
[解析] 圆的圆心是，半径，圆的圆心是，
，故A正确；两圆相减就是直线AB的方程，两圆相减得，故B正确；，，，所以不垂直于，故C不正确；
圆心(0,0)到直线的距离，
，故D正确.
探究点三 圆系方程
例 求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程.
[答案] 解法一：联立得
解得或
点和都在所求圆上，
所求圆的圆心在轴上.
又圆心在直线上，
所求圆的圆心为(6,0)，半径，所求圆的方程为.
解法二：设所求圆的方程为，整理得，圆心为.
圆心在直线上，，解得，所求圆的方程为.
解题感悟
经过两个圆的公共点可作无数个圆，这无数个圆可组成一个圆系.常见的圆系方程有如下几种：
（1）过直线与圆的交点的圆系方程：过直线与圆的交点的圆系方程为，特别地，当直线与圆相切于点时，上述方程表示与直线都相切于点的圆.
（2）过两个圆的交点的圆系方程：过两圆，的交点的圆系方程为.
求过圆与圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.
[答案] 设所求圆的方程为，
即，所以圆心为，
因为圆心在直线上，
所以，
解得，故所求圆的方程为.
1. 圆：和圆：的位置关系是
( )
A. 相离 B. 外切 C. 内切 D. 相交
D
2. 两圆与的公共弦所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
C
3. 若圆与圆的公共弦长为，则______.
1
[答案] 设所求圆的方程为，即，①
已知圆的方程为，②
由②-①得，故两圆的公共弦所在直线的方程为，又该直线经过点(5,-2)，
，
，故所求圆的方程为.
4. 求圆心为(2,1)，且与已知圆的公共弦所在直线经过点(5,-2)的圆的方程.
1. [2021天津静海瀛海学校高二月考] 圆：与圆：交于，两点，则过，两点的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
A
2. [2021山东滨州高二期末] 已知圆：，：，则圆与圆的位置关系是( )
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 相离
A
3. [2021江西南昌二中高二月考] 若圆：与圆：有三条公切线，则的值为( )
A. 2 B. C. 4 D. 6
C
4. [2021内蒙古赤峰宁城蒙古族中学高二联考] 若圆：与圆：有公共点，则实数的取值范围为( )
A. (4,144) B. C. D.
B
5. [2020北京高二期中] 圆与圆的公共点的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
6. [2021江西南昌十中高二期中] 与圆：，圆：都相切的直线有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
C
7. [2021山东乳山一中高二月考] （多选题）已知两圆与，则下列说法正确的是( )
A. 若两圆外切，则
B. 若两圆的公共弦所在直线的方程为，则
C. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则
D. 若两圆有三条公切线，则
BC
8. 已知圆的方程为，圆的圆心的坐标为(2,1)，若两圆相交于，两点，且，则圆的方程为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
C
[解析] 由题意可设圆的方程为，
因为圆的方程为，所以圆的圆心为(0,-1)，半径为，
两式相减得直线的方程为，则圆心到直线的距离，
所以，即，
解得或，
故圆的方程为或.
9. 要在一个矩形纸片上画出半径分别为和的两个外切圆，则该矩形面积的最小值是( )
A. B. C. D.
B
[解析] 如图，作，垂足为，则四边形是矩形，
两圆外切， ，，，
矩形的长，宽，矩形纸片面积的最小值.
10. [2021福建永安一中高二期中] （多选题）已知圆：与圆：，则下列说法正确的是
( )
A. 对于任意的，圆与圆始终相切
B. 对于任意的，圆与圆始终有四条公切线
C. 当时，直线：被圆截得的弦长为
D. 分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4
ACD
[解析] 由已知得，，，所以，
故两圆始终相切，所以A中说法正确，B中说法错误；
当时，，所以到直线的距离为，则弦长为，所以C中说法正确；因为，所以，所以D中说法正确.
11. [2021重庆第八中学高二期中] （多选题）已知圆：和圆：相交于A、B两点，则下列说法正确的是
( )
A. 两圆有两条公切线
B. 直线的方程为
C. 线段的长为
D. 圆上有一动点，圆上有一动点，则的最大值为
AD
[解析] 因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A中说法正确；圆：①，圆：②，②-①得，即，所以直线的方程为，故B中说法错误；圆：的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离，所以，故C中说法错误；圆：的圆心为，半径为1，所以，故D中说法正确.
12. 已知半径为5的动圆的圆心在直线：上.
（1） 若动圆过点(-5,0)，求圆的方程；
[答案] 依题意可设动圆C的方程为，其中圆心满足.又动圆过点.
联立得解得 或
故圆C的方程为 或 .
（2） 是否存在正实数，使得动圆中满足与圆：外切的圆有且仅有一个？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
[答案] 圆的圆心(0,0)到直线的距离.
当满足时，动圆中不存在与圆：外切的圆；
当满足时，每取一个数值，动圆中存在两个圆与圆：外切；当 满足 时，即 时，动圆 中有且仅有一个圆与圆 ： 外切.
综上可知，存在 满足题意.
13. [2021河北唐山遵化高二期中] 如图，圆与圆（点在点的右侧）与轴分别相切于，两点，与直线分别相切于，两点，且两圆外切，.
[答案] 因为点，圆与轴相切于，所以，即圆的半径为1，所以圆的方程为.
因为圆与圆（点在点的右侧）与轴分别相切于，两点，与直线分别相切于，两点，且两圆外切，所以三点共线，
设圆的半径为，，则，即，解得，即
（1） 求圆与圆的标准方程；
，则，易知直线的方程为，
又在直线上，所以，
即，故圆的方程为.
（2） 过作直线的垂线，求直线被圆截得的弦长.
[答案] 联立得
解得所以，
又，所以直线的斜率为，
所以过点且与垂直的直线的方程为，即，故点到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为.
14. [2020福建泉州泉港一中高二月考] 在平面直角坐标系中，已知圆：与圆：关于直线对称.
[解析] 命题分析 本题考查了圆与圆的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式及点关于直线对称的性质；考查了学生的运算求解能力、转化与化归能力.
答题要领 （1）分别求出点和点C的坐标，由题意知，所求的直线与直线垂直，且经过线段的中点，然后代入点斜式求解即可.（2）由（1）知直线的方程为，由圆和圆关于该直线对称可知，圆的半径与圆的半径相等，为，求出弦长，要使的面积最大，只需点到直线的距离最大，结合题图可知，当时，的面积最大，求出此时的面积即可.
（1） 求该直线的方程；
[答案] 把圆的方程化为，所以圆心为，半径为，
又，所以线段的中点为(-2,1)，所以直线的斜率.
由已知条件得所求直线与直线垂直，且经过线段的中点(-2,1)，
所以所求直线的方程为，即.
（2） 设圆与圆交于两点，点为圆上的动点，求面积的最大值.
[答案] 由（1）得直线的方程为，所以圆心到直线的距离，
因为圆和圆关于该直线对称，
所以圆的半径与圆的半径相等，为，
所以，
要使的面积最大，只需点到直线的距离最大，
结合题图可知，当时，的面积最大，此时点到直线的距离为， 所以面积的最大值.
解题感悟 （1）涉及圆与圆的位置关系时，注意圆的一般方程与标准方程的互化、圆与圆的位置关系的判断方法的应用.（2）涉及两圆的公共弦问题，先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再利用半径、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
